🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Eş Ve Benzer Üçgenlerin Asgari Koşulları Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Eş Ve Benzer Üçgenlerin Asgari Koşulları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni bulunmaktadır.
ABC üçgeninde:
Kenar uzunlukları: \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm
Açı ölçüsü: \( m(\angle B) = 60^\circ \)
DEF üçgeninde:
Kenar uzunlukları: \( |DE| = 5 \) cm, \( |EF| = 7 \) cm
Açı ölçüsü: \( m(\angle E) = 60^\circ \)
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını asgari koşullara göre belirleyiniz.
ABC üçgeninde:
Kenar uzunlukları: \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm
Açı ölçüsü: \( m(\angle B) = 60^\circ \)
DEF üçgeninde:
Kenar uzunlukları: \( |DE| = 5 \) cm, \( |EF| = 7 \) cm
Açı ölçüsü: \( m(\angle E) = 60^\circ \)
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını asgari koşullara göre belirleyiniz.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için üçgenlerdeki eşlik koşullarını incelemeliyiz.
📌 Verilen bilgilere bakalım:
📌 Verilen bilgilere bakalım:
- Birinci üçgenin iki kenarı ve bu iki kenar arasındaki açısı verilmiştir.
- İkinci üçgenin de aynı iki kenarı ve bu iki kenar arasındaki açısı verilmiştir.
- ABC üçgeninde \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm ve bu iki kenar arasındaki açı \( m(\angle B) = 60^\circ \) olarak verilmiştir.
- DEF üçgeninde \( |DE| = 5 \) cm, \( |EF| = 7 \) cm ve bu iki kenar arasındaki açı \( m(\angle E) = 60^\circ \) olarak verilmiştir.
- Görüldüğü üzere, iki üçgenin ikişer kenarı ve bu kenarlar arasında kalan açıları birbirine eşittir.
- Bu durum, Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşlik Teoremi'ni sağlamaktadır.
Örnek 2:
Bir KLM üçgeni ile bir PRS üçgeni bulunmaktadır.
KLM üçgeninde:
Açı ölçüleri: \( m(\angle K) = 40^\circ \), \( m(\angle M) = 80^\circ \)
Kenar uzunluğu: \( |KM| = 10 \) cm
PRS üçgeninde:
Açı ölçüleri: \( m(\angle P) = 40^\circ \), \( m(\angle S) = 80^\circ \)
Kenar uzunluğu: \( |PS| = 10 \) cm
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını asgari koşullara göre belirleyiniz.
KLM üçgeninde:
Açı ölçüleri: \( m(\angle K) = 40^\circ \), \( m(\angle M) = 80^\circ \)
Kenar uzunluğu: \( |KM| = 10 \) cm
PRS üçgeninde:
Açı ölçüleri: \( m(\angle P) = 40^\circ \), \( m(\angle S) = 80^\circ \)
Kenar uzunluğu: \( |PS| = 10 \) cm
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını asgari koşullara göre belirleyiniz.
Çözüm:
Bu soruda Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşlik Teoremi'ni kullanacağız.
📌 Verilen bilgiler:
📌 Verilen bilgiler:
- KLM üçgeninde \( m(\angle K) = 40^\circ \), \( m(\angle M) = 80^\circ \) ve bu açılar arasında kalan kenar \( |KM| = 10 \) cm.
- PRS üçgeninde \( m(\angle P) = 40^\circ \), \( m(\angle S) = 80^\circ \) ve bu açılar arasında kalan kenar \( |PS| = 10 \) cm.
- KLM üçgeninde K ve M açıları ile bu açılar arasındaki KM kenarı verilmiştir.
- PRS üçgeninde P ve S açıları ile bu açılar arasındaki PS kenarı verilmiştir.
- \( m(\angle K) = m(\angle P) = 40^\circ \)
- \( m(\angle M) = m(\angle S) = 80^\circ \)
- \( |KM| = |PS| = 10 \) cm
- İkişer açısı ve bu açılar arasındaki kenarları eşit olduğu için, Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşlik Teoremi sağlanır.
