💡 9. Sınıf Matematik: Doğrusal ve Mutlak Değer Fonksiyonu Çözümlü Örnekler

Doğrusal fonksiyonlar, \( f(x) = mx + n \) şeklinde ifade edilen fonksiyonlardır. Burada \( m \) eğim, \( n \) ise y-kesenidir.

• Adım 1: Fonksiyonun tanımını anlayalım. \( f(x) = 2x + 3 \) bize \( x \) yerine bir değer koyduğumuzda \( f(x) \) değerini nasıl bulacağımızı söyler.
• Adım 2: Soruda verilen \( x = 4 \) değerini fonksiyon denkleminde yerine koyalım.
• Adım 3: \( f(4) = 2 \cdot (4) + 3 \) işlemini yapalım.
• Adım 4: Çarpma işlemini öncelikli olarak yapalım: \( 2 \cdot 4 = 8 \).
• Adım 5: Elde ettiğimiz sonucu toplayalım: \( 8 + 3 = 11 \).

Sonuç olarak, \( f(4) = 11 \) bulunur. ✅

Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusu üzerindeki başlangıç noktasına (0'a) olan uzaklığını ifade eder ve sonucu her zaman pozitif veya sıfırdır.

• Adım 1: \( g(2) \) değerini hesaplamak için \( x \) yerine 2 yazalım: \( g(2) = |2 - 5| \).
• Adım 2: Parantez içindeki işlemi yapalım: \( 2 - 5 = -3 \).
• Adım 3: Mutlak değerini alalım: \( |-3| = 3 \). Yani \( g(2) = 3 \).
• Adım 4: \( g(7) \) değerini hesaplamak için \( x \) yerine 7 yazalım: \( g(7) = |7 - 5| \).
• Adım 5: Parantez içindeki işlemi yapalım: \( 7 - 5 = 2 \).
• Adım 6: Mutlak değerini alalım: \( |2| = 2 \). Yani \( g(7) = 2 \).

Böylece \( g(2) = 3 \) ve \( g(7) = 2 \) olarak bulunur. 👍

Bu bir doğrusal fonksiyon problemidir çünkü sabit bir başlangıç ücreti ve kilometre başına sabit bir artış vardır.

• Adım 1: Fonksiyonu \( f(x) \) olarak tanımlayalım, burada \( x \) gidilen mesafeyi (km) temsil etsin ve \( f(x) \) toplam maliyeti (TL) temsil etsin.
• Adım 2: Açılış ücreti sabit olduğu için bu, fonksiyonun sabit terimi olacaktır: \( +5 \).
• Adım 3: Her kilometre için alınan 3 TL, \( x \) ile çarpılacak olan eğimdir: \( 3x \).
• Adım 4: Doğrusal fonksiyonumuz \( f(x) = 3x + 5 \) şeklinde olur.
• Adım 5: 10 km'lik yolculuğun maliyetini bulmak için \( x = 10 \) değerini fonksiyonda yerine koyalım: \( f(10) = 3 \cdot (10) + 5 \).
• Adım 6: Hesaplamayı yapalım: \( f(10) = 30 + 5 = 35 \).

Bu durumda 10 km'lik yolculuğun maliyeti 35 TL'dir. 💰

Bu problemde mutlak değer fonksiyonunu kullanarak hareketlinin konumunu hesaplayacağız.

• Adım 1: 3. saniyedeki konumu bulmak için \( t = 3 \) değerini \( s(t) \) fonksiyonunda yerine koyalım: \( s(3) = |2 \cdot (3) - 8| \).
• Adım 2: İşlemi yapalım: \( s(3) = |6 - 8| = |-2| = 2 \).
• Adım 3: 6. saniyedeki konumu bulmak için \( t = 6 \) değerini \( s(t) \) fonksiyonunda yerine koyalım: \( s(6) = |2 \cdot (6) - 8| \).
• Adım 4: İşlemi yapalım: \( s(6) = |12 - 8| = |4| = 4 \).
• Adım 5: Konumları arasındaki farkı bulmak için büyük değerden küçük değeri çıkaralım: \( s(6) - s(3) = 4 - 2 = 2 \).

Hareketlinin 3. ve 6. saniyedeki konumları arasındaki fark 2 birimdir. ↔️

Bu problemde ardışık yüzdelik değişimler söz konusudur ve bu durum basit bir doğrusal fonksiyonla ifade edilemez.

• Adım 1: İlk indirimi hesaplayalım. Etiket fiyatı 200 TL. %20 indirim: \( 200 \cdot \frac{20}{100} = 40 \) TL.
• Adım 2: İndirimli fiyatı bulalım: \( 200 - 40 = 160 \) TL.
• Adım 3: İndirimli fiyat üzerinden %10 ek vergi uygulayalım. Vergi tutarı: \( 160 \cdot \frac{10}{100} = 16 \) TL.
• Adım 4: Son satış fiyatını bulalım: \( 160 + 16 = 176 \) TL.
• Adım 5: Neden doğrusal fonksiyonla ifade edilemez? Doğrusal fonksiyonlarda değişkenin katsayısı sabittir (\( f(x) = mx + n \)). Ancak burada uygulanan indirim ve vergi oranları, fiyatın kendisi üzerinden hesaplandığı için, her adımda uygulanan oranlar değişir ve sabit bir katsayı ile ifade edilemez. Eğer her adımda sabit bir miktar eklenip çıksaydı doğrusal olurdu. Bu tür işlemler genellikle katlı oranlar veya üstel fonksiyonlarla modellenir. ❌

Son satış fiyatı 176 TL'dir. Bu işlem doğrusal bir fonksiyonla doğrudan modellenemez. 📈

Bu problemde hem doğrusal fonksiyon hem de mutlak değer fonksiyonu kullanılacaktır.

