🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Doğrusal Fonksiyonlarla İfade Edilen Denklem Ve Eşitsizlikler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Doğrusal Fonksiyonlarla İfade Edilen Denklem Ve Eşitsizlikler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki denklemi çözerek x değerini bulunuz.
\( 3x - 7 = 11 \)
\( 3x - 7 = 11 \)
Çözüm:
Bu bir tek bilinmeyenli doğrusal denklemdir. Amacımız x'i yalnız bırakmaktır. İşte adımlar:
- 👉 İlk olarak, sabit terimi eşitliğin diğer tarafına atarız. Unutmayın, işaret değiştirir!
- ✅ İşlemi yapalım:
- 👉 Şimdi x'in katsayısı olan 3'ü eşitliğin diğer tarafına bölme olarak geçirelim:
- ✅ Sonucu bulalım:
\[ 3x - 7 = 11 \]
\[ 3x = 11 + 7 \]
\[ 3x = 18 \]
\[ x = \frac{18}{3} \]
\[ x = 6 \]
Örnek 2:
Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz ve sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.
\( 2x + 5 < 17 \)
\( 2x + 5 < 17 \)
Çözüm:
Bu bir tek bilinmeyenli doğrusal eşitsizliktir. Denklem çözer gibi x'i yalnız bırakacağız, ancak eşitsizlik işaretine dikkat edeceğiz.
- 👉 Önce sabit terimi eşitsizliğin diğer tarafına atalım:
- ✅ İşlemi yapalım:
- 👉 Şimdi x'in katsayısı olan 2'yi eşitsizliğin diğer tarafına bölme olarak geçirelim. Pozitif bir sayı ile böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirmez:
- ✅ Sonucu bulalım:
- 📌 Bu durumda çözüm kümesi, 6'dan küçük tüm gerçek sayılardır. Küme paranteziyle gösterimi:
- Sayı doğrusunda gösterimi için:
- Bir sayı doğrusu çizin.
- 6 noktasını işaretleyin.
- Eşitsizlik \( x < 6 \) olduğu için, 6 noktasının içini boş bırakın (6 dahil değil).
- 6'nın solundaki tüm bölgeyi tarayın. Bu bölge, eşitsizliğin çözüm kümesini temsil eder.
\[ 2x + 5 < 17 \]
\[ 2x < 17 - 5 \]
\[ 2x < 12 \]
\[ x < \frac{12}{2} \]
\[ x < 6 \]
Çözüm Kümesi: \( \{x \mid x \in \mathbb{R}, x < 6\} \) veya \( (-\infty, 6) \)
Örnek 3:
\( y = 2x - 3 \) doğrusal denklemi için aşağıdaki noktalardan hangisi çözüm kümesinde yer alır?
A) \( (1, -1) \)
B) \( (0, 3) \)
C) \( (2, 0) \)
A) \( (1, -1) \)
B) \( (0, 3) \)
C) \( (2, 0) \)
Çözüm:
Bir noktanın bir denklemin çözüm kümesinde yer alması demek, o noktanın koordinatları denkleme yazıldığında eşitliği sağlaması demektir. Noktalar \( (x, y) \) şeklinde verildiği için x ve y değerlerini denkleme yerleştireceğiz.
- 👉 A) \( (1, -1) \) için:
- ✅ Eşitlik sağlandı! Bu nokta denklemin çözüm kümesindedir.
- 👉 B) \( (0, 3) \) için:
- ❌ Eşitlik sağlanmadı. Bu nokta çözüm kümesinde değildir.
- 👉 C) \( (2, 0) \) için:
- ❌ Eşitlik sağlanmadı. Bu nokta çözüm kümesinde değildir.
\[ y = 2x - 3 \]
\[ -1 = 2(1) - 3 \]
\[ -1 = 2 - 3 \]
\[ -1 = -1 \]
\[ y = 2x - 3 \]
\[ 3 = 2(0) - 3 \]
\[ 3 = 0 - 3 \]
\[ 3 = -3 \]
\[ y = 2x - 3 \]
\[ 0 = 2(2) - 3 \]
\[ 0 = 4 - 3 \]
\[ 0 = 1 \]
Örnek 4:
\( 3x + 2y = 6 \) doğrusal denkleminin koordinat düzlemindeki grafiğini çizmek için eksenleri kestiği noktaları bulunuz.