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları \( |AB| = 6 \) cm, \( |BC| = 8 \) cm ve \( |AC| = 10 \) cm'dir.
Bir DEF üçgeninin kenar uzunlukları ise \( |DE| = 6 \) cm, \( |EF| = 8 \) cm ve \( |DF| = 10 \) cm'dir.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını asgari koşullara göre belirleyiniz.
Bir DEF üçgeninin kenar uzunlukları ise \( |DE| = 6 \) cm, \( |EF| = 8 \) cm ve \( |DF| = 10 \) cm'dir.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını asgari koşullara göre belirleyiniz.
Çözüm:
Bu problemde Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşlik Teoremi'ni kullanacağız.
📌 Verilen kenar uzunlukları:
📌 Verilen kenar uzunlukları:
- ABC üçgeni: \( |AB| = 6 \) cm, \( |BC| = 8 \) cm, \( |AC| = 10 \) cm.
- DEF üçgeni: \( |DE| = 6 \) cm, \( |EF| = 8 \) cm, \( |DF| = 10 \) cm.
- ABC üçgeninin tüm kenar uzunlukları verilmiştir.
- DEF üçgeninin de tüm kenar uzunlukları verilmiştir.
- Karşılıklı kenar uzunluklarını karşılaştıralım:
- \( |AB| = |DE| = 6 \) cm
- \( |BC| = |EF| = 8 \) cm
- \( |AC| = |DF| = 10 \) cm
- Görüldüğü gibi, iki üçgenin tüm karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir.
- Bu durum, Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşlik Teoremi'ni sağlamaktadır.
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde \( m(\angle A) = 50^\circ \) ve \( m(\angle B) = 70^\circ \) olarak verilmiştir.
Bir DEF üçgeninde ise \( m(\angle D) = 50^\circ \) ve \( m(\angle E) = 70^\circ \) olarak verilmiştir.
Eğer \( |BC| = 12 \) cm ve \( |EF| = x \) cm ise, bu iki üçgenin benzer olduğunu varsayarak \( x \) değerini bulunuz.
Bir DEF üçgeninde ise \( m(\angle D) = 50^\circ \) ve \( m(\angle E) = 70^\circ \) olarak verilmiştir.
Eğer \( |BC| = 12 \) cm ve \( |EF| = x \) cm ise, bu iki üçgenin benzer olduğunu varsayarak \( x \) değerini bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda Açı-Açı (AA) Benzerlik Teoremi'ni kullanacağız.
📌 Verilen bilgiler:
📌 Verilen bilgiler:
- ABC üçgeninde \( m(\angle A) = 50^\circ \), \( m(\angle B) = 70^\circ \).
- DEF üçgeninde \( m(\angle D) = 50^\circ \), \( m(\angle E) = 70^\circ \).
- \( |BC| = 12 \) cm, \( |EF| = x \) cm.
- ABC üçgeninin A ve B açıları, DEF üçgeninin D ve E açılarına eşittir.
- \( m(\angle A) = m(\angle D) = 50^\circ \)
- \( m(\angle B) = m(\angle E) = 70^\circ \)
- İki üçgenin ikişer açısı eşit olduğundan, Açı-Açı (AA) Benzerlik Teoremi'ne göre bu iki üçgen benzerdir. Yani \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \).
- Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir. Bu durumda, üçüncü açılar da eşit olacaktır: \( m(\angle C) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \) \( m(\angle F) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)
- Verilen kenarlar \( |BC| \) ve \( |EF| \), sırasıyla A açısı ve D açısının karşısındaki kenarlardır. Ancak, soruda benzerlik oranı hakkında bilgi verilmediği için sadece açı eşitliğinden benzerlik olduğunu söyleyebiliriz, fakat kenar uzunluklarını bulmak için oranın verilmesi gerekir. Soruda "benzer olduğunu varsayarak" denildiği için, benzerlik oranını 1 olarak kabul etmemiz beklenmektedir, bu da aslında eşlik anlamına gelir. Ancak doğru bir benzerlik sorusu için en az bir kenar çiftinin oranı ya da bir kenar verilip diğerinin bulunması için oranın verilmesi gerekir.
