💡 9. Sınıf Matematik: Eş ve Benzer Şekillerin Özellikleri Çözümlü Örnekler

Bu iki dikdörtgenin benzer olup olmadığını anlamak için karşılıklı kenar uzunluklarının oranına bakmalıyız.

• Birinci dikdörtgenin kenar uzunlukları: 5 cm ve 10 cm.
• İkinci dikdörtgenin kenar uzunlukları: 10 cm ve 20 cm.

Benzerlik için kısa kenarların oranı ile uzun kenarların oranının eşit olması gerekir.

• Kısa kenarların oranı: \( \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
• Uzun kenarların oranı: \( \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \)

Her iki oranın da eşit \( \frac{1}{2} \) olması nedeniyle, bu iki dikdörtgen benzerdir. ✅

İki üçgenin benzer olması, karşılıklı kenar uzunluklarının orantılı olduğu anlamına gelir.

• ABC üçgeninin kenarları: 6, 8, 10 cm.
• DEF üçgeninin bilinen kenarı: \( DE = 9 \) cm.

Benzerlik oranını bulmak için bilinen karşılıklı kenarları kullanırız. \( AB \) kenarı \( DE \) kenarına karşılık gelir (genellikle sıralamaya dikkat edilir).

• Benzerlik oranı \( k = \frac{DE}{AB} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \).

Bu oran, DEF üçgenindeki diğer kenarlar için de geçerlidir.

• \( EF \) kenarı \( BC \) kenarına karşılık gelir: \( EF = k \times BC = \frac{3}{2} \times 8 = 12 \) cm.
• \( DF \) kenarı \( AC \) kenarına karşılık gelir: \( DF = k \times AC = \frac{3}{2} \times 10 = 15 \) cm.

Yani, \( EF = 12 \) cm ve \( DF = 15 \) cm'dir. 👉

Fotoğraf ve çerçeve benzer şekiller olmalıdır. Bu, kenar uzunluklarının orantılı olması demektir.

• Fotoğrafın boyutları: 10 cm ve 15 cm.
• Çerçevenin bir kenarı: 30 cm.

Burada iki olası durum vardır:

1. Çerçevenin 30 cm olan kenarı, fotoğrafın 10 cm'lik kenarına karşılık geliyorsa:
• Oran \( k = \frac{30}{10} = 3 \).
• Diğer kenar \( 15 \times 3 = 45 \) cm olmalıdır.
2. Çerçevenin 30 cm olan kenarı, fotoğrafın 15 cm'lik kenarına karşılık geliyorsa:
• Oran \( k = \frac{30}{15} = 2 \).
• Diğer kenar \( 10 \times 2 = 20 \) cm olmalıdır.

Fotoğrafın çerçeveye benzer şekilde sığması için diğer kenarı 45 cm veya 20 cm olmalıdır. Genellikle fotoğrafın orijinal en-boy oranı korunur. Bu durumda, 10/15 = 2/3 ve 20/30 = 2/3'tür. Bu nedenle 20 cm daha olası bir cevaptır. 💡

Bu bir ölçek problemidir ve benzerlik prensibine dayanır. Harita üzerindeki mesafeler ile gerçek mesafeler orantılıdır.

• Harita ölçeği: 1 cm : 50 km
• Harita üzerindeki mesafe: 8 cm

Gerçek mesafeyi bulmak için harita üzerindeki mesafeyi ölçekteki gerçek mesafe ile çarparız.

• Gerçek Mesafe = Harita Mesafesi \( \times \) Ölçekteki Gerçek Mesafe
• Gerçek Mesafe = 8 cm \( \times \) 50 km/cm
• Gerçek Mesafe = 400 km

Yani, iki şehir arasındaki gerçek mesafe 400 km'dir. 🌍

Benzer şekillerde alanlar oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. Çevreler oranı ise benzerlik oranına eşittir.

• Küçük üçgenin alanı \( A_1 = 25 \, \text{cm}^2 \).
• Büyük üçgenin alanı \( A_2 = 100 \, \text{cm}^2 \).
• Küçük üçgenin çevresi \( Ç_1 = 20 \) cm.

Alanlar oranını bulalım:

• \( \frac{A_1}{A_2} = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} \)

Benzerlik oranı \( k \)'nın karesi bu orana eşittir:

• \( k^2 = \frac{1}{4} \)
• Buradan benzerlik oranı \( k = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \) olur.

