🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Doğrusal Fonksiyonlarla İlgili Denklemler ve Eşitsizlikler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Doğrusal Fonksiyonlarla İlgili Denklemler ve Eşitsizlikler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birinci dereceden bir bilinmeyenli \( 3x - 5 = 10 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 💡
Çözüm:
Bu denklem, doğrusal denklemlerin en temel halidir. Amacımız \( x \) değişkenini yalnız bırakmaktır.
- Denklemin her iki tarafına 5 ekleyelim: \( 3x - 5 + 5 = 10 + 5 \)
- Bu işlem sonucunda denklem \( 3x = 15 \) haline gelir.
- Şimdi denklemin her iki tarafını \( x \)'in katsayısı olan 3'e bölelim: \( \frac{3x}{3} = \frac{15}{3} \)
- Sonuç olarak \( x = 5 \) bulunur.
Örnek 2:
\( f(x) = 2x + 1 \) doğrusal fonksiyonu veriliyor. \( f(3) \) değerini hesaplayınız. 👉
Çözüm:
Doğrusal bir fonksiyonun belirli bir \( x \) değerindeki görüntüsünü bulmak için, fonksiyonda \( x \) yerine o değeri yazarız.
- Fonksiyonumuz \( f(x) = 2x + 1 \).
- \( x \) yerine 3 yazalım: \( f(3) = 2 \times 3 + 1 \)
- Çarpma işlemini yapalım: \( f(3) = 6 + 1 \)
- Toplama işlemini tamamlayalım: \( f(3) = 7 \)
Örnek 3:
\( y = -x + 4 \) doğrusunun grafiğini çizmek için \( x=0 \) ve \( y=0 \) olduğunda noktaları bulunuz. 📈
Çözüm:
Doğrusal fonksiyonların grafiği bir doğru belirtir. Bu doğruyu çizmek için en az iki noktaya ihtiyacımız vardır. Genellikle eksenleri kestiği noktalar tercih edilir.
- \( y \)-eksenini kestiği nokta: \( x=0 \) iken \( y \) değerini bulalım.
\( y = -(0) + 4 \Rightarrow y = 4 \). Nokta: \( (0, 4) \) - \( x \)-eksenini kestiği nokta: \( y=0 \) iken \( x \) değerini bulalım.
\( 0 = -x + 4 \Rightarrow x = 4 \). Nokta: \( (4, 0) \)
Örnek 4:
\( 2(x - 1) < 8 \) eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı değerini bulunuz. 🎯
Çözüm:
Bu tür eşitsizlikleri çözerken, denklemlerde yaptığımız işlemleri eşitsizlik sembolünü bozmadan uygulamaya özen gösteririz.
- Önce parantezi dağıtalım: \( 2x - 2 < 8 \)
- Eşitsizliğin her iki tarafına 2 ekleyelim: \( 2x - 2 + 2 < 8 + 2 \)
- Bu işlem sonucunda \( 2x < 10 \) elde ederiz.
- Eşitsizliğin her iki tarafını 2'ye bölelim: \( \frac{2x}{2} < \frac{10}{2} \)
- Sonuç olarak \( x < 5 \) bulunur.
Örnek 5:
Bir taksici, açılış ücreti olarak 5 TL almaktadır. Gidilen her kilometre için ise 2 TL ücretlendirme yapmaktadır. Bu taksinin \( x \) kilometre yol gittiğinde ödeyeceği toplam ücreti gösteren doğrusal fonksiyonu yazınız ve 10 kilometre yol gittiğinde ne kadar ödeyeceğini hesaplayınız. 🚕
Çözüm:
Bu problemi bir doğrusal fonksiyon modeliyle ifade edebiliriz.
- Sabit ücret (başlangıç değeri): Açılış ücreti 5 TL'dir. Bu, \( x \) değeri 0 iken alınan ücrettir.
- Değişken ücret (eğim): Gidilen her kilometre için 2 TL alınmaktadır. Bu, \( x \) değişkeninin katsayısıdır.