- Eğer iki üçgen benzer ise ve karşılıklı açılar eşitse, bu kenarların oranları aynı olmalıdır. Ancak \( |BC| \) ve \( |EF| \) aynı açının karşısında olmadığı için, bir hata var. \( |BC| \) A açısının karşısındaki, \( |AC| \) B açısının karşısındaki, \( |AB| \) C açısının karşısındaki kenardır. Benzer şekilde, \( |EF| \) D açısının karşısındaki, \( |DF| \) E açısının karşısındaki, \( |DE| \) F açısının karşısındaki kenardır.
- Doğru eşleştirme şu şekildedir: \( \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{|AC|}{|DF|} = \frac{|AB|}{|DE|} \) Burada \( |BC| \) A açısının karşısındaki kenar, \( |EF| \) ise D açısının karşısındaki kenardır. Yani eşleşme doğrudur.
- Eğer üçgenler benzerse ve başka bir bilgi verilmemişse, benzerlik oranını bulamayız. Soru, muhtemelen bu kenarların benzer üçgenlerde karşılıklı olduğunu ve benzerlik oranının 1 olduğunu ima etmektedir. Eğer benzerlik oranı 1 ise, üçgenler eştir ve \( x = 12 \) cm olur.
- Ancak benzerlik oranını bulmak için en az bir kenar çiftinin daha bilinmesi gerekir. Soru, eksik bilgi içermektedir. Genellikle bu tür sorularda, eğer sadece benzerlik belirtilip kenar uzunluğu soruluyorsa, ya benzerlik oranı verilir ya da başka bir kenar çifti ile oran kurulur.
Bu haliyle, sadece "benzer olduğunu varsayarak" denildiği için, eğer üçgenler eş ise \( x=12 \) olur. Eğer benzerlik oranı \( k \) ise, \( \frac{|BC|}{|EF|} = k \) olmalıdır.
9. sınıf seviyesinde, genellikle benzerlik oranı verilir veya kolayca bulunur. Bu soruda benzerlik oranı bilgisi eksiktir. Ancak, eğer bu bir tuzak soru değilse ve "benzer olduğunu varsayarak" ifadesiyle bir kenar uzunluğunu bulmamız bekleniyorsa, genellikle benzerlik oranı 1 (yani eşlik) varsayılır veya diğer kenarların da oranının aynı olduğu ima edilir.
Daha doğru bir yaklaşım için, benzerlik oranını bulmak adına başka bir kenar bilgisi gereklidir. Bu haliyle, \( x \) için kesin bir sayısal değer verilemez.
Ancak, 9. sınıf müfredatında bu tür sorular genellikle benzerlik oranı 1 ise veya başka bir kenar çifti verilerek oranın kurulabileceği şekilde sorulur. Eğer soru hatasız ise, \( |BC| \) kenarı A açısının karşısı, \( |EF| \) kenarı D açısının karşısıdır. Açılar eşit olduğu için benzerlik vardır. Eğer bu kenarların uzunlukları eşitse, o zaman üçgenler eştir. Soru, sanki benzerlik oranı 1'miş gibi bir beklenti yaratıyor. - Eğer soru aslında eşlik sorusu olsaydı, \( x=12 \) olurdu. Benzerlik durumunda, \( k = \frac{|BC|}{|EF|} \) olurdu.
Soruyu 9. sınıf müfredatına uygun olarak, en basit haliyle yorumlayalım: Eğer iki üçgen benzer ise ve karşılıklı kenarların uzunlukları soruluyorsa, genellikle bu kenarların oranları eşit olacaktır. Eğer sadece bir kenar verilmişse ve diğerinin uzunluğu soruluyorsa, bu durumda ya benzerlik oranı 1'dir (yani eşlik) ya da benzerlik oranının bulunabileceği başka bir bilgi vardır.
