💡 9. Sınıf Matematik: Eşitsizlik Ve Benzerlik Sorular Çözümlü Örnekler

Bu problemi çözmek için öncelikle verilen ifadeyi matematiksel bir eşitsizliğe dönüştürmemiz gerekiyor. Sayıya \(x\) diyelim.

• 👉 "Bir sayının 3 katının 5 fazlası" ifadesi \(3x + 5\) olarak yazılır.
• 👉 "Aynı sayının 2 katının 10 eksiği" ifadesi \(2x - 10\) olarak yazılır.
• 👉 "Küçüktür" ifadesi \(<\) sembolü ile gösterilir.

Bu durumda eşitsizliğimiz:

\[ 3x + 5 < 2x - 10 \] Şimdi bu eşitsizliği çözerek \(x\) değerini bulalım:

• ✅ Eşitsizliğin her iki tarafına \( -2x \) ekleyelim:
\[ 3x - 2x + 5 < 2x - 2x - 10 \] \[ x + 5 < -10 \]
• ✅ Eşitsizliğin her iki tarafına \( -5 \) ekleyelim:
\[ x + 5 - 5 < -10 - 5 \] \[ x < -15 \]

Buna göre, \(x\) sayısı -15'ten küçük olmalıdır. -15'ten küçük en büyük tam sayı ise \( -16 \) 'dır.

Cevap: Sayının alabileceği en büyük tam sayı değeri \( -16 \) 'dır. ✅

Verilen eşitsizliği adım adım çözerek \(x\) değer aralığını bulalım. \[ 2(x - 3) + 7 \ge 4x - 1 \]

• 👉 Öncelikle parantez içindeki ifadeyi dağıtalım:
\[ 2x - 6 + 7 \ge 4x - 1 \]
• 👉 Sol taraftaki sabit terimleri toplayalım:
\[ 2x + 1 \ge 4x - 1 \]
• 👉 \(x\)'li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım. Bunun için eşitsizliğin her iki tarafından \(2x\) çıkaralım:
\[ 2x - 2x + 1 \ge 4x - 2x - 1 \] \[ 1 \ge 2x - 1 \]
• 👉 Şimdi sabit terimleri sol tarafa alalım. Eşitsizliğin her iki tarafına \(1\) ekleyelim:
\[ 1 + 1 \ge 2x - 1 + 1 \] \[ 2 \ge 2x \]
• 👉 Son olarak, \(x\) yalnız bırakmak için eşitsizliğin her iki tarafını pozitif bir sayı olan \(2\) ile bölelim. (Eşitsizlik yön değiştirmez.)
\[ \frac{2}{2} \ge \frac{2x}{2} \] \[ 1 \ge x \]

Yani \( x \le 1 \). Bu, \(x\) değerinin 1'e eşit veya 1'den küçük olduğu anlamına gelir.

Çözüm Kümesi: \( (-\infty, 1] \)

Sayı Doğrusunda Gösterimi:
Sayı doğrusunda 1 noktası dahil (kapalı nokta) ve 1'in solundaki tüm değerler taranarak gösterilir. (Metinsel betimleme)

Cevap: Çözüm kümesi \( (-\infty, 1] \) 'dir. ✅

Bu problemi bir eşitsizlik kurarak çözelim.

• 👉 Domatesin kilogram fiyatı = 12 TL
• 👉 Salatalığın kilogram fiyatı = 8 TL
• 👉 Toplam harcama en fazla = 100 TL
• 👉 Ahmet Bey'in aldığı domates miktarı = 4 kg
• 👉 Ahmet Bey'in alabileceği salatalık miktarı = \(y\) kg (bilinmeyen)

Öncelikle Ahmet Bey'in domates için ne kadar harcadığını bulalım:

• ✅ Domates için harcanan miktar = \(4 \text{ kg} \times 12 \text{ TL/kg} = 48 \text{ TL}\)

Şimdi salatalık için harcayabileceği maksimum miktarı bulalım. Toplam harcama 100 TL'yi geçmemelidir.