- Bu bilgilere göre toplam ücreti \( T(x) \) ile gösterirsek, fonksiyonumuz şu şekilde olur:
\( T(x) = 2x + 5 \) - Şimdi 10 kilometre yol gittiğinde ödenecek ücreti hesaplayalım:
\( T(10) = 2 \times 10 + 5 \)
\( T(10) = 20 + 5 \)
\( T(10) = 25 \) TL
Örnek 6:
Bir su deposunda başlangıçta 100 litre su bulunmaktadır. Her saat 15 litre su tüketilmektedir. Depodaki su miktarını \( t \) saat sonra gösteren doğrusal fonksiyonu yazınız ve 4 saat sonra depoda kaç litre su kalacağını bulunuz. 💧
Çözüm:
Bu durumu bir doğrusal fonksiyonla modelleyebiliriz.
- Başlangıç miktarı: Depoda başlangıçta 100 litre su var. Bu, \( t=0 \) iken depo miktarıdır.
- Azalma hızı (eğim): Her saat 15 litre su azalıyor. Bu, \( t \) değişkeninin katsayısıdır ve negatif değer alır.
- Depodaki su miktarını \( S(t) \) ile gösterirsek, fonksiyonumuz şu şekilde olur:
\( S(t) = -15t + 100 \) - 4 saat sonra depoda kalan su miktarını hesaplayalım:
\( S(4) = -15 \times 4 + 100 \)
\( S(4) = -60 + 100 \)
\( S(4) = 40 \) litre
Örnek 7:
\( f(x) = ax + b \) doğrusal fonksiyonu için \( f(1) = 7 \) ve \( f(3) = 11 \) olduğuna göre, \( a \) ve \( b \) değerlerini bulunuz. 🧮
Çözüm:
Verilen bilgiler, iki bilinmeyenli iki denklem sistemi oluşturmamızı sağlar.
- Verilen \( f(1) = 7 \) bilgisini fonksiyonda yerine koyalım:
\( a(1) + b = 7 \Rightarrow a + b = 7 \) (Denklem 1) - Verilen \( f(3) = 11 \) bilgisini fonksiyonda yerine koyalım:
\( a(3) + b = 11 \Rightarrow 3a + b = 11 \) (Denklem 2) - Şimdi bu iki denklemi çözebiliriz. Denklem 1'den \( b = 7 - a \) elde ederiz.
- Bu \( b \) değerini Denklem 2'de yerine koyalım:
\( 3a + (7 - a) = 11 \)
\( 2a + 7 = 11 \)
\( 2a = 4 \)
\( a = 2 \) - Bulduğumuz \( a=2 \) değerini Denklem 1'de yerine koyarak \( b \)'yi bulalım:
\( 2 + b = 7 \)
\( b = 5 \)
Örnek 8:
Bir fabrikada üretilen ürün sayısı, makinenin çalışma süresiyle doğru orantılıdır. Makine ilk 2 saat çalıştığında 100 ürün üretiyor. Makinenin 5 saat çalıştığında kaç ürün üreteceğini ve bu durumu ifade eden doğrusal fonksiyonu bulunuz. 🏭
Çözüm:
Ürün sayısı ile çalışma süresi arasındaki ilişki doğrusal bir fonksiyondur.
- Üretilen ürün sayısını \( P(t) \) ile, çalışma süresini \( t \) (saat) ile gösterelim.
- Doğrusal fonksiyonun genel formu \( P(t) = mt + n \) şeklindedir. Burada \( m \) eğim (saatte üretilen ürün sayısı), \( n \) ise başlangıçtaki ürün sayısıdır (eğer varsa).
- Makine 0 saat çalıştığında 0 ürün ürettiğini varsayarsak (yani \( n=0 \)), fonksiyon \( P(t) = mt \) olur.
- İlk 2 saatte 100 ürün üretildiğine göre:
\( P(2) = 100 \)
\( m \times 2 = 100 \)
\( m = \frac{100}{2} = 50 \) - Bu durumda doğrusal fonksiyonumuz \( P(t) = 50t \) olur.
- Makinenin 5 saat çalıştığında üreteceği ürün sayısı:
\( P(5) = 50 \times 5 \)
\( P(5) = 250 \) ürün
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-dogrusal-fonksiyonlarla-ilgili-denklemler-ve-esitsizlikler/sorular