🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Dönme Dönüşümü Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Dönme Dönüşümü Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Merkezi orijin (başlangıç noktası) olan bir dönme dönüşümünde, \(A(3, 2)\) noktasının saat yönünün tersine \(90^\circ\) döndürülmesiyle elde edilen \(A'\) noktasının koordinatları nedir? 💡
Çözüm:
Dönme dönüşümü, bir noktanın sabit bir nokta (dönme merkezi) etrafında belirli bir açı ile hareket etmesidir. Saat yönünün tersine \(90^\circ\) dönme kuralını uygulayacağız.
- 📌 Bir noktanın koordinatları \((x, y)\) ise, orijin etrafında saat yönünün tersine \(90^\circ\) döndürüldüğünde yeni koordinatlar \((-y, x)\) olur.
- Verilen nokta \(A(3, 2)\) olduğundan \(x = 3\) ve \(y = 2\)'dir.
- 👉 Bu kuralı uygulayarak \(A'\) noktasının koordinatlarını bulalım:
- \(A' = (-y, x) = (-2, 3)\)
- ✅ Sonuç olarak, \(A(3, 2)\) noktasının orijin etrafında saat yönünün tersine \(90^\circ\) döndürülmesiyle oluşan nokta \(A'(-2, 3)\)'tür.
Örnek 2:
Koordinat düzleminde \(B(-4, 1)\) noktasının orijin etrafında \(180^\circ\) döndürülmesiyle elde edilen \(B'\) noktasının koordinatlarını bulunuz. 🔄
Çözüm:
Bir noktanın orijin etrafında \(180^\circ\) döndürülmesi, hem saat yönünde hem de saat yönünün tersinde aynı sonucu verir.
- 📌 Bir noktanın koordinatları \((x, y)\) ise, orijin etrafında \(180^\circ\) döndürüldüğünde yeni koordinatlar \((-x, -y)\) olur.
- Verilen nokta \(B(-4, 1)\) olduğundan \(x = -4\) ve \(y = 1\)'dir.
- 👉 Bu kuralı uygulayarak \(B'\) noktasının koordinatlarını bulalım:
- \(B' = (-x, -y) = (-(-4), -1) = (4, -1)\)
- ✅ Sonuç olarak, \(B(-4, 1)\) noktasının orijin etrafında \(180^\circ\) döndürülmesiyle oluşan nokta \(B'(4, -1)\)'dir.
Örnek 3:
\(C(5, -2)\) noktasının orijin etrafında saat yönünde \(90^\circ\) döndürülmesiyle oluşan \(C'\) noktasının koordinatları nedir? 🕰️
Çözüm:
Saat yönünde \(90^\circ\) dönme, saat yönünün tersine \(270^\circ\) dönmeye eşdeğerdir. Bu dönüşüm için özel bir kural uygulayabiliriz.
- 📌 Bir noktanın koordinatları \((x, y)\) ise, orijin etrafında saat yönünde \(90^\circ\) döndürüldüğünde yeni koordinatlar \((y, -x)\) olur.
- Verilen nokta \(C(5, -2)\) olduğundan \(x = 5\) ve \(y = -2\)'dir.
- 👉 Bu kuralı uygulayarak \(C'\) noktasının koordinatlarını bulalım:
- \(C' = (y, -x) = (-2, -5)\)
- ✅ Sonuç olarak, \(C(5, -2)\) noktasının orijin etrafında saat yönünde \(90^\circ\) döndürülmesiyle oluşan nokta \(C'(-2, -5)\)'tir.
Örnek 4:
Köşe koordinatları \(K(1, 3)\) ve \(L(4, 1)\) olan \(KL\) doğru parçasının orijin etrafında saat yönünün tersine \(90^\circ\) döndürülmesiyle oluşan \(K'L'\) doğru parçasının uç noktalarının koordinatlarını bulunuz. 📏
Çözüm:
Bir doğru parçasının dönme dönüşümü, her bir uç noktanın ayrı ayrı döndürülmesiyle bulunur.
- 📌 Saat yönünün tersine \(90^\circ\) dönme kuralı: \((x, y) \to (-y, x)\)
- K noktası için:
- \(K(1, 3)\) noktasında \(x = 1\) ve \(y = 3\)'tür.
- \(K' = (-y, x) = (-3, 1)\)
- L noktası için:
- \(L(4, 1)\) noktasında \(x = 4\) ve \(y = 1\)'dir.
- \(L' = (-y, x) = (-1, 4)\)
- ✅ Sonuç olarak, \(KL\) doğru parçasının orijin etrafında saat yönünün tersine \(90^\circ\) döndürülmesiyle oluşan \(K'L'\) doğru parçasının uç noktaları \(K'(-3, 1)\) ve \(L'(-1, 4)\)'tür.
Örnek 5:
Köşe koordinatları \(A(2, 0)\), \(B(4, 2)\) ve \(C(1, 3)\) olan bir \(ABC\) üçgeni, orijin etrafında saat yönünde \(180^\circ\) döndürülüyor. Buna göre, oluşan \(A'B'C'\) üçgeninin köşe koordinatlarını bulunuz. 🔺
Çözüm:
Bir üçgenin dönme dönüşümü, her bir köşe noktasının ayrı ayrı döndürülmesiyle bulunur. Saat yönünde \(180^\circ\) dönme ile saat yönünün tersine \(180^\circ\) dönme aynıdır.