Çözüm:
Bir doğrusal denklemin grafiğini çizmek için genellikle eksenleri kestiği noktaları bulmak en kolay yoldur.
- 💡 x-eksenini kestiği nokta: Bu noktada y değeri 0'dır. Bu yüzden denklemde \( y = 0 \) yazarız.
- ✅ Yani, doğru x-eksenini \( (2, 0) \) noktasında keser.
- 💡 y-eksenini kestiği nokta: Bu noktada x değeri 0'dır. Bu yüzden denklemde \( x = 0 \) yazarız.
- ✅ Yani, doğru y-eksenini \( (0, 3) \) noktasında keser.
\[ 3x + 2(0) = 6 \]
\[ 3x = 6 \]
\[ x = \frac{6}{3} \]
\[ x = 2 \]
\[ 3(0) + 2y = 6 \]
\[ 2y = 6 \]
\[ y = \frac{6}{2} \]
\[ y = 3 \]
Örnek 5:
Koordinat düzleminde \( x - y > 2 \) eşitsizliğinin çözüm bölgesini belirleyiniz.
Çözüm:
Bir doğrusal eşitsizliğin çözüm bölgesini belirlemek için önce sınır doğrusunu çizeriz, sonra hangi bölgenin çözüm olduğunu test ederiz.
- 👉 1. Adım: Sınır doğrusunu çizme.
Eşitsizliği bir denklem gibi düşünerek sınır doğrusunu bulalım: \( x - y = 2 \). - x-eksenini kestiği nokta için \( y = 0 \): \( x - 0 = 2 \implies x = 2 \). Yani \( (2, 0) \).
- y-eksenini kestiği nokta için \( x = 0 \): \( 0 - y = 2 \implies y = -2 \). Yani \( (0, -2) \).
- 📌 Eşitsizlik \( > \) olduğu için (eşitlik durumu yok), bu doğru kesikli çizgi ile çizilmelidir.
- 👉 2. Adım: Çözüm bölgesini belirlemek için bir test noktası seçme.
Genellikle koordinat başlangıcı \( (0, 0) \) uygun bir test noktasıdır (eğer doğru başlangıç noktasından geçmiyorsa). - ❌ Bu ifade yanlıştır. Yani \( (0, 0) \) noktasının bulunduğu bölge çözüm kümesine ait değildir.
- 👉 3. Adım: Çözüm bölgesini tarama.
\( (0, 0) \) noktasının bulunduğu bölge çözüm kümesine dahil olmadığına göre, sınır doğrusunun diğer tarafındaki bölge çözüm kümesidir. Koordinat düzleminde \( x - y = 2 \) doğrusunun \( (0, 0) \) noktasını içermeyen tarafını taramalısınız.
Test noktamız \( (0, 0) \). Bunu eşitsizliğe yerleştirelim:
\[ x - y > 2 \]
\[ 0 - 0 > 2 \]
\[ 0 > 2 \]
Örnek 6:
Bir otobüs firması, şehirlerarası yolculuk için bilet fiyatını 150 TL olarak belirlemiştir. Ancak, kampanya kapsamında grup olarak seyahat eden her 5 kişi için toplam fiyattan 50 TL indirim yapmaktadır.
Grup halinde seyahat eden bir ailenin ödediği toplam ücret 1000 TL olduğuna göre, bu grupta kaç kişi vardır?
Grup halinde seyahat eden bir ailenin ödediği toplam ücret 1000 TL olduğuna göre, bu grupta kaç kişi vardır?
Çözüm:
Bu problemi bir doğrusal denklem kurarak çözebiliriz.
- 👉 1. Adım: Bilinmeyeni tanımlayalım.
Gruptaki kişi sayısına x diyelim. - 👉 2. Adım: Denklemi kuralım.
Normalde x kişi için ödenecek ücret \( 150x \) TL olurdu.
Her 5 kişi için 50 TL indirim yapıldığına göre, toplam indirim miktarı \( \left( \frac{x}{5} \right) \times 50 \) TL olacaktır.
Ödenen toplam ücret, normal ücretten indirimin çıkarılmasıyla bulunur: - 👉 3. Adım: Denklemi çözelim.
- ❗ Olamaz! Kişi sayısı tam sayı çıkmadı. Bu durumda problemde bir eksiklik veya yanlış anlama var demektir. "Her 5 kişi için" ifadesi, 5'in katı olan gruplar için geçerli olabilir. Eğer 5'in katı değilse indirim uygulanmaz veya sadece tam katlarına uygulanır.
