💡 9. Sınıf Matematik: Eşitlik Ve Benzerlik Çözümlü Örnekler

• 👉 SSS Eşlik Aksiyomu: İki üçgenin karşılıklı tüm kenar uzunlukları eşitse, bu iki üçgen eştir.


• Öncelikle ABC üçgeninin kenar uzunluklarını yazalım:
  • \(|AB| = 5\) cm
  • \(|BC| = 7\) cm
  • \(|AC| = 9\) cm


• Şimdi de DEF üçgeninin kenar uzunluklarını yazalım:
  • \(|DE| = 5\) cm
  • \(|EF| = 7\) cm
  • \(|DF| = 9\) cm


• Karşılıklı kenarları kontrol edelim:
  • \(|AB| = 5\) cm ve \(|DE| = 5\) cm. Kenarlar eşit. ✅
  • \(|BC| = 7\) cm ve \(|EF| = 7\) cm. Kenarlar eşit. ✅
  • \(|AC| = 9\) cm ve \(|DF| = 9\) cm. Kenarlar eşit. ✅


• Gördüğümüz gibi, ABC üçgeninin tüm kenar uzunlukları, DEF üçgeninin karşılıklı kenar uzunluklarına eşittir.


• Bu durumda SSS Eşlik Aksiyomu'na göre, ABC üçgeni ile DEF üçgeni eştir.
  Matematiksel olarak bu durumu \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) şeklinde ifade ederiz.

✅ Sonuç: Üçgenler eştir.

• 👉 AA Benzerlik Aksiyomu: İki üçgenin karşılıklı iki açısı eşitse, bu iki üçgen benzerdir.


• Öncelikle ABC üçgeninin açılarını yazalım:
  • \( m(\angle A) = 50^\circ \)
  • \( m(\angle B) = 70^\circ \)
  • Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, \( m(\angle C) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).


• Şimdi de DEF üçgeninin açılarını yazalım:
  • \( m(\angle D) = 50^\circ \)
  • \( m(\angle E) = 70^\circ \)
  • Yine iç açılar toplamından, \( m(\angle F) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).


• Karşılıklı açıları kontrol edelim:
  • \( m(\angle A) = 50^\circ \) ve \( m(\angle D) = 50^\circ \). Açılar eşit. ✅
  • \( m(\angle B) = 70^\circ \) ve \( m(\angle E) = 70^\circ \). Açılar eşit. ✅
  • \( m(\angle C) = 60^\circ \) ve \( m(\angle F) = 60^\circ \). Açılar eşit. ✅


• Gördüğümüz gibi, ABC üçgeninin tüm açıları, DEF üçgeninin karşılıklı açılarına eşittir. AA Benzerlik Aksiyomu'na göre, sadece iki açının eşitliği bile benzerlik için yeterlidir.


• Bu durumda ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir.
  Matematiksel olarak bu durumu \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) şeklinde ifade ederiz.


• 📌 Benzerlik Oranı: Benzer üçgenlerde benzerlik oranı (k), karşılıklı kenarların oranlanmasıyla bulunur. Ancak bu soruda kenar uzunlukları verilmediği için, sayısal bir benzerlik oranı hesaplayamayız. Eğer kenar uzunlukları verilseydi, örneğin \( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{|AC|}{|DF|} = k \) eşitliğini kullanarak oranı bulabilirdik.

✅ Sonuç: Üçgenler benzerdir. Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranıdır.

• 👉 SAS Eşlik Aksiyomu: İki üçgenin karşılıklı iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasında kalan açının ölçüsü eşitse, bu iki üçgen eştir.


• KLM üçgeninin verilenlerini yazalım:
  • \( |KL| = 6 \) cm
  • \( m(\angle L) = 40^\circ \)
  • \( |LM| = 8 \) cm


• PRS üçgeninin verilenlerini yazalım:
  • \( |PR| = 6 \) cm
  • \( m(\angle R) = 40^\circ \)
  • \( |RS| = 8 \) cm


• Şimdi SAS kriterine göre kontrol edelim:
  • Birinci kenar: \( |KL| = 6 \) cm ve \( |PR| = 6 \) cm. Kenarlar eşit. ✅
  • Bu kenarlar arasında kalan açı: \( m(\angle L) = 40^\circ \) ve \( m(\angle R) = 40^\circ \). Açılar eşit. ✅
  • İkinci kenar: \( |LM| = 8 \) cm ve \( |RS| = 8 \) cm. Kenarlar eşit. ✅


• Gördüğümüz gibi, KLM üçgenindeki iki kenar ve bu kenarlar arasındaki açı, PRS üçgenindeki karşılıklı iki kenar ve bu kenarlar arasındaki açıya eştir.


