🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Esitsizlik Problemleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Esitsizlik Problemleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir sayının 3 katının 5 fazlası, aynı sayının 2 katının 10 eksiğinden büyüktür. Bu sayı en az kaçtır? 🔢
Çözüm:
Bu problemi bir eşitsizlik kurarak çözeceğiz. 🤔
- Değişken Tanımlama: Bilinmeyen sayıyı \(x\) ile gösterelim.
- Eşitsizliği Kurma: "Bir sayının 3 katının 5 fazlası" ifadesi \(3x + 5\) olarak yazılır. "Aynı sayının 2 katının 10 eksiği" ifadesi ise \(2x - 10\) olarak yazılır. Soruda bu iki ifadenin karşılaştırılması isteniyor: \(3x + 5 > 2x - 10\).
- Eşitsizliği Çözme:
- \(x\) terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım: \(3x - 2x > -10 - 5\) \(x > -15\)
- Sonucu Yorumlama: Eşitsizlik \(x > -15\) sonucunu verdi. Bu, sayının -15'ten büyük olması gerektiği anlamına gelir. Soruda "en az kaçtır?" diye sorulduğu için, -15'ten büyük en küçük tam sayıyı bulmalıyız. Bu sayı -14'tür. ✅
Örnek 2:
Bir çiftçi, tarlasının 5 dönümüne buğday, kalan kısmının ise yarısına mısır ekmiştir. Eğer çiftçinin ekmediği alan en fazla 12 dönüm ise, tarlasının toplam alanı en az kaç dönümdür? 🌾
Çözüm:
Bu soruyu da adım adım bir eşitsizlik ile çözeceğiz. 💡
- Değişken Tanımlama: Tarlanın toplam alanını \(T\) dönüm olarak alalım.
- Bilinenleri ve İstenenleri Belirleme:
- Buğday ekilen alan: 5 dönüm.
- Mısır ekilen alan: Kalan alanın yarısı.
- Ekilmeyen alan: En fazla 12 dönüm.
- Kalan Alanı Hesaplama: Tarlanın toplam alanı \(T\) ise, buğday ekildikten sonra kalan alan \(T - 5\) dönümdür.
- Mısır Ekilen Alanı Hesaplama: Kalan alanın yarısı mısır ekildiğine göre, mısır ekilen alan \( \frac{T - 5}{2} \) olur.
- Ekilmeyen Alanı Hesaplama: Tarlanın tamamından buğday ve mısır ekilen alanları çıkarırsak ekilmeyen alanı buluruz: \( T - 5 - \frac{T - 5}{2} \) Bu ifadeyi düzenleyelim: \( \frac{2(T - 5)}{2} - \frac{T - 5}{2} = \frac{2T - 10 - T + 5}{2} = \frac{T - 5}{2} \) Yani ekilmeyen alan da \( \frac{T - 5}{2} \) dönümdür.
- Eşitsizliği Kurma: Ekilmeyen alanın en fazla 12 dönüm olduğu bilgisi verilmiş: \( \frac{T - 5}{2} \le 12 \)
- Eşitsizliği Çözme:
- Her iki tarafı 2 ile çarpalım: \( T - 5 \le 24 \)
- Her iki tarafa 5 ekleyelim: \( T \le 29 \)
- Sonucu Yorumlama: Eşitsizlik \(T \le 29\) sonucunu verdi. Ancak soruda "tarlasının toplam alanı en az kaç dönümdür?" diye soruluyor. Bu noktada bir şeyi gözden kaçırmamalıyız: Tarlanın toplam alanı, ekilen alanlardan büyük olmalıdır. Yani \(T > 5\) olmalı. Ayrıca, kalan alan \(T-5\) pozitif olmalı, bu da \(T>5\) anlamına gelir. Mısır ekilen alan \( \frac{T-5}{2} \) da pozitif olmalı. Ekilmeyen alan \( \frac{T-5}{2} \) en fazla 12 dönüm olabilir. Bu durumda, ekilmeyen alanın en az olması gereken durumu düşünelim. Eğer ekilmeyen alan tam olarak 12 dönüm ise, \( \frac{T - 5}{2} = 12 \) olur, buradan \( T = 29 \) bulunur. Eğer ekilmeyen alan 12'den küçükse, \(T\) de 29'dan küçük olur. Ancak soruda "en az kaç dönümdür" diye soruluyor. Bu durumda, ekilmeyen alanın en fazla 12 dönüm olabileceği bilgisiyle, tarlanın toplam alanının alabileceği en küçük değeri bulmalıyız.
