🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Eşitlik Ve Benzerlikler Test Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Eşitlik Ve Benzerlikler Test Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde kenar uzunlukları \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm ve \( |AC| = 9 \) cm'dir. Bir DEF üçgeninde ise kenar uzunlukları \( |DE| = 5 \) cm, \( |EF| = 7 \) cm ve \( |DF| = 9 \) cm'dir. Bu iki üçgenin eşliğini inceleyiniz. 🤔
Çözüm:
Bu iki üçgenin eşliğini incelemek için Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşlik Aksiyomu'nu kullanabiliriz. 💡
- 👉 Adım 1: ABC üçgeninin kenar uzunluklarını kontrol edelim: \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm, \( |AC| = 9 \) cm.
- 👉 Adım 2: DEF üçgeninin kenar uzunluklarını kontrol edelim: \( |DE| = 5 \) cm, \( |EF| = 7 \) cm, \( |DF| = 9 \) cm.
- 👉 Adım 3: Karşılıklı kenarları karşılaştıralım:
- \( |AB| = |DE| = 5 \) cm
- \( |BC| = |EF| = 7 \) cm
- \( |AC| = |DF| = 9 \) cm
- ✅ Sonuç: Her üç karşılıklı kenar uzunluğu da birbirine eşit olduğu için ABC üçgeni ile DEF üçgeni eştir. Bu durumu \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) şeklinde gösteririz.
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde \( m(\widehat{A}) = 50^\circ \), \( m(\widehat{B}) = 70^\circ \) ve \( |AB| = 8 \) cm'dir. Bir KLM üçgeninde ise \( m(\widehat{K}) = 50^\circ \), \( m(\widehat{L}) = 70^\circ \) ve \( |KL| = 8 \) cm'dir. Bu iki üçgenin eşliğini veya benzerliğini belirleyiniz. 📐
Çözüm:
Bu üçgenlerin eşliğini veya benzerliğini belirlemek için Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşlik Aksiyomu'nu kullanabiliriz. 📌
- 👉 Adım 1: ABC üçgeninin açıları ve bir kenarı: \( m(\widehat{A}) = 50^\circ \), \( m(\widehat{B}) = 70^\circ \), \( |AB| = 8 \) cm.
- 👉 Adım 2: KLM üçgeninin açıları ve bir kenarı: \( m(\widehat{K}) = 50^\circ \), \( m(\widehat{L}) = 70^\circ \), \( |KL| = 8 \) cm.
- 👉 Adım 3: Karşılıklı açıları ve bu açılar arasındaki kenarı karşılaştıralım:
- \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{K}) = 50^\circ \)
- \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{L}) = 70^\circ \)
- \( |AB| = |KL| = 8 \) cm (Eşit açılar arasındaki kenarlar)
- ✅ Sonuç: İkişer açısı ve bu açılar arasındaki kenarları eşit olduğu için ABC üçgeni ile KLM üçgeni eştir. Yani \( \triangle ABC \cong \triangle KLM \). Eş üçgenler aynı zamanda benzerdirler (benzerlik oranı 1'dir).
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde \( m(\widehat{A}) = 60^\circ \), \( m(\widehat{B}) = 80^\circ \) ve \( |BC| = 10 \) cm'dir. Bir DEF üçgeninde ise \( m(\widehat{D}) = 60^\circ \), \( m(\widehat{E}) = 80^\circ \) ve \( |EF| = 15 \) cm'dir. Bu iki üçgenin benzerlik oranını bulunuz. 🧐
Çözüm:
Bu üçgenlerin benzerliğini Açı-Açı (AA) Benzerlik Aksiyomu ile belirleyebiliriz. Benzerlik oranını bulmak için karşılıklı kenarları oranlamamız gerekir.
- 👉 Adım 1: ABC üçgeninin açıları: \( m(\widehat{A}) = 60^\circ \), \( m(\widehat{B}) = 80^\circ \). Üçüncü açı \( m(\widehat{C}) = 180^\circ - (60^\circ + 80^\circ) = 40^\circ \).
- 👉 Adım 2: DEF üçgeninin açıları: \( m(\widehat{D}) = 60^\circ \), \( m(\widehat{E}) = 80^\circ \). Üçüncü açı \( m(\widehat{F}) = 180^\circ - (60^\circ + 80^\circ) = 40^\circ \).
- 👉 Adım 3: Açıları eşit olduğu için (\( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) \), \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) \), \( m(\widehat{C}) = m(\widehat{F}) \)) bu iki üçgen benzerdir. Yani \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \).
- 👉 Adım 4: Benzerlik oranını bulmak için karşılıklı kenarları oranlayalım. \( \widehat{A} \) açısının karşısındaki kenar \( |BC| \), \( \widehat{D} \) açısının karşısındaki kenar \( |EF| \). \[ \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{10}{15} \]
- 👉 Adım 5: Oranı sadeleştirelim: \[ \frac{10}{15} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{2}{3} \]
- ✅ Sonuç: ABC üçgeninin DEF üçgenine benzerlik oranı \( \frac{2}{3} \)'tür.