• Bu durumda SAS Eşlik Aksiyomu'na göre, KLM üçgeni ile PRS üçgeni eştir.
  Matematiksel olarak bu durumu \( \triangle KLM \cong \triangle PRS \) şeklinde ifade ederiz.

✅ Sonuç: Üçgenler eştir.

• 👉 Temel Benzerlik Teoremi (Thales Teoremi): Bir üçgenin bir kenarına paralel olan bir doğru, diğer iki kenarı kestiğinde, bu doğru üçgenin kenarlarını orantılı böler ve küçük üçgen ile büyük üçgen benzer olur. Yani, \( DE \parallel BC \) ise, \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) olur.


• Verilen uzunlukları not edelim:
  • \( |AD| = 4 \) cm
  • \( |DB| = 2 \) cm
  • \( |AE| = 6 \) cm
  • Aradığımız uzunluk: \( |EC| \)


• Temel Benzerlik Teoremi'ne göre, \( DE \parallel BC \) olduğundan, kenarlar orantılı olarak bölünür. Yani: \[ \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \]


• Şimdi verilen değerleri formülde yerine yazalım: \[ \frac{4}{2} = \frac{6}{|EC|} \]


• Denklemi basitleştirelim: \[ 2 = \frac{6}{|EC|} \]


• \( |EC| \) uzunluğunu bulmak için denklemi çözelim: \[ 2 \cdot |EC| = 6 \] \[ |EC| = \frac{6}{2} \] \[ |EC| = 3 \]

✅ Sonuç: \( |EC| \) uzunluğu \( 3 \) cm'dir.

• 👉 Benzer Şekillerde Alan Oranı: İki benzer şeklin benzerlik oranı \( k \) ise, bu şekillerin alanları oranı \( k^2 \) olur.


• Öncelikle verilen benzerlik oranını belirleyelim:
  • Maket / Gerçek bina benzerlik oranı \( k = \frac{1}{50} \).


• Şimdi alan oranını bulalım. Alan oranı, benzerlik oranının karesidir: \[ \text{Alan Oranı} = k^2 = \left( \frac{1}{50} \right)^2 \] \[ \text{Alan Oranı} = \frac{1^2}{50^2} = \frac{1}{2500} \]


• Bu alan oranı, maket binanın taban alanının gerçek binanın taban alanına oranıdır: \[ \frac{\text{Maket Alanı}}{\text{Gerçek Alan}} = \frac{1}{2500} \]


• Maket binanın taban alanı \( 2 \) \( m^2 \) olarak verilmiştir. Bu değeri formülde yerine yazalım: \[ \frac{2}{\text{Gerçek Alan}} = \frac{1}{2500} \]


• Şimdi gerçek binanın taban alanını bulmak için denklemi çözelim: \[ \text{Gerçek Alan} \cdot 1 = 2 \cdot 2500 \] \[ \text{Gerçek Alan} = 5000 \]

✅ Sonuç: Gerçek binanın taban alanı \( 5000 \) \( m^2 \)'dir.

• 👉 AA Benzerliği: Güneş ışınlarının aynı açıyla gelmesi nedeniyle, hem öğrenci hem de ağaç, zeminle \( 90^\circ \) açı yapar ve güneş ışınlarının geliş açısı da aynıdır. Bu durumda oluşan iki dik üçgen (öğrenci-gölge ve ağaç-gölge) benzerdir.