- Tekrar Değerlendirme: Ekilmeyen alan \( \frac{T-5}{2} \), en fazla 12 dönüm olabilir. Bu, \( T-5 \le 24 \) ve \( T \le 29 \) anlamına gelir. Ancak, tarlanın toplam alanı \(T\), buğday ekilen 5 dönümden ve mısır ekilen alandan daha büyük olmalıdır. Eğer \(T=29\) ise, kalan alan \(29-5=24\) olur. Mısır ekilen alan \(24/2=12\) olur. Ekilmeyen alan \(24-12=12\) olur. Bu durum eşitsizliği sağlar. Tarlanın toplam alanı, ekilen alanlardan büyük olmalıdır. Buğday 5 dönüm, mısır ise \( \frac{T-5}{2} \) dönüm. Toplam ekilen alan \( 5 + \frac{T-5}{2} \). Bu alan \(T\)'den az olmalı. Ekilen alan \( 5 + \frac{T-5}{2} \le T - 12 \) (Çünkü ekilmeyen alan en fazla 12). \( \frac{10 + T - 5}{2} \le T - 12 \) \( \frac{T + 5}{2} \le T - 12 \) \( T + 5 \le 2T - 24 \) \( 5 + 24 \le 2T - T \) \( 29 \le T \) Bu durumda, tarlanın toplam alanı en az 29 dönüm olmalıdır. ✅
Örnek 3:
Bir mağaza sahibi, bir ürün için maliyetinin %40'ı kadar karla satış fiyatını belirlemek istiyor. Eğer ürünün satış fiyatı en az 70 TL olmalıysa, ürünün maliyeti en az kaç TL olmalıdır? 💰
Çözüm:
Bu bir yüzde ve eşitsizlik problemi. Adım adım çözelim. 💡
- Değişken Tanımlama: Ürünün maliyetini \(M\) TL olarak alalım.
- Satış Fiyatını Hesaplama: Satış fiyatı, maliyetin %40'ı kadar kar eklenerek bulunur.
- Kar miktarı: \( M \times \frac{40}{100} = 0.40M \)
- Satış fiyatı = Maliyet + Kar
- Satış fiyatı = \( M + 0.40M = 1.40M \)
- Eşitsizliği Kurma: Ürünün satış fiyatının en az 70 TL olması gerektiği belirtilmiş. \( 1.40M \ge 70 \)
- Eşitsizliği Çözme:
- Her iki tarafı 1.40'a bölelim: \( M \ge \frac{70}{1.40} \) \( M \ge \frac{700}{14} \) \( M \ge 50 \)
- Sonucu Yorumlama: Eşitsizlik \(M \ge 50\) sonucunu verdi. Bu, ürünün maliyetinin en az 50 TL olması gerektiği anlamına gelir. ✅
Örnek 4:
Bir öğrenci, matematik sınavından en az 75 puan almalıdır. İlk üç sınavdan aldığı puanlar sırasıyla 68, 82 ve 70'tir. Dördüncü sınavdan alması gereken en düşük puanı bulunuz. 📝
Çözüm:
Bu soruda da ortalama ve eşitsizlik kavramlarını birleştireceğiz. 🤓
- Değişken Tanımlama: Dördüncü sınavdan alınması gereken puanı \(x\) ile gösterelim.
- Ortalamayı Hesaplama: Dört sınavın ortalaması, toplam puanın sınav sayısına bölünmesiyle bulunur.