Bu soruda, \( |BC| \) ve \( |EF| \) karşılıklı kenarlardır (ikisi de \( 50^\circ \)lik açının karşısında). Eğer üçgenler benzerse ve başka bir bilgi yoksa, \( x \) değerini bulmak için benzerlik oranını bilmemiz gerekir. Ancak 9. sınıf seviyesinde, benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar eşitse, bu üçgenlerin eş olduğu kabul edilir. Bu bağlamda, \( x = 12 \) cm olarak kabul edilebilir.
Örnek 5:
Bir mühendis, bir binanın yüksekliğini ölçmek için şekildeki gibi bir yöntem kullanmıştır.
Mühendis, yerden \( 1.5 \) metre yükseklikteki göz hizasından, binanın tepesini görmüştür.
Mühendisin binadan uzaklığı \( 30 \) metredir.
Mühendis, yerden \( 0.5 \) metre yükseklikteki bir çubuk yardımıyla binanın tepesini aynı açıyla görebilmiştir.
Çubuğun mühendisten uzaklığı \( 1.5 \) metredir.
Bu durumda, binanın yüksekliği kaç metredir?
(Not: Tüm ölçümler düz bir zeminde yapılmıştır ve mühendis ile çubuk dikey konumdadır.)
Mühendis, yerden \( 1.5 \) metre yükseklikteki göz hizasından, binanın tepesini görmüştür.
Mühendisin binadan uzaklığı \( 30 \) metredir.
Mühendis, yerden \( 0.5 \) metre yükseklikteki bir çubuk yardımıyla binanın tepesini aynı açıyla görebilmiştir.
Çubuğun mühendisten uzaklığı \( 1.5 \) metredir.
Bu durumda, binanın yüksekliği kaç metredir?
(Not: Tüm ölçümler düz bir zeminde yapılmıştır ve mühendis ile çubuk dikey konumdadır.)
Çözüm:
Bu problem, benzer üçgenler ve özellikle Açı-Açı (AA) Benzerlik Teoremi prensibine dayanmaktadır.
💡 Öncelikle problemin geometrik modelini oluşturalım:
💡 Öncelikle problemin geometrik modelini oluşturalım:
- Mühendisin göz hizası \( M \), binanın tepesi \( B \), binanın zemindeki tabanı \( T \).
- Çubuğun üst noktası \( Ç \), çubuğun zemindeki tabanı \( K \).
- Mühendisin göz hizasından zemine paralel bir çizgi çekelim. Bu çizgi, binayı \( B' \) noktasında, çubuğu ise \( Ç' \) noktasında kessin.
- Mühendisin göz hizası yerden: \( 1.5 \) m.
- Çubuğun yüksekliği: \( 0.5 \) m.
- Mühendisin binadan yatay uzaklığı: \( 30 \) m.
- Mühendisin çubuktan yatay uzaklığı: \( 1.5 \) m.
- Mühendisin göz hizasından çizilen yatay çizgiye göre iki adet dik üçgen oluşur.
- Birinci üçgen: Mühendisin göz hizası, çubuğun üst noktası \( Ç' \) ve mühendisten çubuğa kadar olan yatay uzaklık ile oluşan üçgen. Bu üçgenin dikey kenarı \( 1.5 - 0.5 = 1 \) metredir. Yatay kenarı \( 1.5 \) metredir.
- İkinci üçgen: Mühendisin göz hizası, binanın üst noktası \( B' \) ve mühendisten binaya kadar olan yatay uzaklık ile oluşan üçgen. Bu üçgenin dikey kenarı \( h - 1.5 \) metredir (burada \( h \) binanın toplam yüksekliği). Yatay kenarı \( 30 \) metredir.
- Mühendis binanın tepesini ve çubuğun üst noktasını aynı açıyla gördüğü için, bu iki dik üçgenin tepe açıları (mühendisin göz hizasındaki açı) eşittir.
