🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Dönüşüm Geometrisi Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Dönüşüm Geometrisi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Koordinat düzleminde verilen A(3, -2) noktasının, x ekseni boyunca pozitif yönde 4 birim ve y ekseni boyunca negatif yönde 1 birim ötelenmesiyle oluşan yeni noktanın koordinatları nedir? 🤔
Çözüm:
Bu soruda, bir noktanın öteleme dönüşümünü uygulayacağız. Öteleme, bir noktanın belirli bir yönde ve miktarda kaydırılmasıdır. 👉
- 📌 Başlangıç noktamız: \( A(3, -2) \)
- 👉 x ekseni boyunca pozitif yönde 4 birim öteleme, x koordinatına 4 eklemek demektir: \( 3 + 4 = 7 \)
- 👉 y ekseni boyunca negatif yönde 1 birim öteleme, y koordinatından 1 çıkarmak demektir: \( -2 - 1 = -3 \)
- ✅ O halde, ötelenmiş yeni nokta \( A' \) noktasının koordinatları \( (7, -3) \) olur.
Örnek 2:
Koordinat düzleminde verilen B(-5, 6) noktasının y eksenine göre yansıması ve ardından x eksenine göre yansıması alındığında elde edilen son noktanın koordinatları nedir? 💡
Çözüm:
Bu soruda, bir noktanın art arda yansıma dönüşümlerini uygulayacağız. Yansıma, bir noktanın bir doğruya göre simetriğinin alınmasıdır. 🔄
- 📌 Başlangıç noktamız: \( B(-5, 6) \)
- 👉 Öncelikle y eksenine göre yansıma alalım. Y eksenine göre yansımada x koordinatının işareti değişir, y koordinatı aynı kalır: \( (x, y) \rightarrow (-x, y) \).
- \( B(-5, 6) \rightarrow B'( -(-5), 6 ) \rightarrow B'(5, 6) \)
- 👉 Şimdi de \( B'(5, 6) \) noktasının x eksenine göre yansımasını alalım. x eksenine göre yansımada y koordinatının işareti değişir, x koordinatı aynı kalır: \( (x, y) \rightarrow (x, -y) \).
- \( B'(5, 6) \rightarrow B''(5, -6) \)
- ✅ O halde, art arda yansımalar sonucunda elde edilen son nokta \( B''(5, -6) \) olur.
Örnek 3:
Koordinat düzleminde C(2, 4) noktasının orijin etrafında saat yönünün tersine 90 derece döndürülmesiyle oluşan noktanın koordinatlarını bulunuz. 🧭
Çözüm:
Bu soruda, bir noktanın dönme dönüşümünü uygulayacağız. Dönme, bir noktanın belirli bir merkez etrafında belirli bir açıyla döndürülmesidir. ↩️
- 📌 Başlangıç noktamız: \( C(2, 4) \)
- 👉 Orijin etrafında saat yönünün tersine 90 derece dönme kuralı: \( (x, y) \rightarrow (-y, x) \).
- Burada x = 2 ve y = 4'tür.
- x yerine 2, y yerine 4 koyarsak: \( (-4, 2) \)
- ✅ O halde, döndürülmüş yeni nokta \( C' \) noktasının koordinatları \( (-4, 2) \) olur.
Örnek 4:
D(-1, 5) noktası önce y ekseni boyunca pozitif yönde 3 birim öteleniyor, ardından x eksenine göre yansıtılıyor. Son durumda oluşan noktanın koordinatları nedir? 🚀
Çözüm:
Bu örnekte, bir noktanın hem öteleme hem de yansıma dönüşümlerini sırasıyla uygulayacağız. 🚀
- 📌 Başlangıç noktamız: \( D(-1, 5) \)
- 👉 İlk olarak, y ekseni boyunca pozitif yönde 3 birim öteleme yapalım. Bu, y koordinatına 3 eklemek demektir: \( (-1, 5+3) \rightarrow (-1, 8) \). Bu yeni noktamız \( D'(-1, 8) \) olsun.
- 👉 Ardından, \( D'(-1, 8) \) noktasını x eksenine göre yansıtalım. x eksenine göre yansımada y koordinatının işareti değişir, x koordinatı aynı kalır: \( (x, y) \rightarrow (x, -y) \).
- \( D'(-1, 8) \rightarrow D''(-1, -8) \)
- ✅ Sonuç olarak, dönüşümler sonucunda oluşan nokta \( D''(-1, -8) \) koordinatlarına sahiptir.
Örnek 5:
Bir robot, koordinat sistemindeki E(4, 1) noktasından başlayarak aşağıdaki adımları sırasıyla uygulamaktadır:
- Orijin etrafında saat yönünde 90 derece dön.
- x ekseni boyunca negatif yönde 2 birim, y ekseni boyunca pozitif yönde 5 birim ötele.
Çözüm:
Bu problem, robotun hareketlerini dönüşüm geometrisi kurallarıyla takip ederek son konumunu bulmayı gerektirir. 🤖
- 📌 Başlangıç noktamız: \( E(4, 1) \)
- 👉 1. Adım: Orijin etrafında saat yönünde 90 derece dönme.
Bu dönüşümün kuralı: \( (x, y) \rightarrow (y, -x) \).
\( E(4, 1) \) noktasını bu kurala göre dönüştürelim: \( E'(1, -4) \). - 👉 2. Adım: x ekseni boyunca negatif yönde 2 birim, y ekseni boyunca pozitif yönde 5 birim ötele.
