💡 9. Sınıf Matematik: Doğrusal Fonksiyonlarin Grafikleri Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Analitik düzlemde grafiği çizilen bir doğrusal fonksiyon için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
Fonksiyonun denklemi \( y = mx + c \) şeklindedir.
Grafik her zaman bir doğrudur.
Eğim (m) ve y-keseni (c) fonksiyonun davranışını belirler.
👉 Doğrusal fonksiyonun temel özelliklerini düşünelim.
Çözüm ve Açıklama
Bir fonksiyonun doğrusal fonksiyon olabilmesi için grafiğinin analitik düzlemde bir doğru olması gerekir. Bu tür fonksiyonların genel denklemi \( y = mx + c \) şeklindedir. Burada \( m \) doğrunun eğimini, \( c \) ise y-eksenini kestiği noktayı ifade eder. Eğim, doğrunun x'teki değişimine karşılık y'deki değişim oranını gösterir. y-keseni ise \( x = 0 \) iken \( y \) değeridir.
Doğru: Doğrusal fonksiyonların grafikleri her zaman düz bir çizgidir.
Denklem: Genel denklemleri \( y = mx + c \) formundadır.
Eğim ve y-keseni: \( m \) ve \( c \) değerleri, doğrunun yönünü, dikliğini ve hangi noktadan geçtiğini belirler.
✅ Bu nedenle, doğrusal fonksiyonların grafiğinin her zaman bir doğru olması ve denkleminin \( y = mx + c \) şeklinde olması doğrudur.
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Grafiği verilen \( f(x) = 2x + 4 \) doğrusal fonksiyonunun y-eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir?
💡 Y-eksenini kesme ne anlama gelir?
Çözüm ve Açıklama
Bir fonksiyonun y-eksenini kestiği nokta, grafiğin y-ekseni ile kesiştiği noktadır. Bu noktada x-koordinatı her zaman sıfırdır. Dolayısıyla, y-eksenini kestiği noktayı bulmak için fonksiyonda \( x = 0 \) değerini yerine koyarız.
Fonksiyonumuz: \( f(x) = 2x + 4 \)
\( x = 0 \) için: \( f(0) = 2 \times 0 + 4 \)
Hesaplama: \( f(0) = 0 + 4 \)
Sonuç: \( f(0) = 4 \)
✅ Bu durumda, fonksiyonun y-eksenini kestiği nokta \( (0, 4) \) noktasıdır.
Bir fonksiyonun x-eksenini kestiği nokta, grafiğin x-ekseni ile kesiştiği noktadır. Bu noktada y-koordinatı (yani \( g(x) \) değeri) her zaman sıfırdır. Dolayısıyla, x-eksenini kestiği noktayı bulmak için \( g(x) = 0 \) denklemini çözeriz.
✅ Bu durumda, fonksiyonun x-eksenini kestiği nokta \( (2, 0) \) noktasıdır.
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Eğimi 3 ve y-keseni -2 olan doğrusal fonksiyonun denklemini yazınız.
💡 Doğrusal fonksiyonun genel denklemini hatırlayalım.
Çözüm ve Açıklama
Doğrusal fonksiyonların genel denklemi \( y = mx + c \) şeklindedir. Burada \( m \) doğrunun eğimini, \( c \) ise y-eksenini kestiği noktayı temsil eder.
Verilen eğim: \( m = 3 \)
Verilen y-keseni: \( c = -2 \)
Bu değerleri genel denklemde yerine koyarsak:
\( y = 3x + (-2) \)
Sadeleştirilmiş hali: \( y = 3x - 2 \)
✅ Dolayısıyla, eğimi 3 ve y-keseni -2 olan doğrusal fonksiyonun denklemi \( y = 3x - 2 \) olur.
5
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Grafiği \( (1, 5) \) ve \( (3, 11) \) noktalarından geçen doğrusal fonksiyonun denklemini bulunuz.
👉 Önce eğimi hesaplamalıyız.
Çözüm ve Açıklama
Bir doğrunun eğimi, üzerindeki iki nokta \( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) verildiğinde şu formülle hesaplanır: \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \).