- Toplam puan = \( 68 + 82 + 70 + x \)
- Toplam puan = \( 220 + x \)
- Sınav sayısı = 4
- Ortalama = \( \frac{220 + x}{4} \)
- Eşitsizliği Kurma: Öğrencinin ortalamasının en az 75 olması gerekiyor. \( \frac{220 + x}{4} \ge 75 \)
- Eşitsizliği Çözme:
- Her iki tarafı 4 ile çarpalım: \( 220 + x \ge 75 \times 4 \) \( 220 + x \ge 300 \)
- Her iki taraftan 220 çıkaralım: \( x \ge 300 - 220 \) \( x \ge 80 \)
- Sonucu Yorumlama: Eşitsizlik \(x \ge 80\) sonucunu verdi. Bu, öğrencinin dördüncü sınavdan en az 80 puan alması gerektiği anlamına gelir. ✅
Örnek 5:
Bir kırtasiyeci, tanesi 5 TL'den kalem alıp, tanesini 8 TL'den satmaktadır. Bir günde satamadığı kalemler için tanesi 1 TL zarar etmektedir. Eğer kırtasiyecinin bir günde elde ettiği toplam kar en az 100 TL ise, bu kırtasiyeci kaç kalem satmış olabilir? (Satılan kalem sayısı satılmayan kalem sayısından fazladır.) ✏️
Çözüm:
Bu yeni nesil soru, kar-zarar ve eşitsizlik mantığını bir arada kullanmayı gerektiriyor. 🤔
- Değişken Tanımlama:
- Bir günde satılan kalem sayısını \(s\) ile gösterelim.
- Bir günde satılmayan kalem sayısını \(f\) ile gösterelim.
- Toplam Kalem Sayısı: Toplam kalem sayısı \(s + f\) olur.
- Kar ve Zarar Hesaplamaları:
- Satılan kalemlerden elde edilen gelir: \( 8s \) TL
- Satılan kalemlerin maliyeti: \( 5s \) TL
- Satılan kalemlerden elde edilen kar: \( 8s - 5s = 3s \) TL
- Satılmayan kalemlerden oluşan zarar: Her satılmayan kalem için 1 TL zarar var. Bu zarar, aslında maliyetten düşülür. Yani, satılmayan kalemlerin maliyeti olan \(5f\) TL'den, satılmadığı için elde edilemeyen karı da düşünmeliyiz. Daha basit bir yaklaşımla, satılmayan her kalem için 1 TL zarar varsa, toplam zarar \( 1 \times f = f \) TL olur. Ancak bu zarar, maliyetten düşülen bir miktar olarak düşünülmelidir.
- Daha doğru bir kar/zarar hesabı:
- Toplam maliyet: \( 5(s+f) \)
- Toplam gelir: \( 8s \)
- Toplam kar = Toplam Gelir - Toplam Maliyet
- Toplam kar = \( 8s - 5(s+f) \)
- Toplam kar = \( 8s - 5s - 5f \)
- Toplam kar = \( 3s - 5f \)
- Eşitsizliği Kurma: Toplam karın en az 100 TL olması gerekiyor. \( 3s - 5f \ge 100 \)
- Ek Bilgileri Kullanma: Soruda "satılan kalem sayısı satılmayan kalem sayısından fazladır" deniyor. \( s > f \)
- Eşitsizliği Çözme ve Yorumlama:
- Elimizde iki bilinmeyenli bir eşitsizlik var: \( 3s - 5f \ge 100 \) ve \( s > f \).
- Burada \(s\) ve \(f\) tam sayılar olmalıdır.
- \(s > f\) koşulunu kullanarak \(f\) yerine \(s-1\) gibi bir değer koyamayız çünkü \(f\) bir tam sayı olmalı ve \(s\) ile arasındaki fark 1'den fazla olabilir.
- En az karı elde etmek için \(s\) değerini mümkün olduğunca küçük tutmaya çalışırken, \(f\) değerini de \(s\) ile ilişkili olarak kullanmalıyız.
- \(s > f\) olduğundan, \(f\) en fazla \(s-1\) olabilir. Bu durumda eşitsizliği \(s\) cinsinden yazabiliriz: \( 3s - 5(s-1) \ge 100 \) (Bu, \(f\)nin alabileceği en büyük değeri kullanarak \(s\) için bir alt sınır bulmaya çalışır.) \( 3s - 5s + 5 \ge 100 \) \( -2s + 5 \ge 100 \) \( -2s \ge 95 \) \( s \le -\frac{95}{2} \) Bu sonuç mantıklı değil çünkü \(s\) (satılan kalem sayısı) negatif olamaz. Bu, \(f\)nin alabileceği en büyük değeri kullanarak \(s\) için bir alt sınır bulmaya çalışmanın yanlış bir yaklaşım olduğunu gösterir.