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninin kenarları \( |AB| = 6 \) cm, \( |BC| = 9 \) cm ve \( |AC| = 12 \) cm'dir. Bu üçgene benzer olan bir PQR üçgeninin en kısa kenarı \( |PQ| = 4 \) cm ise, PQR üçgeninin diğer kenar uzunluklarını bulunuz. 📏
Çözüm:
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir. Bu orana benzerlik oranı denir.
- 👉 Adım 1: ABC üçgeninin kenar uzunluklarını küçükten büyüğe sıralayalım: 6 cm, 9 cm, 12 cm. En kısa kenar \( |AB| = 6 \) cm'dir.
- 👉 Adım 2: PQR üçgeninin en kısa kenarı \( |PQ| = 4 \) cm olarak verilmiştir. Bu, ABC üçgeninin en kısa kenarı olan \( |AB| \) ile karşılıklıdır.
- 👉 Adım 3: Benzerlik oranını (\( k \)) bulalım: \[ k = \frac{|PQ|}{|AB|} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
- 👉 Adım 4: PQR üçgeninin diğer kenarlarını bulmak için ABC üçgeninin diğer kenarlarını benzerlik oranı ile çarpalım:
- \( |QR| \) kenarı \( |BC| \) kenarına karşılıktır: \( |QR| = |BC| \times k = 9 \times \frac{2}{3} = 3 \times 2 = 6 \) cm.
- \( |PR| \) kenarı \( |AC| \) kenarına karşılıktır: \( |PR| = |AC| \times k = 12 \times \frac{2}{3} = 4 \times 2 = 8 \) cm.
- ✅ Sonuç: PQR üçgeninin kenar uzunlukları 4 cm, 6 cm ve 8 cm'dir.
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası AC kenarı üzerindedir. DE doğru parçası BC doğru parçasına paraleldir (\( DE \parallel BC \)). Eğer \( |AD| = 4 \) cm, \( |DB| = 6 \) cm ve \( |AE| = 3 \) cm ise, \( |EC| \) uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu problemde Temel Benzerlik Teoremi (Thales Teoremi) uygulanır. Paralel doğru parçaları üçgen içinde benzer üçgenler oluşturur. 💡
- 👉 Adım 1: \( DE \parallel BC \) olduğu için \( \triangle ADE \) ile \( \triangle ABC \) benzer üçgenlerdir.
- 👉 Adım 2: Temel Benzerlik Teoremi'ne göre, kenarların oranları eşittir: \[ \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} \]
- 👉 Adım 3: \( |AB| \) uzunluğunu bulalım: \( |AB| = |AD| + |DB| = 4 + 6 = 10 \) cm.
- 👉 Adım 4: Bilinen değerleri formülde yerine koyalım: \[ \frac{4}{10} = \frac{3}{|AC|} \]
- 👉 Adım 5: İçler dışlar çarpımı yaparak \( |AC| \) uzunluğunu bulalım: \[ 4 \times |AC| = 10 \times 3 \] \[ 4 \times |AC| = 30 \] \[ |AC| = \frac{30}{4} = \frac{15}{2} = 7.5 \text{ cm} \]
- 👉 Adım 6: \( |EC| \) uzunluğunu bulmak için \( |AC| \) uzunluğundan \( |AE| \) uzunluğunu çıkaralım: \[ |EC| = |AC| - |AE| = 7.5 - 3 = 4.5 \text{ cm} \]
- ✅ Sonuç: \( |EC| \) uzunluğu \( 4.5 \) cm'dir.
Örnek 6:
Elif, bir binanın yüksekliğini tahmin etmek için aşağıdaki yöntemi kullanıyor:
Bir ayna yere yatay olarak konuluyor. Elif aynadan binanın tepesini görecek şekilde aynadan 2 metre uzakta duruyor. Elif'in göz hizası yerden 1.6 metre yükseklikte ve ayna binadan 20 metre uzakta. Buna göre binanın yüksekliği yaklaşık olarak kaç metredir? (Elif'in ve binanın yere dik durduğu varsayılacaktır.) 🧍♀️🏢
Bir ayna yere yatay olarak konuluyor. Elif aynadan binanın tepesini görecek şekilde aynadan 2 metre uzakta duruyor. Elif'in göz hizası yerden 1.6 metre yükseklikte ve ayna binadan 20 metre uzakta. Buna göre binanın yüksekliği yaklaşık olarak kaç metredir? (Elif'in ve binanın yere dik durduğu varsayılacaktır.) 🧍♀️🏢
Çözüm:
Bu problem, aynadan yansıma prensibi ve benzer üçgenler kullanılarak çözülebilir. Aynaya gelen ışın ile yansıyan ışın aynı açıyı yapar. 💡
- 👉 Adım 1: Elif'in göz hizası, Elif'in aynaya uzaklığı ve ayna ile yer arasındaki nokta bir dik üçgen oluşturur. Binanın tepesi, binanın aynaya uzaklığı ve ayna ile yer arasındaki nokta da başka bir dik üçgen oluşturur.