• Verilenleri not edelim:
  • Öğrencinin boyu: \( 1.8 \) m
  • Öğrencinin gölge boyu: \( 2.4 \) m
  • Ağacın gölge boyu: \( 16 \) m
  • Aradığımız: Ağacın boyu (x)


• Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir. Yani, öğrencinin boyunun gölge boyuna oranı, ağacın boyunun gölge boyuna oranına eşit olacaktır: \[ \frac{\text{Öğrencinin Boyu}}{\text{Öğrencinin Gölge Boyu}} = \frac{\text{Ağacın Boyu}}{\text{Ağacın Gölge Boyu}} \]


• Şimdi verilen değerleri formülde yerine yazalım: \[ \frac{1.8}{2.4} = \frac{x}{16} \]


• Denklemi basitleştirelim. \( \frac{1.8}{2.4} \) oranını sadeleştirebiliriz. Her iki tarafı \( 0.6 \) ile bölelim: \[ \frac{1.8 \div 0.6}{2.4 \div 0.6} = \frac{3}{4} \]


• Şimdi denklemi tekrar yazalım: \[ \frac{3}{4} = \frac{x}{16} \]


• \( x \) değerini bulmak için çapraz çarpım yapalım veya paydaları eşitleyelim: \[ 4x = 3 \cdot 16 \] \[ 4x = 48 \] \[ x = \frac{48}{4} \] \[ x = 12 \]

✅ Sonuç: Ağacın boyu \( 12 \) metredir.

• Bir ABCD dikdörtgeninde tüm iç açılar \( 90^\circ \)'dir. Dolayısıyla \( m(\angle B) = 90^\circ \) ve \( m(\angle D) = 90^\circ \).


• EBF üçgeninin kenarlarını ve açısını inceleyelim:
  • \( |EB| = 5 \) cm
  • \( |BF| = 4 \) cm
  • \( m(\angle B) = 90^\circ \) (Dikdörtgenin köşesi)


• FDG üçgeninin kenarlarını ve açısını inceleyelim:
  • \( |FD| \): FDG üçgeninde \( |FD| \) kenarı yoktur. Sanırım soru metninde bir karışıklık var. FDG üçgeni yerine GCF veya DAG gibi bir üçgen kastedilmiş olabilir. Ancak verilen kenar uzunlukları FDG olarak belirtilmişse, bu üçgeni oluşturan kenarları bulmalıyız. FDG üçgeni, F, D ve G noktalarını birleştiren bir üçgendir.
    D açısı \( 90^\circ \) olduğundan, \( \triangle FDG \) bir dik üçgendir.
  • \( |GD| = 6 \) cm
  • \( |FC| = 6 \) cm ve \( |CG| = 2 \) cm. Bu durumda \( |DC| = |DG| + |GC| = 6 + 2 = 8 \) cm.
  • \( |AD| = |BC| = |BF| + |FC| = 4 + 6 = 10 \) cm.
  • FDG üçgeninin kenarları:
    • \( |DG| = 6 \) cm
    • \( |DF| \): DF kenarı bir hipotenüstür. \( \triangle DFC \) bir dik üçgen değildir. \( \triangle DAF \) veya \( \triangle DGF \) üçgenlerini kullanabiliriz.


• 📌 Düzeltme ve Varsayım: Soru metnindeki FDG üçgeni, D köşesindeki açı \( 90^\circ \) olan bir üçgen olarak düşünülmelidir. Yani F, D, G noktaları. Bu durumda \( \triangle FDG \) dik üçgen değildir. Ancak D köşesinde \( m(\angle D) = 90^\circ \) olduğundan, AD ve DG veya CD ve DA kenarları diktir.
  Muhtemelen kastedilen ADG üçgeni veya CDG üçgenidir.
  Eğer FDG üçgenini ele alırsak, D köşesindeki açı \( 90^\circ \) değildir.
  9. sınıf seviyesinde, bu tür bir benzerlik sorusunda genellikle köşeleri aynı olan (örneğin dik açı) üçgenler verilir. Bu yüzden, FDG yerine ADG veya BCF gibi üçgenler karşılaştırılır.
  Soru metnindeki FDG üçgenini yorumlarken, D köşesinin açısını kullanmak zorundayız. D köşesinde yer alan açı \( \angle ADG \) veya \( \angle CDG \) değildir, sadece D köşesi etrafındaki açılardır.
  Bu durumda, eğer FDG üçgeni kastediliyorsa, F noktasından DG'ye veya G noktasından DF'ye dik inilmesi gerekir ki bu 9. sınıf müfredatını aşabilir.


• En Olası Senaryo (Soru Düzeltmesi): Soru, EBF üçgeni ile GDH (H noktası D'den AB'ye dikme ayağı) veya ADG üçgeni arasında benzerlik arıyor olabilir.
  Ancak verilen metne sadık kalmak zorundayız. FDG üçgenindeki açıyı belirleyemediğimiz için, SAS benzerliği için yeterli bilgi yoktur.
  Eğer SSS benzerliği arıyorsak, \( |EF| \) ve \( |FG| \) ve \( |GE| \) kenarlarını bulmamız gerekir ki bu da Pisagor Teoremi gerektirir.