- Farklı Bir Yaklaşım: \( 3s - 5f \ge 100 \) ve \( s > f \). \(s\) ve \(f\) tam sayılar. Eğer \(f=1\) ise, \(3s - 5 \ge 100 \implies 3s \ge 105 \implies s \ge 35\). Bu durumda \(s=35\) olabilir. \(s > f\) koşulu \(35 > 1\) sağlanır. Toplam kar \(3(35) - 5(1) = 105 - 5 = 100\). Bu bir çözüm olabilir. Eğer \(f=2\) ise, \(3s - 10 \ge 100 \implies 3s \ge 110 \implies s \ge \frac{110}{3} \approx 36.67\). \(s\) tam sayı olmalı, yani \(s \ge 37\). \(s > f\) koşulu \(37 > 2\) sağlanır. Toplam kar \(3(37) - 5(2) = 111 - 10 = 101\). Bu da bir çözüm olabilir. Eğer \(f=3\) ise, \(3s - 15 \ge 100 \implies 3s \ge 115 \implies s \ge \frac{115}{3} \approx 38.33\). \(s \ge 39\). \(s > f\) koşulu \(39 > 3\) sağlanır. Toplam kar \(3(39) - 5(3) = 117 - 15 = 102\). Soruda "kaç kalem satmış olabilir?" diye soruluyor. Bu, birden fazla olası cevabın olduğu anlamına gelir. En az kar 100 TL olduğunda, \(s\) ve \(f\) arasındaki ilişkiyi göz önünde bulundurmalıyız. \( 3s \ge 100 + 5f \) \( s \ge \frac{100 + 5f}{3} \) Ayrıca \( s > f \) olmalı. En küçük \(s\) değerini bulmak için \(f\)nin en küçük tam sayı değerini düşünelim. \(f\) satılmayan kalem sayısı olduğu için en az 0 olabilir. Ancak \(s>f\) koşulu gereği \(f\) en fazla \(s-1\) olabilir. Eğer \(f=0\) olursa, \(s > 0\) olur. \(3s \ge 100 \implies s \ge 33.33\). \(s \ge 34\). Bu durumda \(s=34\) ve \(f=0\) olabilir. Kar \(3(34) - 5(0) = 102\). Bu da bir çözümdür. Eğer \(f=1\) ise, \(s \ge \frac{105}{3} = 35\). \(s=35\) olabilir. \(s>f\) yani \(35>1\) sağlanır. Kar \(3(35)-5(1)=100\). Eğer \(f=2\) ise, \(s \ge \frac{110}{3} \approx 36.67\). \(s \ge 37\). \(s>f\) yani \(37>2\) sağlanır. Kar \(3(37)-5(2)=101\). Eğer \(f=3\) ise, \(s \ge \frac{115}{3} \approx 38.33\). \(s \ge 39\). \(s>f\) yani \(39>3\) sağlanır. Kar \(3(39)-5(3)=102\). Eğer \(f=4\) ise, \(s \ge \frac{120}{3} = 40\). \(s=40\) olabilir. \(s>f\) yani \(40>4\) sağlanır. Kar \(3(40)-5(4)=120-20=100\). Eğer \(f=5\) ise, \(s \ge \frac{125}{3} \approx 41.67\). \(s \ge 42\). \(s>f\) yani \(42>5\) sağlanır. Kar \(3(42)-5(5)=126-25=101\). Soruda "kaç kalem satmış olabilir?" diye sorulduğu için, olası bir değeri bulmamız yeterli. \(s=35\) ve \(f=1\) olduğunda kar tam olarak 100 TL olur. \(s>f\) koşulu da sağlanır. Bu durumda kırtasiyeci 35 kalem satmış olabilir. ✅
Örnek 6:
Bir inşaat firması, bir binanın temelini atmak için en az 500 ton çimento kullanmalıdır. Her bir çimento torbası 25 kg'dır. Bu inşaat için kaç adet çimento torbasına ihtiyaç vardır? (1 ton = 1000 kg) 🏗️
Çözüm:
Bu problemde birim dönüştürme ve eşitsizlik mantığını kullanacağız. 📐
- Değişken Tanımlama: İhtiyaç duyulan çimento torbası sayısını \(N\) ile gösterelim.
- Birim Dönüştürme:
- İhtiyaç duyulan çimento miktarı: En az 500 ton.
- Tonu kilograma çevirelim: \( 500 \text{ ton} \times 1000 \frac{\text{kg}}{\text{ton}} = 500000 \text{ kg} \)
- Yani, en az 500000 kg çimentoya ihtiyaç vardır.