• ✅ Salatalık için harcanabilecek maksimum miktar = Toplam harcama - Domates harcaması
\[ 100 \text{ TL} - 48 \text{ TL} = 52 \text{ TL} \]

Ahmet Bey salatalık için en fazla 52 TL harcayabilir. Salatalığın kilogram fiyatı 8 TL olduğuna göre, alabileceği maksimum salatalık miktarını bulmak için eşitsizlik kuralım:

\[ 8y \le 52 \]

• ✅ \(y\) değerini bulmak için eşitsizliğin her iki tarafını 8'e bölelim:
\[ y \le \frac{52}{8} \] \[ y \le 6.5 \]

Ahmet Bey en fazla 6.5 kilogram salatalık alabilir. Genellikle kilogramlar tam veya yarım olarak satılsa da, problemde tam sayı istendiğine dair bir kısıtlama olmadığı için bu değeri kullanabiliriz. Eğer tam sayı istenseydi, en fazla 6 kg olurdu.

Cevap: Ahmet Bey en fazla \( 6.5 \) kilogram salatalık alabilir. ✅

İki üçgenin benzer olması için karşılıklı açılarının eşit olması yeterlidir (A.A. Benzerlik Kuralı).

• 👉 ABC üçgeninin açıları:
• \( m(\widehat{A}) = 50^\circ \)
• \( m(\widehat{B}) = 70^\circ \)
• Üçüncü açıyı bulalım: \( m(\widehat{C}) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)
• 👉 DEF üçgeninin açıları:
• \( m(\widehat{D}) = 50^\circ \)
• \( m(\widehat{E}) = 70^\circ \)
• Üçüncü açıyı bulalım: \( m(\widehat{F}) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)

Açıları karşılaştıralım:

• ✅ \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) = 50^\circ \)
• ✅ \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) = 70^\circ \)
• ✅ \( m(\widehat{C}) = m(\widehat{F}) = 60^\circ \)

Görüldüğü gibi, üçgenlerin karşılıklı tüm açıları birbirine eşittir. Bu durumda, ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir.

Benzerlik Sembolü ile İfade:

\[ \triangle ABC \sim \triangle DEF \]

Burada açıların sıralaması önemlidir: A açısı D açısına, B açısı E açısına ve C açısı F açısına karşılık gelmektedir.

Cevap: Üçgenler benzerdir ve \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) şeklinde ifade edilir. ✅

Bu problem, temel benzerlik teoremi (Thales Teoremi) ile çözülebilir. DE doğru parçası BC'ye paralel olduğu için \( \triangle ADE \) ve \( \triangle ABC \) üçgenleri benzerdir.

Verilenler:

• \( |AD| = 4 \) cm
• \( |DB| = 6 \) cm
• \( |AE| = 3 \) cm
• \( |EC| = x \) (bilinmeyen)

Temel benzerlik teoremine göre, paralel doğruların kestiği orantılı parçalar oluşur:

\[ \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \] Şimdi verilen değerleri yerine yazalım: \[ \frac{4}{6} = \frac{3}{x} \]

• 👉 Oranı sadeleştirelim:
\[ \frac{2}{3} = \frac{3}{x} \]
• 👉 İçler dışlar çarpımı yapalım:
\[ 2 \cdot x = 3 \cdot 3 \] \[ 2x = 9 \]
• 👉 \(x\) değerini bulmak için her iki tarafı 2'ye bölelim:
\[ x = \frac{9}{2} \] \[ x = 4.5 \]

Cevap: \( |EC| \) uzunluğu \( 4.5 \) cm'dir. ✅

Bu problem, benzer üçgenler oluşturarak çözülebilir. Güneş ışınları yere paralel düştüğü için, kişi ve ağacın oluşturduğu gölgelerle yer arasında dik üçgenler oluşur ve bu üçgenler benzerdir.

Verilenler:

• 👉 Kişinin boyu = \( 1.8 \) metre
• 👉 Kişinin gölge boyu = \( 2.4 \) metre
• 👉 Ağacın gölge boyu = \( 12 \) metre
• 👉 Ağacın boyu = \( x \) metre (bilinmeyen)

Kişinin boyunun gölge boyuna oranı ile ağacın boyunun gölge boyuna oranı eşit olacaktır:

\[ \frac{\text{Kişinin Boyu}}{\text{Kişinin Gölge Boyu}} = \frac{\text{Ağacın Boyu}}{\text{Ağacın Gölge Boyu}} \] Şimdi verilen değerleri yerine yazalım: \[ \frac{1.8}{2.4} = \frac{x}{12} \]

