💡 9. Sınıf Matematik: Dönme Değişimi Çözümlü Örnekler

Bir \( A(x, y) \) noktasının orijin etrafında pozitif yönde 90 derece döndürülmesi sonucunda oluşan \( A'(x', y') \) noktasının koordinatları şu şekilde bulunur:

• Yeni x koordinatı, orijinal y koordinatının negatifi olur: \( x' = -y \)
• Yeni y koordinatı, orijinal x koordinatına eşit olur: \( y' = x \)

Örneğin, \( A(3, 2) \) noktasını ele alalım.

• \( x' = -2 \)
• \( y' = 3 \)

Bu durumda, \( A(3, 2) \) noktası orijin etrafında pozitif yönde 90 derece döndürüldüğünde \( A'(-2, 3) \) noktası elde edilir. 💡

Bir \( B(x, y) \) noktasının orijin etrafında negatif yönde 90 derece döndürülmesi sonucunda oluşan \( B'(x', y') \) noktasının koordinatları şu şekildedir:

• Yeni x koordinatı, orijinal y koordinatına eşit olur: \( x' = y \)
• Yeni y koordinatı, orijinal x koordinatının negatifi olur: \( y' = -x \)

\( B(1, -4) \) noktası için bu kuralı uygulayalım:

• \( x' = -4 \)
• \( y' = -(1) = -1 \)

Dolayısıyla, \( B(1, -4) \) noktası orijin etrafında negatif yönde 90 derece döndürüldüğünde \( B'(-4, -1) \) noktası elde edilir. ✅

Bir \( C(x, y) \) noktasının orijin etrafında 180 derece döndürülmesi, noktanın hem x hem de y koordinatlarının işaretlerinin değiştirilmesi anlamına gelir. Elde edilen \( C'(x', y') \) noktasının koordinatları şöyledir:

• \( x' = -x \)
• \( y' = -y \)

\( C(-5, 3) \) noktası için bu kuralı uygulayalım:

• \( x' = -(-5) = 5 \)
• \( y' = -(3) = -3 \)

Sonuç olarak, \( C(-5, 3) \) noktası orijin etrafında 180 derece döndürüldüğünde \( C'(5, -3) \) noktası elde edilir. ✨

Bir \( D(x, y) \) noktasının orijin etrafında pozitif yönde 270 derece döndürülmesi, negatif yönde 90 derece döndürmeye eşdeğerdir. Bu durumda oluşan \( D'(x', y') \) noktasının koordinatları şöyledir:

• \( x' = y \)
• \( y' = -x \)

\( D(2, 6) \) noktası için bu kuralı uygulayalım:

• \( x' = 6 \)
• \( y' = -(2) = -2 \)

Bu nedenle, \( D(2, 6) \) noktası orijin etrafında pozitif yönde 270 derece döndürüldüğünde \( D'(6, -2) \) noktası elde edilir. 🚀

Bu problemi çözmek için, bir noktanın orijin etrafında pozitif yönde 90 derece döndürülme kuralını kullanacağız.

• Orijinal nokta \( P(x, y) = P(4, -1) \)
• Dönme kuralı: \( x' = -y \) ve \( y' = x \)

Şimdi bu kuralı \( P(4, -1) \) noktasına uygulayalım:

• Yeni x koordinatı: \( x' = -(-1) = 1 \)
• Yeni y koordinatı: \( y' = 4 \)

Dolayısıyla, karakterin yeni konumu \( P'(1, 4) \) olur. Oyun karakteri \( P'(1, 4) \) konumuna gelmiş olur. 🎮

Bir saat kadranını bir koordinat sistemi gibi düşünebiliriz. 12'yi pozitif y ekseni, 3'ü pozitif x ekseni, 6'yı negatif y ekseni ve 9'u negatif x ekseni olarak kabul edebiliriz.

• Başlangıçta akrep 3'ü gösteriyor. Bu konumu \( (r, 0) \) olarak düşünebiliriz, burada \( r \) akrebin uzunluğudur.
• Saat yönünün tersine 180 derece dönme, koordinatların işaretlerinin değişmesi demektir.
• Eğer başlangıç konumu \( (x, y) \) ise, 180 derece dönme sonrası konum \( (-x, -y) \) olur.

Bu durumda, 3'ü gösteren akrep 180 derece döndüğünde, işaret değiştirerek tam karşısındaki sayıyı gösterecektir. 3'ün tam karşısındaki sayı 9'dur. ⏰

Bir \( A(a, b) \) noktasının orijin etrafında pozitif yönde 90 derece döndürülmesiyle oluşan \( A'(x', y') \) noktasının koordinatları \( x' = -b \) ve \( y' = a \) olarak bulunur. Soruda verilen \( A' \) noktasının koordinatları \( (-3, 5) \) olduğundan, bu bilgiyi kullanarak \( a \) ve \( b \) değerlerini bulabiliriz:

• \( x' = -b = -3 \Rightarrow b = 3 \)
• \( y' = a = 5 \)

Buna göre, \( a = 5 \) ve \( b = 3 \) olarak bulunur. Bizden istenen \( a + b \) değeridir:

• \( a + b = 5 + 3 = 8 \)

Sonuç olarak, \( a + b \) değeri 8'dir. 💯

Bu problemi adım adım çözelim:

Adım 1: İlk Dönme (Pozitif Yönde 90 Derece)

• Başlangıç noktası: \( K(2, 2) \)
• Pozitif yönde 90 derece dönme kuralı: \( x' = -y \) ve \( y' = x \)
• İlk dönme sonrası nokta \( K'(x', y') \):
• \( x' = -(2) = -2 \)
• \( y' = 2 \)
• Yani, ilk dönme sonrası nokta \( K'(-2, 2) \) olur.

Adım 2: İkinci Dönme (Negatif Yönde 90 Derece)

• Bu adımda, ilk dönme sonucu elde edilen \( K'(-2, 2) \) noktasını kullanacağız.
• Negatif yönde 90 derece dönme kuralı: \( x'' = y' \) ve \( y'' = -x' \)
• İkinci dönme sonrası nokta \( K''(x'', y'') \):
• \( x'' = 2 \)
• \( y'' = -(-2) = 2 \)
• Yani, son konumdaki nokta \( K''(2, 2) \) olur.

Her iki dönme işlemi sonucunda noktanın tekrar başlangıç noktasına döndüğünü görüyoruz. 🔄