- Torba Başına Ağırlık: Her çimento torbası 25 kg'dır.
- Eşitsizliği Kurma:
- Toplam çimento miktarı = Torba sayısı \( \times \) Torba başına ağırlık
- \( N \times 25 \text{ kg} \ge 500000 \text{ kg} \)
- Eşitsizliği Çözme:
- Her iki tarafı 25'e bölelim: \( N \ge \frac{500000}{25} \) \( N \ge 20000 \)
- Sonucu Yorumlama: Eşitsizlik \(N \ge 20000\) sonucunu verdi. Bu, en az 20000 adet çimento torbasına ihtiyaç olduğu anlamına gelir. ✅
Örnek 7:
Bir fabrikada A ve B olmak üzere iki çeşit ürün üretilmektedir. A ürününden üretilen miktar, B ürününden üretilen miktarın 2 katından 50 eksiktir. Toplam üretilen ürün miktarı 400'ü geçmemelidir. Buna göre, B ürününden en fazla kaç adet üretilebilir? 🏭
Çözüm:
Bu soruda da iki değişkenli eşitsizlik kurup çözeceğiz. 🧩
- Değişken Tanımlama:
- A ürününden üretilen miktarı \(a\) ile gösterelim.
- B ürününden üretilen miktarı \(b\) ile gösterelim.
- Eşitsizlikleri Kurma:
- "A ürününden üretilen miktar, B ürününden üretilen miktarın 2 katından 50 eksiktir." \( a = 2b - 50 \)
- "Toplam üretilen ürün miktarı 400'ü geçmemelidir." \( a + b \le 400 \)
- Eşitsizliği Çözme:
- İlk denklemdeki \(a\) değerini ikinci eşitsizlikte yerine koyalım: \( (2b - 50) + b \le 400 \)
- \(b\) terimlerini bir araya toplayalım: \( 3b - 50 \le 400 \)
- Her iki tarafa 50 ekleyelim: \( 3b \le 400 + 50 \) \( 3b \le 450 \)
- Her iki tarafı 3'e bölelim: \( b \le \frac{450}{3} \) \( b \le 150 \)
- Sonucu Yorumlama: Eşitsizlik \(b \le 150\) sonucunu verdi. Bu, B ürününden en fazla 150 adet üretilebileceği anlamına gelir. Soruda "en fazla kaç adet üretilebilir?" diye sorulduğu için bu sonuç doğrudur. ✅
Örnek 8:
Bir araç kiralama şirketi, günlük kiralama ücreti olarak 100 TL almaktadır. Ayrıca, her kilometre için 2 TL ek ücret talep etmektedir. Eğer bir müşteri, bir haftalık (7 gün) araç kiralama için ödeyeceği toplam ücretin 1000 TL'yi geçmemesini istiyorsa, bu müşteri en fazla kaç kilometre yol yapabilir? 🚗
Çözüm:
Bu problemde günlük ücret, kilometre ücreti ve eşitsizlik kavramlarını birleştireceğiz. 🛣️
- Değişken Tanımlama:
- Müşterinin bir haftada yapacağı toplam kilometre sayısını \(k\) ile gösterelim.
- Toplam Ücreti Hesaplama:
- Günlük sabit ücret: 100 TL/gün.
- Bir haftalık sabit ücret: \( 100 \text{ TL/gün} \times 7 \text{ gün} = 700 \text{ TL} \)
- Kilometre başına ücret: 2 TL/km.
- Toplam kilometre ücreti: \( 2 \times k \) TL
- Toplam ödenecek ücret: Bir haftalık sabit ücret + Toplam kilometre ücreti
- Toplam ödenecek ücret = \( 700 + 2k \) TL
- Eşitsizliği Kurma: Ödenecek toplam ücretin 1000 TL'yi geçmemesi gerekiyor. \( 700 + 2k \le 1000 \)
- Eşitsizliği Çözme:
- Her iki taraftan 700 çıkaralım: \( 2k \le 1000 - 700 \) \( 2k \le 300 \)
- Her iki tarafı 2'ye bölelim: \( k \le \frac{300}{2} \) \( k \le 150 \)
- Sonucu Yorumlama: Eşitsizlik \(k \le 150\) sonucunu verdi. Bu, müşterinin en fazla 150 kilometre yol yapabileceği anlamına gelir. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-esitsizlik-problemleri/sorular