💡 9. Sınıf Matematik: Doğrusal Fonksiyonlarin Grafikleri Çözümlü Örnekler

Bir fonksiyonun doğrusal fonksiyon olabilmesi için grafiğinin analitik düzlemde bir doğru olması gerekir. Bu tür fonksiyonların genel denklemi \( y = mx + c \) şeklindedir. Burada \( m \) doğrunun eğimini, \( c \) ise y-eksenini kestiği noktayı ifade eder. Eğim, doğrunun x'teki değişimine karşılık y'deki değişim oranını gösterir. y-keseni ise \( x = 0 \) iken \( y \) değeridir.

• Doğru: Doğrusal fonksiyonların grafikleri her zaman düz bir çizgidir.
• Denklem: Genel denklemleri \( y = mx + c \) formundadır.
• Eğim ve y-keseni: \( m \) ve \( c \) değerleri, doğrunun yönünü, dikliğini ve hangi noktadan geçtiğini belirler.

✅ Bu nedenle, doğrusal fonksiyonların grafiğinin her zaman bir doğru olması ve denkleminin \( y = mx + c \) şeklinde olması doğrudur.

Bir fonksiyonun y-eksenini kestiği nokta, grafiğin y-ekseni ile kesiştiği noktadır. Bu noktada x-koordinatı her zaman sıfırdır. Dolayısıyla, y-eksenini kestiği noktayı bulmak için fonksiyonda \( x = 0 \) değerini yerine koyarız.

• Fonksiyonumuz: \( f(x) = 2x + 4 \)
• \( x = 0 \) için: \( f(0) = 2 \times 0 + 4 \)
• Hesaplama: \( f(0) = 0 + 4 \)
• Sonuç: \( f(0) = 4 \)

✅ Bu durumda, fonksiyonun y-eksenini kestiği nokta \( (0, 4) \) noktasıdır.

Bir fonksiyonun x-eksenini kestiği nokta, grafiğin x-ekseni ile kesiştiği noktadır. Bu noktada y-koordinatı (yani \( g(x) \) değeri) her zaman sıfırdır. Dolayısıyla, x-eksenini kestiği noktayı bulmak için \( g(x) = 0 \) denklemini çözeriz.

• Fonksiyonumuz: \( g(x) = -3x + 6 \)
• \( g(x) = 0 \) eşitliğini kuralım: \( -3x + 6 = 0 \)
• Denklemi çözelim:
• \( -3x = -6 \)
• \( x = \frac{-6}{-3} \)
• \( x = 2 \)

✅ Bu durumda, fonksiyonun x-eksenini kestiği nokta \( (2, 0) \) noktasıdır.

Doğrusal fonksiyonların genel denklemi \( y = mx + c \) şeklindedir. Burada \( m \) doğrunun eğimini, \( c \) ise y-eksenini kestiği noktayı temsil eder.

• Verilen eğim: \( m = 3 \)
• Verilen y-keseni: \( c = -2 \)

Bu değerleri genel denklemde yerine koyarsak:

• \( y = 3x + (-2) \)
• Sadeleştirilmiş hali: \( y = 3x - 2 \)

✅ Dolayısıyla, eğimi 3 ve y-keseni -2 olan doğrusal fonksiyonun denklemi \( y = 3x - 2 \) olur.

Bir doğrunun eğimi, üzerindeki iki nokta \( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) verildiğinde şu formülle hesaplanır: \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \).

• Verilen noktalar: \( (x_1, y_1) = (1, 5) \) ve \( (x_2, y_2) = (3, 11) \)
• Eğimi hesaplayalım: \( m = \frac{11 - 5}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3 \)

Eğimi \( m = 3 \) olarak bulduk. Şimdi genel denklemimiz \( y = mx + c \) formunu kullanarak y-kesenini \( c \) bulabiliriz. Bunun için verilen noktalardan birini (örneğin \( (1, 5) \)) denklemde yerine koyalım:

• \( 5 = 3 \times 1 + c \)
• \( 5 = 3 + c \)
• \( c = 5 - 3 \)
• \( c = 2 \)

✅ Eğim \( m = 3 \) ve y-keseni \( c = 2 \) olduğuna göre, doğrusal fonksiyonun denklemi \( y = 3x + 2 \) olur.