Yeni nesil sorularda bu tip detaylara dikkat etmek gerekir. Soruyu yeniden yorumlayalım: "her 5 kişi için" ifadesi genellikle 5 ve katları için geçerlidir. Ancak burada "her 5 kişi için toplam fiyattan 50 TL indirim" denmiş. Eğer bu, her 5 kişilik blok için geçerliyse, \( x \) kişi için \( \lfloor \frac{x}{5} \rfloor \) adet 50 TL indirim uygulanır. Ancak 9. sınıf seviyesinde taban/tavan fonksiyonları beklenmez. - 💡 Basit bir yaklaşım: Eğer indirim, kişi sayısına orantılı olarak uygulanıyorsa (yani kişi sayısının 5'e bölümü kadar indirim bloğu varsa), yukarıdaki çözüm doğru olurdu. Ancak bu durumda kişi sayısı tam sayı çıkmadı.
- Alternatif Yorum (9. Sınıf seviyesine daha uygun): Eğer "her 5 kişi için 50 TL indirim" ifadesi, kişi başı indirimi kastediyorsa ve bu indirimi tüm yolculara yayıyorsa (ki bu daha gerçekçi olmaz), veya sadece 5'in katı olan kişi sayılarında bu indirim geçerliyse...
- Bu tür sorularda netlik çok önemlidir. Eğer "toplam fiyattan 50 TL indirim" ifadesi sabit bir indirim olarak düşünülseydi (yani grup olsun olmasın 50 TL indirim), denklem \( 150x - 50 = 1000 \) olurdu ki bu da "her 5 kişi için" ifadesiyle çelişir.
- En olası 9. Sınıf yorumu: Her bir kişi için olan bilet fiyatı, 5 kişilik grup indirimiyle ortalama olarak düşer. Yani 5 kişiye 50 TL indirim, kişi başı 10 TL indirim demek. Bu durumda kişi başı bilet fiyatı \( 150 - 10 = 140 \) TL olurdu.
- Bu da tam sayı çıkmadı. 😔
- Tekrar Yorum: "Her 5 kişi için toplam fiyattan 50 TL indirim" ifadesi, genellikle 5'in katı olan gruplar için geçerlidir veya indirim miktarı \( \lfloor \frac{\text{kişi sayısı}}{5} \rfloor \times 50 \) şeklindedir. Ancak bu 9. sınıf müfredatını aşabilir.
- Basit bir senaryo varsayalım: Belki de soru yazılırken "her 5 kişi için" ifadesi yerine, "50 TL grup indirimi" demek istenmiştir. Eğer durum buysa:
- ✅ Bu durumda grupta 7 kişi vardır. Bu yorum, 9. sınıf seviyesinde tam sayı sonuç veren ve mantıklı bir denkleme ulaşılmasını sağlar. Yeni nesil sorularda bazen ifadeler yoruma açık olabilir, ancak en basit ve müfredata uygun yorumu tercih etmek gerekir.
\[ 150x - \left( \frac{x}{5} \right) \times 50 = 1000 \]
\[ 150x - 10x = 1000 \]
\[ 140x = 1000 \]
\[ x = \frac{1000}{140} \]
\[ x = \frac{100}{14} \]
\[ x = \frac{50}{7} \]
Eğer kişi başı indirimli fiyat 140 TL ise:
\[ 140x = 1000 \]
\[ x = \frac{1000}{140} \]
\[ x = \frac{100}{14} = \frac{50}{7} \approx 7.14 \]
\[ 150x - 50 = 1000 \]
\[ 150x = 1050 \]
\[ x = \frac{1050}{150} \]
\[ x = 7 \]
Örnek 7:
Ayşe Hanım, aylık mutfak alışverişi için en fazla 1200 TL harcamayı planlamaktadır. Bu ay temel gıda ürünlerine 800 TL ayırmıştır. Kalan parasıyla sebze ve meyve almak istemektedir. Sebze ve meyve kilogram fiyatı ortalama 20 TL olduğuna göre, Ayşe Hanım bu ay en fazla kaç kilogram sebze ve meyve alabilir?
Çözüm:
Bu durumu bir doğrusal eşitsizlik ile ifade edebiliriz.