• 👉 Oranı sadeleştirelim. Pay ve paydayı 0.6 ile bölebiliriz:
\[ \frac{1.8 \div 0.6}{2.4 \div 0.6} = \frac{3}{4} \]

Yani eşitsizliğimiz şu hale gelir:

\[ \frac{3}{4} = \frac{x}{12} \]
• 👉 İçler dışlar çarpımı yapalım veya paydaları eşitleyelim. En kolay yol, \(4\) ile \(12\) arasındaki ilişkiyi kullanmaktır (4'ün 3 katı 12'dir). O zaman \(x\) de \(3\)'ün 3 katı olmalıdır.
\[ x = 3 \cdot 3 \] \[ x = 9 \]

Cevap: Ağacın boyu \( 9 \) metredir. ✅

Bu problemde iki farklı duruma göre eşitsizlikler kurup çözüm aralığını bulmamız gerekiyor.

Ücretlendirme:

• 👉 İlk 5 kg: 15 TL (sabit)
• 👉 5 kg sonrası her kg: 3 TL
• 👉 Müşteri ödemesi: \( 30 \text{ TL} \le \text{Ücret} \le 45 \text{ TL} \)

Paketin ağırlığına \( A \) diyelim. \( A \) kilogram olsun.

Paketin ağırlığı 5 kg'dan fazla olacağı için, ücreti şu şekilde hesaplarız:

\[ \text{Ücret} = 15 + 3 \cdot (A - 5) \] Şimdi bu ücreti verilen aralığa yerleştirelim ve iki ayrı eşitsizlik olarak çözelim: 1. Eşitsizlik (En az 30 TL): \[ 15 + 3(A - 5) \ge 30 \]

• ✅ Sabit terimi karşıya atalım:
\[ 3(A - 5) \ge 30 - 15 \] \[ 3(A - 5) \ge 15 \]
• ✅ Her iki tarafı 3'e bölelim:
\[ A - 5 \ge \frac{15}{3} \] \[ A - 5 \ge 5 \]
• ✅ Sabit terimi karşıya atalım:
\[ A \ge 5 + 5 \] \[ A \ge 10 \]

2. Eşitsizlik (En fazla 45 TL): \[ 15 + 3(A - 5) \le 45 \]

• ✅ Sabit terimi karşıya atalım:
\[ 3(A - 5) \le 45 - 15 \] \[ 3(A - 5) \le 30 \]
• ✅ Her iki tarafı 3'e bölelim:
\[ A - 5 \le \frac{30}{3} \] \[ A - 5 \le 10 \]
• ✅ Sabit terimi karşıya atalım:
\[ A \le 10 + 5 \] \[ A \le 15 \]

Her iki eşitsizliğin çözümünü birleştirdiğimizde, paketin ağırlığı \( A \) için aralık:

\[ 10 \le A \le 15 \]

Cevap: Müşteri, paketin ağırlığı \( 10 \) kilogram ile \( 15 \) kilogram arasında (bu değerler dahil) olmalıdır. ✅

Bu problemde hem benzerlikten faydalanacağız hem de bir kenar uzunluğunun alabileceği değeri bulacağız.

Verilenler:

• ABC üçgeni
• \( D \in BC \) ve \( AD \perp BC \)
• \( E \in AC \) ve \( DE \parallel AB \)
• \( |BD| = 3 \)
• \( |DC| = 5 \)
• \( |AD| = 4 \)

Öncelikle \( DE \parallel AB \) bilgisini kullanarak benzer üçgenleri belirleyelim. Bu durumda \( \triangle CDE \) ve \( \triangle CBA \) üçgenleri benzerdir.

Benzerlik oranını bulmak için \( |CD| \) ve \( |CB| \) uzunluklarına ihtiyacımız var:

• ✅ \( |CB| = |CD| + |DB| = 5 + 3 = 8 \) birim

Şimdi benzerlik oranını yazalım:

\[ \frac{|CD|}{|CB|} = \frac{|DE|}{|AB|} \] \[ \frac{5}{8} = \frac{|DE|}{|AB|} \]

Buradan \( |DE| = \frac{5}{8} |AB| \) sonucuna ulaşırız.