- Her iki üçgen de dik açılı olduğundan, üçüncü açıları da otomatik olarak eşit olacaktır. Bu durum Açı-Açı (AA) Benzerlik Teoremi'ni sağlar.
- Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir. \[ \frac{\text{Çubuğun göz hizasından yüksekliği}}{\text{Binanın göz hizasından yüksekliği}} = \frac{\text{Mühendisin çubuğa uzaklığı}}{\text{Mühendisin binaya uzaklığı}} \] \[ \frac{1.5 - 0.5}{h - 1.5} = \frac{1.5}{30} \] \[ \frac{1}{h - 1.5} = \frac{1.5}{30} \]
- Denklemi çözelim:
\( 1 \times 30 = 1.5 \times (h - 1.5) \)
\( 30 = 1.5h - 1.5 \times 1.5 \)
\( 30 = 1.5h - 2.25 \)
\( 30 + 2.25 = 1.5h \)
\( 32.25 = 1.5h \)
\( h = \frac{32.25}{1.5} \)
\( h = \frac{3225}{150} \)
\( h = \frac{645}{30} \)
\( h = \frac{129}{6} \)
\( h = 21.5 \) metre.
Örnek 6:
Ayşe, bir ağacın boyunu tahmin etmek istiyor.
Güneşli bir günde, kendi boyu \( 1.6 \) metre iken gölgesinin boyunu \( 2 \) metre olarak ölçüyor.
Aynı anda, ağacın gölgesinin boyunu ise \( 15 \) metre olarak ölçüyor.
Buna göre, ağacın boyu yaklaşık olarak kaç metredir?
(Not: Ayşe de ağaç da zemine dik konumdadır.)
Güneşli bir günde, kendi boyu \( 1.6 \) metre iken gölgesinin boyunu \( 2 \) metre olarak ölçüyor.
Aynı anda, ağacın gölgesinin boyunu ise \( 15 \) metre olarak ölçüyor.
Buna göre, ağacın boyu yaklaşık olarak kaç metredir?
(Not: Ayşe de ağaç da zemine dik konumdadır.)
Çözüm:
Bu problemde, benzer üçgenler ve özellikle Açı-Açı (AA) Benzerlik Teoremi prensibini kullanacağız.
💡 Güneş ışınları, aynı anda yere paralel olarak geldiği için, Ayşe'nin oluşturduğu gölge ve ağacın oluşturduğu gölge ile yer ve cisimler arasında benzer üçgenler oluşur.
📌 Verilen değerler:
💡 Güneş ışınları, aynı anda yere paralel olarak geldiği için, Ayşe'nin oluşturduğu gölge ve ağacın oluşturduğu gölge ile yer ve cisimler arasında benzer üçgenler oluşur.
📌 Verilen değerler:
- Ayşe'nin boyu: \( 1.6 \) m.
- Ayşe'nin gölgesinin boyu: \( 2 \) m.
- Ağacın gölgesinin boyu: \( 15 \) m.
- Ayşe'nin boyu, gölgesi ve yer ile oluşan üçgen bir dik üçgendir. Güneş ışınlarının yerle yaptığı açı, bu üçgenin bir açısıdır.
- Ağacın boyu, gölgesi ve yer ile oluşan üçgen de bir dik üçgendir. Aynı güneş ışınları olduğu için, bu üçgenin de yerle yaptığı açı, Ayşe'nin üçgenindeki açıyla aynıdır.
- Her iki üçgen de dik açılıdır (\( 90^\circ \)) ve güneş ışınlarının yerle yaptığı açıları eşittir. Bu durumda, Açı-Açı (AA) Benzerlik Teoremi'ne göre bu iki üçgen benzerdir.
- Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir. \[ \frac{\text{Ayşe'nin boyu}}{\text{Ağacın boyu}} = \frac{\text{Ayşe'nin gölgesinin boyu}}{\text{Ağacın gölgesinin boyu}} \] Ağacın boyuna \( x \) diyelim. \[ \frac{1.6}{x} = \frac{2}{15} \]
- Denklemi çözerek \( x \) değerini bulalım:
\( 2 \times x = 1.6 \times 15 \)
\( 2x = 24 \)
\( x = \frac{24}{2} \)
\( x = 12 \) metre.
Örnek 7:
Şekildeki ABC üçgeninde D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası AC kenarı üzerindedir.
\( |AD| = 3 \) cm, \( |DB| = 5 \) cm, \( |AE| = 4 \) cm, \( |EC| = 6 \) cm ve \( m(\angle A) = 70^\circ \) dir.
Bu bilgilere göre, ADE üçgeni ile ABC üçgeninin benzer olup olmadığını Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Teoremi'ne göre inceleyiniz.
\( |AD| = 3 \) cm, \( |DB| = 5 \) cm, \( |AE| = 4 \) cm, \( |EC| = 6 \) cm ve \( m(\angle A) = 70^\circ \) dir.
Bu bilgilere göre, ADE üçgeni ile ABC üçgeninin benzer olup olmadığını Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Teoremi'ne göre inceleyiniz.
Çözüm:
Bu soruda Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Teoremi'ni kullanacağız.
📌 Verilen bilgiler:
📌 Verilen bilgiler:
- ABC üçgeninde: \( |AB| = |AD| + |DB| = 3 + 5 = 8 \) cm.
- ABC üçgeninde: \( |AC| = |AE| + |EC| = 4 + 6 = 10 \) cm.
- ADE üçgeninde: \( |AD| = 3 \) cm, \( |AE| = 4 \) cm.
- Ortak açı: \( m(\angle A) = 70^\circ \).
- Öncelikle her iki üçgende de ortak olan \( \angle A \) açısı mevcuttur. Bu, KAK benzerliği için gerekli olan açıdır.
- Şimdi bu açıyı oluşturan kenarların oranlarını kontrol edelim.
- ADE üçgeninin kenarları: \( |AD| = 3 \) cm, \( |AE| = 4 \) cm.
- ABC üçgeninin kenarları: \( |AB| = 8 \) cm, \( |AC| = 10 \) cm.
- Kenarların oranlarını karşılaştıralım: \[ \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{3}{8} \] \[ \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]
- Oranları karşılaştıralım: \( \frac{3}{8} \) ve \( \frac{2}{5} \). Bu oranlar eşit değildir (\( 3 \times 5 = 15 \), \( 8 \times 2 = 16 \)).
- Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Teoremi'ne göre, iki üçgenin benzer olabilmesi için birer açılarının eşit olması ve bu açıları oluşturan kenarların oranlarının eşit olması gerekir.
Örnek 8:
Bir ABC üçgeni ile bir KLP üçgeni bulunmaktadır.
ABC üçgeninin kenar uzunlukları: \( |AB| = 4 \) cm, \( |BC| = 6 \) cm, \( |AC| = 8 \) cm.
KLP üçgeninin kenar uzunlukları: \( |KL| = 6 \) cm, \( |LP| = 9 \) cm, \( |KP| = 12 \) cm.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Teoremi'ne göre inceleyiniz.
ABC üçgeninin kenar uzunlukları: \( |AB| = 4 \) cm, \( |BC| = 6 \) cm, \( |AC| = 8 \) cm.
KLP üçgeninin kenar uzunlukları: \( |KL| = 6 \) cm, \( |LP| = 9 \) cm, \( |KP| = 12 \) cm.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Teoremi'ne göre inceleyiniz.
Çözüm:
Bu soruda Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Teoremi'ni kullanacağız.
📌 Verilen kenar uzunlukları:
📌 Verilen kenar uzunlukları:
- ABC üçgeni: \( |AB| = 4 \), \( |BC| = 6 \), \( |AC| = 8 \).
- KLP üçgeni: \( |KL| = 6 \), \( |LP| = 9 \), \( |KP| = 12 \).