• Varsayım 1: Soru EBF üçgeni ile ADG üçgenini karşılaştırmak istiyor.
  • ADG üçgeni: \( |AD| = |BC| = 10 \) cm, \( |DG| = 6 \) cm, \( m(\angle D) = 90^\circ \).
  • EBF üçgeni: \( |EB| = 5 \) cm, \( |BF| = 4 \) cm, \( m(\angle B) = 90^\circ \).
  • Karşılıklı kenar oranları: \( \frac{|EB|}{|DG|} = \frac{5}{6} \). \( \frac{|BF|}{|AD|} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \). Oranlar eşit değil. Bu iki üçgen benzer değil.


• Varsayım 2: Soru EBF üçgeni ile GCF üçgenini karşılaştırmak istiyor.
  • GCF üçgeni: \( |GC| = 2 \) cm, \( |FC| = 6 \) cm, \( m(\angle C) = 90^\circ \).
  • EBF üçgeni: \( |EB| = 5 \) cm, \( |BF| = 4 \) cm, \( m(\angle B) = 90^\circ \).
  • Karşılıklı kenar oranları: \( \frac{|EB|}{|FC|} = \frac{5}{6} \). \( \frac{|BF|}{|GC|} = \frac{4}{2} = 2 \). Oranlar eşit değil. Bu iki üçgen benzer değil.


• Varsayım 3 (En Olası Soru Düzeltmesi): Eğer soru EBF üçgeni ile ADG üçgeni yerine benzerlik oranları düzgün çıkacak şekilde ayarlanmış olsaydı.
  Örneğin, \( |AE|=2, |EB|=4 \), \( |BF|=3, |FC|=6 \), \( |CG|=2, |GD|=4 \) olsaydı.
  EBF üçgeni: \( |EB|=4, |BF|=3, m(\angle B)=90^\circ \).
  GCF üçgeni: \( |GC|=2, |FC|=6, m(\angle C)=90^\circ \).
  Bu durumda: \( \frac{|EB|}{|FC|} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \). \( \frac{|BF|}{|GC|} = \frac{3}{2} \). Oranlar yine tutmadı.


• 📌 Sonuç: Verilen kenar uzunlukları ve üçgen isimleri (EBF ve FDG) ile 9. sınıf müfredatı dahilinde açıkça benzerlik tespit etmek mümkün değildir. FDG üçgeninin D köşesindeki açısı \( 90^\circ \) değildir (çünkü F ve G köşeleri D'ye bitişik kenarlar üzerinde değil). EBF üçgeni dik üçgendir. Eğer FDG de dik üçgen olsaydı (örneğin F köşesi CD üzerinde olsaydı), o zaman dik açılar eşit olurdu ve kenar oranlarına bakılabilirdi.
  Mevcut bilgilerle, EBF ve FDG üçgenlerinin benzer olduğunu söyleyemeyiz.

✅ Sonuç: Verilen bilgilerle EBF ve FDG üçgenlerinin benzer olduğunu tespit etmek mümkün değildir, çünkü karşılıklı açıların eşitliği veya kenar oranlarının eşitliği gösterilememektedir.

• 👉 Harita Ölçeği: Harita ölçeği, haritadaki bir uzunluğun, gerçekteki aynı uzunluğa oranıdır. Bu oran aslında bir benzerlik oranıdır.


• Verilenleri not edelim:
  • Harita Ölçeği (Benzerlik Oranı) \( k = \frac{1}{2000} \). Bu, haritadaki \( 1 \) birim uzunluğun gerçekte \( 2000 \) birim uzunluğa karşılık geldiği anlamına gelir.
  • Haritadaki mesafe: \( 5 \) cm.
  • Aradığımız: Gerçekteki mesafe (metre cinsinden).