Şimdi \( |AB| \) uzunluğunu bulmalıyız. \( \triangle ADB \) bir dik üçgendir (\( AD \perp BC \)). Pisagor teoremini kullanarak \( |AB| \) uzunluğunu bulabiliriz:

\[ |AD|^2 + |BD|^2 = |AB|^2 \] \[ 4^2 + 3^2 = |AB|^2 \] \[ 16 + 9 = |AB|^2 \] \[ 25 = |AB|^2 \] \[ |AB| = 5 \]

Şimdi \( |AB| = 5 \) değerini benzerlik oranındaki yerine yazalım:

\[ |DE| = \frac{5}{8} \cdot 5 \] \[ |DE| = \frac{25}{8} \] \[ |DE| = 3.125 \]

Problemde \(|DE|\) uzunluğunun hangi aralıkta olması gerektiği sorulmuş. Bu durumda, \(|DE|\) uzunluğu tam olarak \(3.125\) birimdir. Eğer bir aralık sorulsaydı, bu genellikle bir kenar uzunluğunun alabileceği tam sayı değerleri veya bir eşitsizlik koşuluyla ilgili olurdu. Ancak burada net bir değer bulduk.

Eğer soru "DE uzunluğunun alabileceği tam sayı değerleri toplamı nedir?" gibi olsaydı, cevap farklı olurdu. Ancak burada \(|DE|\) tek bir değer almaktadır.

Bu soru tipi genellikle \(|DE|\) için bir aralık yerine belirli bir değer bulmayı gerektirir. Eğer bir eşitsizlik soruluyorsa, genellikle başka bir koşul veya \(|DE|\)nin bir değişken cinsinden ifade edilmesi gerekir. 9. sınıf müfredatında bu tür bir karmaşık aralık sorusu nadirdir. Bu durumda, \(|DE|\) 'nin değeri \(3.125\) birimdir.

Cevap: \( |DE| \) uzunluğu \( \frac{25}{8} \) veya \( 3.125 \) birimdir. ✅

Bu problemde benzerlik (ölçek) ve eşitsizlik kavramlarını bir arada kullanacağız.

1. Gerçek Uzaklığı Bulma:

• 👉 Harita üzerindeki uzaklık = 15 cm
• 👉 Ölçek = 1:500.000 (Bu, haritadaki 1 cm'nin gerçekte 500.000 cm'ye eşit olduğu anlamına gelir.)

Gerçek uzaklığı bulmak için harita üzerindeki uzaklığı ölçek faktörü ile çarparız:

\[ \text{Gerçek Uzaklık (cm)} = \text{Harita Uzaklığı (cm)} \times \text{Ölçek Faktörü} \] \[ \text{Gerçek Uzaklık (cm)} = 15 \times 500.000 \] \[ \text{Gerçek Uzaklık (cm)} = 7.500.000 \text{ cm} \]

Şimdi bu değeri kilometreye çevirelim. (1 metre = 100 cm, 1 kilometre = 1000 metre = 100.000 cm)

\[ \text{Gerçek Uzaklık (km)} = \frac{7.500.000}{100.000} = 75 \text{ km} \]

2. Harita Üzerindeki Maksimum Uzaklığı Bulma:

• 👉 Gerçek uzaklık en fazla = 100 km
• 👉 Harita üzerindeki uzaklık = \( x \) cm (bilinmeyen)

Önce 100 km'yi santimetreye çevirelim:

\[ 100 \text{ km} = 100 \times 100.000 \text{ cm} = 10.000.000 \text{ cm} \]

Şimdi harita üzerindeki uzaklık ile gerçek uzaklık arasındaki ilişkiyi eşitsizlik olarak kuralım:

\[ \text{Harita Uzaklığı (cm)} \times \text{Ölçek Faktörü} \le \text{Gerçek Uzaklık (cm)} \] \[ x \times 500.000 \le 10.000.000 \]

• ✅ \(x\) değerini bulmak için eşitsizliğin her iki tarafını 500.000'e bölelim:
\[ x \le \frac{10.000.000}{500.000} \] \[ x \le 20 \]

Cevap:
1. İki şehir arasındaki gerçek uzaklık \( 75 \) kilometredir. ✅
2. Gerçek uzaklık en fazla 100 km ise, harita üzerindeki uzaklık en fazla \( 20 \) cm olabilir. ✅