- İki üçgenin benzer olup olmadığını anlamak için karşılıklı kenarların oranlarını kontrol etmeliyiz. En kısa kenardan başlayarak oranları oluşturalım:
- En kısa kenarlar: \( \frac{|AB|}{|KL|} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
- Ortanca kenarlar: \( \frac{|BC|}{|LP|} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)
- En uzun kenarlar: \( \frac{|AC|}{|KP|} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \)
- Görüldüğü gibi, karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir ve bu oran \( \frac{2}{3} \)tür.
- Bu durum, Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Teoremi'ni sağlamaktadır.
Örnek 9:
Bir ABCD dörtgeninde, köşegenler E noktasında kesişmektedir.
\( |AE| = 6 \) cm, \( |EB| = 4 \) cm, \( |DE| = 9 \) cm, \( |EC| = x \) cm'dir.
Ayrıca, \( m(\angle AED) = m(\angle BEC) \) olduğu bilinmektedir.
Buna göre, \( x \) değerini bulunuz.
\( |AE| = 6 \) cm, \( |EB| = 4 \) cm, \( |DE| = 9 \) cm, \( |EC| = x \) cm'dir.
Ayrıca, \( m(\angle AED) = m(\angle BEC) \) olduğu bilinmektedir.
Buna göre, \( x \) değerini bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde, benzer üçgenler ve özellikle Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Teoremi veya Açı-Açı (AA) Benzerlik Teoremi prensibini kullanacağız.
💡 Köşegenlerin kesiştiği noktada oluşan açılar ve kenarlar üzerinden benzerlik arayacağız.
📌 Verilen bilgiler:
💡 Köşegenlerin kesiştiği noktada oluşan açılar ve kenarlar üzerinden benzerlik arayacağız.
📌 Verilen bilgiler:
- \( |AE| = 6 \) cm
- \( |EB| = 4 \) cm
- \( |DE| = 9 \) cm
- \( |EC| = x \) cm
- \( m(\angle AED) = m(\angle BEC) \). Bu açılar aynı zamanda ters açılardır, dolayısıyla her zaman birbirine eşittirler.
- \( \triangle AED \) ve \( \triangle BEC \) üçgenlerini inceleyelim.
- Verilen bilgiye göre \( m(\angle AED) = m(\angle BEC) \). Bu, benzerlik için bir açı eşitliğini sağlar.
- Şimdi bu açıyı oluşturan kenarların oranlarını kontrol edelim.
- \( \triangle AED \) için kenarlar: \( |AE| = 6 \) ve \( |DE| = 9 \).
- \( \triangle BEC \) için kenarlar: \( |BE| = 4 \) ve \( |CE| = x \).
- Kenarların oranlarını oluşturalım: \[ \frac{|AE|}{|DE|} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \] \[ \frac{|BE|}{|CE|} = \frac{4}{x} \]
- Eğer bu iki üçgen Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Teoremi'ne göre benzer ise, bu oranların eşit olması gerekir.
Ancak, bu durumda kenar eşleştirmesine dikkat etmeliyiz. Ters açılar eşit olduğunda, bu açının karşısındaki kenarların oranları diğer kenarların oranlarına eşit olur.
Doğru eşleştirme: \( \angle AED \) karşısında \( |AD| \) ve \( \angle BEC \) karşısında \( |BC| \) vardır.
Ters açılar olan \( m(\angle AED) \) ve \( m(\angle BEC) \) eşit olduğundan, bu üçgenler Açı-Açı (AA) Benzerlik Teoremi'ne göre benzerdir. Çünkü ters açılar eşit ve diğer açılar da benzer şekilde eşit olacaktır.
Yani, \( \triangle AED \sim \triangle BEC \) veya \( \triangle ABE \sim \triangle DCE \) (ters açılar \( \angle AEB \) ve \( \angle DEC \) eşit olduğu için).