- 👉 Adım 2: Aynaya gelen ve yansıyan ışınların yerle yaptığı açılar eşit olduğu için, Elif'in oluşturduğu dik üçgen ile binanın oluşturduğu dik üçgen benzerdir (Açı-Açı Benzerliği).
- 👉 Adım 3: Benzerlik oranını kullanarak binanın yüksekliğini (\( h \)) bulalım: \[ \frac{\text{Elif'in göz hizası}}{\text{Elif'in aynaya uzaklığı}} = \frac{\text{Binanın yüksekliği}}{\text{Binanın aynaya uzaklığı}} \]
- 👉 Adım 4: Verilen değerleri yerine koyalım: \[ \frac{1.6}{2} = \frac{h}{20} \]
- 👉 Adım 5: İçler dışlar çarpımı yaparak \( h \) değerini bulalım: \[ 2 \times h = 1.6 \times 20 \] \[ 2h = 32 \] \[ h = \frac{32}{2} \] \[ h = 16 \text{ metre} \]
- ✅ Sonuç: Binanın yüksekliği yaklaşık olarak 16 metredir.
Örnek 7:
Bir mimar, yapacağı binanın maketini 1:50 ölçek kullanarak hazırlıyor. Eğer maketteki bir pencerenin yüksekliği 4 cm ise, gerçek binadaki pencerenin yüksekliği kaç metredir? 🏗️
Çözüm:
Bu problemde verilen ölçek, benzerlik oranı olarak düşünülebilir. Ölçek, maket üzerindeki bir uzunluğun gerçekteki uzunluğa oranıdır.
- 👉 Adım 1: Ölçek 1:50 olarak verilmiştir. Bu, maketteki 1 birim uzunluğun gerçekte 50 birim uzunluğa karşılık geldiği anlamına gelir. \[ \frac{\text{Maket Uzunluğu}}{\text{Gerçek Uzunluk}} = \frac{1}{50} \]
- 👉 Adım 2: Maketteki pencere yüksekliği 4 cm olarak verilmiştir. Gerçek pencere yüksekliğini (\( x \)) bulmak istiyoruz. \[ \frac{4 \text{ cm}}{x} = \frac{1}{50} \]
- 👉 Adım 3: İçler dışlar çarpımı yaparak \( x \) değerini bulalım: \[ 1 \times x = 4 \times 50 \] \[ x = 200 \text{ cm} \]
- 👉 Adım 4: Soruda gerçek yüksekliğin "metre" cinsinden istendiği belirtildiği için santimetreyi metreye çevirelim. (1 metre = 100 cm) \[ 200 \text{ cm} = \frac{200}{100} \text{ metre} = 2 \text{ metre} \]
- ✅ Sonuç: Gerçek binadaki pencerenin yüksekliği 2 metredir.
Örnek 8:
ABCD bir yamuktur ve \( AB \parallel DC \)'dir. Köşegenler E noktasında kesişmektedir. Eğer \( |AB| = 12 \) cm, \( |DC| = 8 \) cm ve \( |DE| = 6 \) cm ise, \( |EB| \) uzunluğunu bulunuz. 🦋
Çözüm:
Bu problemde Kelebek Benzerliği (veya Kum Saati Benzerliği) kullanılır. Paralel kenarlar arasında köşegenlerin kesişimi benzer üçgenler oluşturur.
- 👉 Adım 1: \( AB \parallel DC \) olduğu için, \( \triangle ABE \) ve \( \triangle CDE \) üçgenleri benzerdir.
- \( m(\widehat{BAE}) = m(\widehat{DCE}) \) (İç ters açılar)
- \( m(\widehat{ABE}) = m(\widehat{CDE}) \) (İç ters açılar)
- \( m(\widehat{AEB}) = m(\widehat{CED}) \) (Ters açılar)
- 👉 Adım 2: Benzerlik oranını bulmak için karşılıklı kenarları oranlayalım: \[ \frac{|AB|}{|DC|} = \frac{|AE|}{|CE|} = \frac{|BE|}{|DE|} \]
- 👉 Adım 3: Bilinen değerleri benzerlik oranına yerleştirelim: \[ \frac{12}{8} = \frac{|BE|}{6} \]
- 👉 Adım 4: Oranı sadeleştirelim: \[ \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \]
- 👉 Adım 5: Şimdi \( |BE| \) uzunluğunu bulmak için denklemi çözelim: \[ \frac{3}{2} = \frac{|BE|}{6} \] İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 2 \times |BE| = 3 \times 6 \] \[ 2 \times |BE| = 18 \] \[ |BE| = \frac{18}{2} \] \[ |BE| = 9 \text{ cm} \]
- ✅ Sonuç: \( |EB| \) uzunluğu 9 cm'dir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-esitlik-ve-benzerlikler-test/sorular