Bu, küçük üçgenin kenarlarının büyük üçgenin kenarlarına oranının \( \frac{1}{2} \) olduğu anlamına gelir. Yani, büyük üçgenin kenarları küçük üçgenin kenarlarının 2 katıdır. Çevreler oranı da benzerlik oranına eşittir:

• \( \frac{Ç_1}{Ç_2} = k \)
• \( \frac{20}{Ç_2} = \frac{1}{2} \)

İçler dışlar çarpımı yaparak \( Ç_2 \)'yi buluruz:

• \( Ç_2 = 20 \times 2 = 40 \) cm.

Büyük üçgenin çevresi 40 cm'dir. 💯

Eş şekiller, hem kenar uzunlukları hem de açıları birbirine eşit olan şekillerdir.

• Birinci karenin kenar uzunluğu: 7 cm.
• İkinci karenin kenar uzunluğu: 7 cm.

Alan hesaplaması:

• Bir karenin alanı = kenar \( \times \) kenar
• Alan = \( 7 \, \text{cm} \times 7 \, \text{cm} = 49 \, \text{cm}^2 \).

Her iki karenin de kenar uzunlukları eşit olduğu için alanları da birbirine eşittir. Çevre hesaplaması:

• Bir karenin çevresi = 4 \( \times \) kenar
• Çevre = \( 4 \times 7 \, \text{cm} = 28 \, \text{cm} \).

Her iki karenin de kenar uzunlukları eşit olduğu için çevreleri de birbirine eşittir. ✅ Sonuç olarak, eş şekillerin alanları ve çevreleri birbirine eşittir.

Eş üçgenler, tüm kenar uzunlukları ve tüm açıları birbirine eşit olan üçgenlerdir.

• ABC üçgeninin kenarları: \( AB = 5 \) cm, \( BC = 7 \) cm, \( AC = 9 \) cm.
• ABC üçgeninin açıları: \( \angle A = 60^\circ \), \( \angle B = 50^\circ \), \( \angle C = 70^\circ \).

Eşlikte karşılıklı kenarlar ve açılar birbirine eşittir. Genellikle eşlik sırası önemlidir. Eğer \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) ise:

• \( AB \) kenarı \( DE \) kenarına eşittir: \( DE = 5 \) cm.
• \( BC \) kenarı \( EF \) kenarına eşittir: \( EF = 7 \) cm.
• \( AC \) kenarı \( DF \) kenarına eşittir: \( DF = 9 \) cm.

Aynı şekilde açılar da eşittir:

• \( \angle A \) açısı \( \angle D \) açısına eşittir: \( \angle D = 60^\circ \).
• \( \angle B \) açısı \( \angle E \) açısına eşittir: \( \angle E = 50^\circ \).
• \( \angle C \) açısı \( \angle F \) açısına eşittir: \( \angle F = 70^\circ \).

Yani, DEF üçgeninin kenarları 5 cm, 7 cm, 9 cm ve açıları \( 60^\circ, 50^\circ, 70^\circ \) olur. ✨

Bu problem, ölçekli çizimler ve benzerlik prensibiyle ilgilidir. Ölçek, çizimdeki boyutun gerçek boyuta oranını verir.

• Ölçek: 1:100
• Çizimdeki duvar uzunluğu: 12 cm

Ölçek 1:100 demek, çizimdeki her 1 birimin gerçekte 100 birim olduğu anlamına gelir.

• Gerçek Duvar Uzunluğu = Çizimdeki Uzunluk \( \times \) Ölçek Paydası
• Gerçek Duvar Uzunluğu = 12 cm \( \times \) 100
• Gerçek Duvar Uzunluğu = 1200 cm

Soruda gerçek uzunluğun metre cinsinden istenmesi nedeniyle, bulduğumuz değeri metreye çevirmemiz gerekiyor.

• 1 metre = 100 cm
• Gerçek Duvar Uzunluğu (metre) = \( \frac{1200 \, \text{cm}}{100 \, \text{cm/m}} \)
• Gerçek Duvar Uzunluğu = 12 metre

Bu duvarın gerçek uzunluğu 12 metredir. 🏗️