Bu durumda, toplam ücret (y) gidilen kilometre (x) cinsinden doğrusal bir fonksiyonla ifade edilebilir.

• Açılış ücreti: Bu, \( x = 0 \) iken alınan sabit ücrettir, yani y-kesenidir (\( c \)). Bu nedenle \( c = 10 \) TL'dir.
• Kilometre başına ücret: Bu, her kilometre başına eklenen miktardır, yani doğrunun eğimidir (\( m \)). Bu nedenle \( m = 4 \) TL/km'dir.

Doğrusal fonksiyonun genel denklemi \( y = mx + c \) olduğundan, bu taksinin ücretlendirmesini gösteren fonksiyon:

• \( y = 4x + 10 \)

Grafik Yorumu:

• Grafik, y-eksenini 10 noktasında keser. Bu, taksimetre ilk açıldığında (0 km) 10 TL ödeneceği anlamına gelir.
• Grafiğin eğimi 4'tür. Bu, her 1 kilometre gidildiğinde toplam ücrete 4 TL ekleneceği anlamına gelir.
• Grafik, sağa doğru yükselen bir doğrudur, bu da gidilen mesafe arttıkça ödenecek ücretin de arttığını gösterir.

✅ Bu fonksiyon, taksi ücretlerinin mesafeye göre nasıl arttığını net bir şekilde göstermektedir.

Depodaki toplam su miktarı (y), geçen zaman (x) cinsinden doğrusal bir fonksiyonla ifade edilebilir.

• Başlangıçtaki su miktarı: Bu, \( x = 0 \) (yani 0 dakika) iken depoda bulunan su miktarıdır. Bu, y-kesenidir (\( c \)). Bu nedenle \( c = 50 \) litredir.
• Dakikada eklenen su miktarı: Bu, her dakika depoya eklenen su miktarıdır, yani doğrunun eğimidir (\( m \)). Bu nedenle \( m = 5 \) litre/dakika'dır.

Doğrusal fonksiyonun genel denklemi \( y = mx + c \) olduğundan, depodaki su miktarını gösteren fonksiyon:

• \( y = 5x + 50 \)

Grafik Yorumu:

• Grafik, y-eksenini 50 noktasında keser. Bu, başlangıçta depoda 50 litre su olduğunu gösterir.
• Grafiğin eğimi 5'tir. Bu, her dakika depoya 5 litre su eklendiği anlamına gelir.
• Grafik, sağa doğru yükselen bir doğrudur. Bu da zaman geçtikçe depodaki su miktarının arttığını gösterir.

✅ Bu fonksiyon, su ekleme işleminin zamanla depodaki su miktarını nasıl artırdığını görselleştirmemizi sağlar.

Doğrusal fonksiyonun genel denklemi \( f(x) = ax + b \) şeklindedir. Burada \( a \) doğrunun eğimidir ve \( b \) y-kesenidir.

• Eğim: Fonksiyonun eğimi \( a \) olarak verilmiştir. Soruda eğimin -1 olduğu belirtilmiştir.
• Dolayısıyla, \( a = -1 \)

Şimdi fonksiyonumuz \( f(x) = -1x + b \) veya \( f(x) = -x + b \) haline geldi. Fonksiyonun \( (2, 8) \) noktasından geçtiği bilgisi, bu noktanın fonksiyonu sağlaması anlamına gelir. Yani \( x=2 \) iken \( f(x) = 8 \) olmalıdır.

• \( f(2) = 8 \)
• \( -2 + b = 8 \)
• \( b = 8 + 2 \)
• \( b = 10 \)

✅ Böylece, \( a = -1 \) ve \( b = 10 \) değerlerini bulmuş olduk. Fonksiyonun tam denklemi \( f(x) = -x + 10 \) olur.