- 📌 \(180^\circ\) dönme kuralı: \((x, y) \to (-x, -y)\)
- A noktası için:
- \(A(2, 0)\) noktasında \(x = 2\) ve \(y = 0\)'dır.
- \(A' = (-x, -y) = (-2, -0) = (-2, 0)\)
- B noktası için:
- \(B(4, 2)\) noktasında \(x = 4\) ve \(y = 2\)'dir.
- \(B' = (-x, -y) = (-4, -2)\)
- C noktası için:
- \(C(1, 3)\) noktasında \(x = 1\) ve \(y = 3\)'tür.
- \(C' = (-x, -y) = (-1, -3)\)
- ✅ Sonuç olarak, \(A'B'C'\) üçgeninin köşe koordinatları \(A'(-2, 0)\), \(B'(-4, -2)\) ve \(C'(-1, -3)\)'tür.
Örnek 6:
Bir robot, başlangıçta koordinat düzleminde \(P(2, 5)\) noktasındadır ve yüzü pozitif y ekseni yönündedir. Robot, bulunduğu noktada kalıp orijin etrafında saat yönünün tersine \(270^\circ\) dönme hareketi yapıyor. Bu dönüşümden sonra robotun bulunduğu noktanın koordinatları ne olur? 🤖
Çözüm:
Robotun hareketi bir dönme dönüşümüdür. Yüzünün yönü değil, sadece bulunduğu noktanın koordinatları sorulmaktadır.
- 📌 Bir noktanın koordinatları \((x, y)\) ise, orijin etrafında saat yönünün tersine \(270^\circ\) döndürüldüğünde yeni koordinatlar \((y, -x)\) olur. (Bu, saat yönünde \(90^\circ\) dönmeye eşdeğerdir.)
- Verilen nokta \(P(2, 5)\) olduğundan \(x = 2\) ve \(y = 5\)'tir.
- 👉 Bu kuralı uygulayarak \(P'\) noktasının koordinatlarını bulalım:
- \(P' = (y, -x) = (5, -2)\)
- ✅ Robotun dönüşümden sonraki konumu \(P'(5, -2)\) noktasıdır. Yön bilgisi, dönme dönüşümü kuralı için bir yanıltıcıydı, sadece noktanın koordinatları önemlidir.
Örnek 7:
Bir analog saatin akrebi (kısa kolu) saat 12:00'de tam yukarıyı (pozitif y ekseni yönünü) göstermektedir. Saat 12:00'den 03:00'e kadar akrep kaç derecelik bir dönme dönüşümü yapar ve bu dönme yönü nedir? ⏰
Çözüm:
Analog saatlerde akrep ve yelkovan, saatin merkezini dönme merkezi olarak kullanarak dairesel hareket yapar.
- 📌 Bir analog saat kadranı \(360^\circ\)'lik bir tam dairedir.
- Kadran üzerinde 12 saat dilimi bulunduğundan, her bir saat dilimi arasındaki açı \(360^\circ \div 12 = 30^\circ\)'dir.
- Saat 12:00'den 03:00'e kadar akrep 12'den 1'e, 1'den 2'ye ve 2'den 3'e olmak üzere 3 saat dilimi ilerler.
- 👉 Akrebin yaptığı toplam dönme açısı: \(3 \text{ saat} \times 30^\circ/\text{saat} = 90^\circ\)'dir.
- Saatler, genellikle sağa doğru (saat yönünde) ilerlediği için bu dönme saat yönündedir.
- ✅ Sonuç olarak, akrep saat 12:00'den 03:00'e kadar saat yönünde \(90^\circ\) dönme dönüşümü yapar.
Örnek 8:
Koordinat düzleminde bir \(D(a, b)\) noktası orijin etrafında saat yönünün tersine \(90^\circ\) döndürüldüğünde \(D'(4, -3)\) noktası elde ediliyor. Buna göre, \(D\) noktasının başlangıçtaki koordinatları \((a, b)\) nedir? 🤔
Çözüm:
Bu soru, dönme dönüşümünün tersini bulmayı gerektirir. Dönüşüm kuralını tersten uygulayacağız.
- 📌 Bir noktanın \((x, y)\) orijin etrafında saat yönünün tersine \(90^\circ\) döndürüldüğünde \((-y, x)\) olduğunu biliyoruz.
- Bize dönme sonrası nokta \(D'(4, -3)\) olarak verilmiş. Yani, \((-y, x) = (4, -3)\)'tür.
- Bu eşitliği kullanarak \(x\) ve \(y\) değerlerini bulabiliriz:
- \(-y = 4 \implies y = -4\)
- \(x = -3\)
- 👉 Orijinal nokta \(D(x, y)\) olduğundan, \(D(-3, -4)\) olarak bulunur.
- Verilen \(D(a, b)\) noktası olduğu için \(a = -3\) ve \(b = -4\)'tür.
- ✅ Sonuç olarak, \(D\) noktasının başlangıçtaki koordinatları \((-3, -4)\)'tür.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-donme-donusumu/sorular