- 👉 1. Adım: Bilinmeyeni tanımlayalım.
Ayşe Hanım'ın alabileceği sebze ve meyve miktarına (kilogram cinsinden) k diyelim. - 👉 2. Adım: Eşitsizliği kuralım.
Temel gıda harcaması + Sebze/meyve harcaması \( \le \) Toplam bütçe - 👉 3. Adım: Eşitsizliği çözelim.
- ✅ Sonuç olarak, Ayşe Hanım bu ay en fazla 20 kilogram sebze ve meyve alabilir. Bu, bütçesini aşmadan yapabileceği maksimum alışveriş miktarını gösterir. 🍎🥦
Sebze ve meyve harcaması \( = 20 \times k \) TL
\[ 800 + 20k \le 1200 \]
\[ 20k \le 1200 - 800 \]
\[ 20k \le 400 \]
\[ k \le \frac{400}{20} \]
\[ k \le 20 \]
Örnek 8:
Aşağıdaki doğrusal denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
\[ x + y = 7 \]
\[ 2x - y = 8 \]
Çözüm:
İki bilinmeyenli iki doğrusal denklemin oluşturduğu bu sistemi çözmek için yok etme metodu veya yerine koyma metodu kullanılabilir. Burada yok etme metodunu kullanalım.
- 👉 1. Adım: Denklemleri alt alta yazalım ve uygun bir bilinmeyeni yok edelim.
Dikkat edersek, birinci denklemde \( +y \), ikinci denklemde \( -y \) var. Bu denklemleri taraf tarafa toplarsak y'ler birbirini götürür. - ✅ y'ler sadeleşir:
- 👉 2. Adım: Kalan bilinmeyeni (x) bulalım.
- 👉 3. Adım: Bulduğumuz x değerini denklemlerden birine yazarak y değerini bulalım.
Birinci denklemi kullanalım: \( x + y = 7 \) - ✅ Böylece çözüm kümesi \( (x, y) = (5, 2) \) olarak bulunur.
- 📌 Çözüm kümesi: \( \{(5, 2)\} \)
\[ (x + y) + (2x - y) = 7 + 8 \]
\[ x + y + 2x - y = 15 \]
\[ 3x = 15 \]
\[ x = \frac{15}{3} \]
\[ x = 5 \]
\[ 5 + y = 7 \]
\[ y = 7 - 5 \]
\[ y = 2 \]
Örnek 9:
Bir sınıfta, erkek öğrencilerin sayısı kız öğrencilerin sayısının 2 katından 3 eksiktir. Sınıf mevcudu 27 olduğuna göre, sınıftaki kız ve erkek öğrenci sayılarını bulunuz.
Çözüm:
Bu problemi iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem kurarak çözebiliriz.
- 👉 1. Adım: Bilinmeyenleri tanımlayalım.
Kız öğrenci sayısına k diyelim.
Erkek öğrenci sayısına e diyelim. - 👉 2. Adım: Denklemleri kuralım.
- "Erkek öğrencilerin sayısı kız öğrencilerin sayısının 2 katından 3 eksiktir":
- "Sınıf mevcudu 27'dir":
- 👉 3. Adım: Denklem sistemini çözelim.
Birinci denklemdeki e değerini (Denklem 1) ikinci denklemde yerine koyalım (Yerine Koyma Metodu). - 👉 4. Adım: k değerini bulalım.
- ✅ Yani, sınıfta 10 kız öğrenci vardır.
- 👉 5. Adım: e değerini bulalım.
Bulduğumuz k değerini Denklemlerden birine (örneğin Denklem 2'ye) yazalım: - ✅ Yani, sınıfta 17 erkek öğrenci vardır.
\[ e = 2k - 3 \quad \text{(Denklem 1)} \]
\[ k + e = 27 \quad \text{(Denklem 2)} \]
\[ k + (2k - 3) = 27 \]
\[ k + 2k - 3 = 27 \]
\[ 3k - 3 = 27 \]
\[ 3k = 27 + 3 \]
\[ 3k = 30 \]
\[ k = \frac{30}{3} \]
\[ k = 10 \]
\[ k + e = 27 \]
\[ 10 + e = 27 \]
\[ e = 27 - 10 \]
\[ e = 17 \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-dogrusal-fonksiyonlarla-ifade-edilen-denklem-ve-esitsizlikler/sorular