Şimdi \( E'(1, -4) \) noktasını öteleyelim.
x koordinatı: \( 1 - 2 = -1 \)
y koordinatı: \( -4 + 5 = 1 \)
Bu da bize son nokta olan \( E''(-1, 1) \) noktasını verir. - ✅ Robotun son konumu \( (-1, 1) \) koordinatlarıdır.
Örnek 6:
Bir mimar, çizdiği bir evin planını bilgisayar ortamında tasarlarken, evin kapısının yerini değiştirmek istiyor. Kapı plan üzerinde F(2, 7) noktasında bulunmaktadır. Mimar, kapıyı önce y eksenine göre simetriğini alacak şekilde yansıtmış, ardından oluşan yeni konumu x ekseni boyunca 3 birim sağa ve y ekseni boyunca 1 birim aşağı kaydırmıştır. Kapının yeni yerinin koordinatları nedir? 🏠
Çözüm:
Bu senaryoda, mimarın kapı üzerinde yaptığı değişiklikleri dönüşüm geometrisi adımlarıyla takip edelim. 📐
- 📌 Başlangıç noktamız: Kapının ilk konumu \( F(2, 7) \)
- 👉 1. Adım: y eksenine göre simetriğini (yansımasını) alma.
y eksenine göre yansıma kuralı: \( (x, y) \rightarrow (-x, y) \).
\( F(2, 7) \) noktasını yansıtalım: \( F'(-2, 7) \). - 👉 2. Adım: x ekseni boyunca 3 birim sağa ve y ekseni boyunca 1 birim aşağı kaydırma (öteleme).
Bu, x koordinatına 3 eklemek ve y koordinatından 1 çıkarmak demektir.
\( F'(-2, 7) \) noktasını öteleyelim:
Yeni x koordinatı: \( -2 + 3 = 1 \)
Yeni y koordinatı: \( 7 - 1 = 6 \)
Bu da bize kapının son konumu olan \( F''(1, 6) \) noktasını verir. - ✅ Kapının yeni yerinin koordinatları \( (1, 6) \) olacaktır.
Örnek 7:
Köşe koordinatları G(1, 1), H(3, 1) ve I(1, 4) olan bir GHI üçgeni orijin etrafında 180 derece döndürüldüğünde, yeni üçgenin köşe koordinatları ne olur? 🔺
Çözüm:
Bu soruda, bir üçgenin köşe noktalarını dönme dönüşümüyle döndüreceğiz. Bir şeklin tüm noktaları aynı dönüşüm kuralına uyar. 🔄
- 📌 Orijin etrafında 180 derece dönme kuralı: \( (x, y) \rightarrow (-x, -y) \).
- Şimdi bu kuralı her bir köşe noktasına uygulayalım:
- 👉 G(1, 1) noktası için: \( G'( -1, -1 ) \)
- 👉 H(3, 1) noktası için: \( H'( -3, -1 ) \)
- 👉 I(1, 4) noktası için: \( I'( -1, -4 ) \)
- ✅ O halde, döndürülmüş G'H'I' üçgeninin köşe koordinatları \( G'(-1, -1) \), \( H'(-3, -1) \) ve \( I'(-1, -4) \) olur.
Örnek 8:
Koordinat düzleminde bir K(a, b) noktası verilmiştir. Bu nokta önce y = x doğrusuna göre yansıtılıyor. Ardından oluşan yeni nokta x ekseni boyunca 2 birim sola öteleniyor. Son olarak da orijin etrafında saat yönünün tersine 270 derece döndürülüyor. Bu dönüşümler sonucunda noktanın son konumu K'''(5, -1) olduğuna göre, başlangıçtaki K(a, b) noktasının koordinatları nedir? 🤔
Çözüm:
Bu karmaşık soruda, dönüşümleri tersten uygulayarak başlangıç noktasını bulacağız. 逆
- 📌 Son konum: \( K'''(5, -1) \)
- 👉 1. Dönüşüm (Tersten): Son dönüşüm olan orijin etrafında saat yönünün tersine 270 derece dönmeyi tersine çevirelim. Orijin etrafında saat yönünün tersine 270 derece dönme kuralı \( (x, y) \rightarrow (y, -x) \) idi. Bunun tersi, orijin etrafında saat yönünde 270 derece dönme veya saat yönünün tersine 90 derece dönmedir: \( (x, y) \rightarrow (-y, x) \).
- \( K'''(5, -1) \) noktasını bu kurala göre dönüştürelim: \( K''( -(-1), 5 ) \rightarrow K''(1, 5) \).
- 👉 2. Dönüşüm (Tersten): İkinci dönüşüm olan x ekseni boyunca 2 birim sola ötelemeyi tersine çevirelim. x ekseni boyunca 2 birim sola öteleme, x koordinatından 2 çıkarmak demektir. Bunun tersi x koordinatına 2 eklemektir.
- \( K''(1, 5) \) noktasını tersine öteleyelim: \( K'( 1+2, 5 ) \rightarrow K'(3, 5) \).
- 👉 3. Dönüşüm (Tersten): İlk dönüşüm olan y = x doğrusuna göre yansımayı tersine çevirelim. y = x doğrusuna göre yansıma kuralı \( (x, y) \rightarrow (y, x) \) idi. Bu dönüşümün tersi de aynıdır, yani y = x doğrusuna göre yansımadır.
- \( K'(3, 5) \) noktasını tersine yansıtalım: \( K(5, 3) \).
- ✅ O halde, başlangıçtaki K(a, b) noktasının koordinatları \( (5, 3) \) yani \( a=5 \) ve \( b=3 \) olarak bulunur.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-donusum-geometrisi/sorular