Soruda \( m(\angle AED) = m(\angle BEC) \) verilmiş, bu da \( \triangle AED \) ve \( \triangle BEC \) üçgenlerinin benzer olduğunu gösterir. Benzerlik oranı şu şekilde kurulmalıdır: \( \frac{|AE|}{|BE|} = \frac{|DE|}{|CE|} = \frac{|AD|}{|BC|} \) (açılar karşısında duran kenarların oranları) Veya \( \frac{|AE|}{|CE|} = \frac{|DE|}{|BE|} \) (bu da ters açılı üçgenlerde sıkça kullanılan bir formdur, ancak doğru açı eşleştirmesine dikkat etmek gerekir). - Eğer \( \triangle AED \sim \triangle BEC \) ise (ters açılar eşit olduğundan), o zaman karşılıklı kenarların oranları eşit olmalıdır. \( \angle EAD \) açısı \( \angle EBC \) açısına eşittir. \( \angle EDA \) açısı \( \angle ECB \) açısına eşittir. Dolayısıyla, oranları şöyle yazmalıyız: \[ \frac{|AE|}{|BE|} = \frac{|DE|}{|CE|} \] \[ \frac{6}{4} = \frac{9}{x} \]
- Denklemi çözerek \( x \) değerini bulalım:
\( 6 \times x = 4 \times 9 \)
\( 6x = 36 \)
\( x = \frac{36}{6} \)
\( x = 6 \) cm.
Örnek 10:
Bir ABC üçgeninde D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası AC kenarı üzerindedir.
DE kenarı BC kenarına paraleldir (\( DE \parallel BC \)).
\( |AD| = 4 \) cm, \( |DB| = 8 \) cm, \( |DE| = 5 \) cm olduğuna göre, \( |BC| \) uzunluğu kaç cm'dir?
DE kenarı BC kenarına paraleldir (\( DE \parallel BC \)).
\( |AD| = 4 \) cm, \( |DB| = 8 \) cm, \( |DE| = 5 \) cm olduğuna göre, \( |BC| \) uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
Bu problemde, paralel doğrular ve benzer üçgenler ilişkisini kullanacağız. Özellikle Açı-Açı (AA) Benzerlik Teoremi'ni uygulayacağız.
💡 Bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı kestiğinde oluşan küçük üçgen ile büyük üçgen benzer olur.
📌 Verilen bilgiler:
💡 Bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı kestiğinde oluşan küçük üçgen ile büyük üçgen benzer olur.
📌 Verilen bilgiler:
- \( DE \parallel BC \)
- \( |AD| = 4 \) cm
- \( |DB| = 8 \) cm
- \( |DE| = 5 \) cm
- \( DE \parallel BC \) olduğu için, temel benzerlik teoremi geçerlidir.
- \( \triangle ADE \) ve \( \triangle ABC \) üçgenlerini inceleyelim.
- \( \angle A \) açısı her iki üçgen için de ortak açıdır.
- \( DE \parallel BC \) olduğundan, yöndeş açılar birbirine eşittir: \( m(\angle ADE) = m(\angle ABC) \) ve \( m(\angle AED) = m(\angle ACB) \).
- İkişer açısı eşit olduğu için (aslında üç açısı da eşit), \( \triangle ADE \) ve \( \triangle ABC \) üçgenleri Açı-Açı (AA) Benzerlik Teoremi'ne göre benzerdir. Yani \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \).
- Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir. Benzerlik oranını bulalım: \( |AB| = |AD| + |DB| = 4 + 8 = 12 \) cm. Benzerlik oranı \( k = \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \).
- Şimdi bu oranı kullanarak \( |BC| \) uzunluğunu bulalım: \[ \frac{|DE|}{|BC|} = k \] \[ \frac{5}{|BC|} = \frac{1}{3} \]
- Denklemi çözerek \( |BC| \) değerini bulalım:
\( 1 \times |BC| = 5 \times 3 \)
\( |BC| = 15 \) cm.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-es-ve-benzer-ucgenlerin-asgari-kosullari/sorular