• Adım 1: Depodaki su miktarını gösteren doğrusal fonksiyonu kuralım. Başlangıç miktarı \( 500 \) litre (sabit terim). Her saat \( 20 \) litre eksildiği için eğim \( -20 \) olur. Fonksiyon: \( f(t) = -20t + 500 \).
• Adım 2: Depodaki su miktarının \( |100 - x| \) şeklinde bir mutlak değer fonksiyonuna eşit olabilmesi için, bu ifadenin \( 100 \) litreye eşit olması gerekir.
• Adım 3: Depodaki su miktarının 100 litre olduğu zamanı bulmak için doğrusal fonksiyonu 100'e eşitleyelim: \( -20t + 500 = 100 \).
• Adım 4: Denklemi çözelim: \( -20t = 100 - 500 \Rightarrow -20t = -400 \).
• Adım 5: \( t \) değerini bulalım: \( t = \frac{-400}{-20} = 20 \).

Depodaki su miktarı 20. saatte 100 litre olur. Bu durumda \( f(20) = 100 \) olur. Mutlak değer ifadesi \( |100 - 100| = 0 \) olur. Sorunun ifadesi gereği, depodaki su miktarının \( |100 - x| \) şeklinde olabilmesi için, bu miktarın 100 litreye eşit olması gerekir. Bu da 20. saatte gerçekleşir. ⏳

Bu, günlük hayattan basit bir doğrusal fonksiyon örneğidir.

• Adım 1: Külahın sabit ücreti 2 TL'dir. Bu, fonksiyonumuzun sabit terimi olacaktır.
• Adım 2: Her top dondurma için 5 TL alındığı için, top sayısı \( x \) ise, dondurma ücreti \( 5x \) olacaktır. Bu, fonksiyonumuzun eğimidir.
• Adım 3: Toplam ödemeyi gösteren doğrusal fonksiyon \( f(x) = 5x + 2 \) olur, burada \( x \) top sayısıdır.
• Adım 4: Öğrenci 3 top dondurma aldığına göre, \( x = 3 \) değerini fonksiyonda yerine koyalım: \( f(3) = 5 \cdot (3) + 2 \).
• Adım 5: Hesaplamayı yapalım: \( f(3) = 15 + 2 = 17 \).

Öğrenci 3 top dondurma için 17 TL öder. 💯

Bu, sporcunun konumunu mutlak değer fonksiyonu ile ifade eden bir örnektir.

• Adım 1: Sporcunun 4. dakikadaki başlangıç noktasına uzaklığını hesaplayalım. \( t = 4 \) için: \( d(4) = |3 \cdot (4) - 15| \).
• Adım 2: İşlemi yapalım: \( d(4) = |12 - 15| = |-3| = 3 \) metre.
• Adım 3: Sporcunun 8. dakikadaki başlangıç noktasına uzaklığını hesaplayalım. \( t = 8 \) için: \( d(8) = |3 \cdot (8) - 15| \).
• Adım 4: İşlemi yapalım: \( d(8) = |24 - 15| = |9| = 9 \) metre.
• Adım 5: İki uzaklık arasındaki farkı bulalım: \( d(8) - d(4) = 9 - 3 = 6 \) metre.

Sporcunun 4. ve 8. dakikadaki başlangıç noktasına uzaklıkları arasındaki fark 6 metredir. 📏

İki noktası bilinen bir doğrusal fonksiyonun denklemini bulabiliriz.

• Adım 1: Doğrusal fonksiyonun genel denklemi \( f(x) = mx + n \) şeklindedir.
• Adım 2: Eğim \( m \) 'yi bulmak için formülü kullanalım: \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \). Verilen noktalar \( (x_1, y_1) = (1, 5) \) ve \( (x_2, y_2) = (3, 11) \).
• Adım 3: Eğimi hesaplayalım: \( m = \frac{11 - 5}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3 \).
• Adım 4: Fonksiyonumuz \( f(x) = 3x + n \) haline geldi. \( n \) 'yi bulmak için verilen noktalardan birini (örneğin \( (1, 5) \)) denklemde yerine koyalım: \( 5 = 3 \cdot (1) + n \).
• Adım 5: \( n \) değerini bulalım: \( 5 = 3 + n \Rightarrow n = 2 \).
• Adım 6: Doğrusal fonksiyonun denklemi \( f(x) = 3x + 2 \) olarak bulunur.
• Adım 7: \( x = -2 \) için değeri hesaplayalım: \( f(-2) = 3 \cdot (-2) + 2 \).
• Adım 8: Hesaplamayı yapalım: \( f(-2) = -6 + 2 = -4 \).

Fonksiyonun denklemi \( f(x) = 3x + 2 \) ve \( f(-2) = -4 \) olarak bulunur. 📊