• Ölçek formülünü kullanalım: \[ \text{Ölçek} = \frac{\text{Haritadaki Uzunluk}}{\text{Gerçek Uzunluk}} \]


• Şimdi verilen değerleri formülde yerine yazalım: \[ \frac{1}{2000} = \frac{5 \text{ cm}}{\text{Gerçek Uzunluk}} \]


• Gerçek uzunluğu bulmak için çapraz çarpım yapalım: \[ 1 \cdot \text{Gerçek Uzunluk} = 2000 \cdot 5 \text{ cm} \] \[ \text{Gerçek Uzunluk} = 10000 \text{ cm} \]


• Soruda gerçek mesafeyi metre cinsinden bulmamız isteniyor. \( 1 \) metre \( 100 \) cm'dir. Bu yüzden santimetreyi metreye çevirmeliyiz: \[ \text{Gerçek Uzunluk (metre)} = \frac{10000 \text{ cm}}{100 \text{ cm/metre}} \] \[ \text{Gerçek Uzunluk (metre)} = 100 \text{ metre} \]

✅ Sonuç: Gerçekte bu iki bina arasındaki mesafe \( 100 \) metredir.

• 👉 Öklid Bağıntıları: Bir dik üçgende dik açıdan hipotenüse indirilen yükseklik, üçgeni iki küçük dik üçgene ayırır. Bu iki küçük dik üçgen, hem kendi aralarında hem de büyük dik üçgenle benzerdir. Bu benzerlikten Öklid bağıntıları elde edilir. Yüksekliğin hipotenüsü ayırdığı parçaların çarpımı, yüksekliğin karesine eşittir.


• Verilenleri not edelim:
  • \( \triangle ABC \) bir dik üçgen, \( m(\angle A) = 90^\circ \).
  • \( AD \) yükseklik, \( AD \perp BC \).
  • \( |BD| = 4 \) cm
  • \( |CD| = 9 \) cm
  • Aradığımız: \( |AD| \) yüksekliği (h).


• Oluşan benzer üçgenler şunlardır: \( \triangle ABD \sim \triangle CAD \sim \triangle CBA \).


• Bu benzerliklerden elde edilen Öklid'in Yükseklik Bağıntısı'na göre: \[ |AD|^2 = |BD| \cdot |CD| \]


• Şimdi verilen değerleri formülde yerine yazalım: \[ |AD|^2 = 4 \cdot 9 \] \[ |AD|^2 = 36 \]


• \( |AD| \) uzunluğunu bulmak için karekök alalım: \[ |AD| = \sqrt{36} \] \[ |AD| = 6 \]

✅ Sonuç: AD yüksekliğinin uzunluğu \( 6 \) cm'dir.

• 👉 Benzerlik Oranı: Fotoğraf makinesinin büyütme oranı, aslında bir benzerlik oranıdır. Fotoğraftaki boyutun gerçek boyuta oranıdır.


• Verilenleri not edelim:
  • Fotoğraftaki dağın uzunluğu: \( 3 \) cm
  • Benzerlik Oranı (küçültme oranı): \( k = \frac{1}{200000} \). Bu, fotoğraftaki \( 1 \) birim uzunluğun gerçekte \( 200000 \) birim uzunluğa karşılık geldiği anlamına gelir.
  • Aradığımız: Dağın gerçek yüksekliği (kilometre cinsinden).


• Benzerlik oranı formülünü kullanalım: \[ \text{Benzerlik Oranı} = \frac{\text{Fotoğraftaki Uzunluk}}{\text{Gerçek Uzunluk}} \]


• Şimdi verilen değerleri formülde yerine yazalım: \[ \frac{1}{200000} = \frac{3 \text{ cm}}{\text{Gerçek Uzunluk}} \]


• Gerçek uzunluğu bulmak için çapraz çarpım yapalım: \[ 1 \cdot \text{Gerçek Uzunluk} = 200000 \cdot 3 \text{ cm} \] \[ \text{Gerçek Uzunluk} = 600000 \text{ cm} \]


• Soruda gerçek yüksekliği kilometre cinsinden bulmamız isteniyor.
  \( 1 \) metre \( = 100 \) cm
  \( 1 \) kilometre \( = 1000 \) metre \( = 1000 \cdot 100 \) cm \( = 100000 \) cm.


• Santimetreyi kilometreye çevirelim: \[ \text{Gerçek Uzunluk (km)} = \frac{600000 \text{ cm}}{100000 \text{ cm/km}} \] \[ \text{Gerçek Uzunluk (km)} = 6 \text{ km} \]

✅ Sonuç: Dağın gerçek yüksekliği \( 6 \) kilometredir.