Verilen noktalar: \( (x_1, y_1) = (1, 5) \) ve \( (x_2, y_2) = (3, 11) \)
Eğimi \( m = 3 \) olarak bulduk. Şimdi genel denklemimiz \( y = mx + c \) formunu kullanarak y-kesenini \( c \) bulabiliriz. Bunun için verilen noktalardan birini (örneğin \( (1, 5) \)) denklemde yerine koyalım:
\( 5 = 3 \times 1 + c \)
\( 5 = 3 + c \)
\( c = 5 - 3 \)
\( c = 2 \)
✅ Eğim \( m = 3 \) ve y-keseni \( c = 2 \) olduğuna göre, doğrusal fonksiyonun denklemi \( y = 3x + 2 \) olur.
6
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir taksi, başlangıçta 10 TL açılış ücreti almaktadır. Kilometre başına ise 4 TL ek ücretlendirme yapmaktadır. Bu taksinin gideceği mesafeye göre ödeyeceği toplam ücreti gösteren doğrusal fonksiyonu ve bu fonksiyonun grafiğini yorumlayınız.
💡 Ücretlendirme yapısını bir fonksiyona dönüştürelim.
Çözüm ve Açıklama
Bu durumda, toplam ücret (y) gidilen kilometre (x) cinsinden doğrusal bir fonksiyonla ifade edilebilir.
Açılış ücreti: Bu, \( x = 0 \) iken alınan sabit ücrettir, yani y-kesenidir (\( c \)). Bu nedenle \( c = 10 \) TL'dir.
Kilometre başına ücret: Bu, her kilometre başına eklenen miktardır, yani doğrunun eğimidir (\( m \)). Bu nedenle \( m = 4 \) TL/km'dir.
Doğrusal fonksiyonun genel denklemi \( y = mx + c \) olduğundan, bu taksinin ücretlendirmesini gösteren fonksiyon:
\( y = 4x + 10 \)
Grafik Yorumu:
Grafik, y-eksenini 10 noktasında keser. Bu, taksimetre ilk açıldığında (0 km) 10 TL ödeneceği anlamına gelir.
Grafiğin eğimi 4'tür. Bu, her 1 kilometre gidildiğinde toplam ücrete 4 TL ekleneceği anlamına gelir.
Grafik, sağa doğru yükselen bir doğrudur, bu da gidilen mesafe arttıkça ödenecek ücretin de arttığını gösterir.
✅ Bu fonksiyon, taksi ücretlerinin mesafeye göre nasıl arttığını net bir şekilde göstermektedir.
7
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir su deposunda başlangıçta 50 litre su bulunmaktadır. Her dakika 5 litre su eklenmektedir. Depodaki su miktarını gösteren doğrusal fonksiyonu ve bu fonksiyonun grafiğini açıklayınız.
👉 Su eklenme hızını bir fonksiyona dökelim.
Çözüm ve Açıklama
Depodaki toplam su miktarı (y), geçen zaman (x) cinsinden doğrusal bir fonksiyonla ifade edilebilir.
Başlangıçtaki su miktarı: Bu, \( x = 0 \) (yani 0 dakika) iken depoda bulunan su miktarıdır. Bu, y-kesenidir (\( c \)). Bu nedenle \( c = 50 \) litredir.
Dakikada eklenen su miktarı: Bu, her dakika depoya eklenen su miktarıdır, yani doğrunun eğimidir (\( m \)). Bu nedenle \( m = 5 \) litre/dakika'dır.
Doğrusal fonksiyonun genel denklemi \( y = mx + c \) olduğundan, depodaki su miktarını gösteren fonksiyon:
\( y = 5x + 50 \)
Grafik Yorumu:
Grafik, y-eksenini 50 noktasında keser. Bu, başlangıçta depoda 50 litre su olduğunu gösterir.
Grafiğin eğimi 5'tir. Bu, her dakika depoya 5 litre su eklendiği anlamına gelir.
Grafik, sağa doğru yükselen bir doğrudur. Bu da zaman geçtikçe depodaki su miktarının arttığını gösterir.
✅ Bu fonksiyon, su ekleme işleminin zamanla depodaki su miktarını nasıl artırdığını görselleştirmemizi sağlar.
8
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
\( f(x) = ax + b \) doğrusal fonksiyonunun grafiği \( (2, 8) \) noktasından geçmekte ve eğimi -1'dir. Buna göre \( a \) ve \( b \) değerlerini bulunuz.
💡 Eğimin ne anlama geldiğini ve noktanın fonksiyonu sağladığını hatırlayalım.
Çözüm ve Açıklama
Doğrusal fonksiyonun genel denklemi \( f(x) = ax + b \) şeklindedir. Burada \( a \) doğrunun eğimidir ve \( b \) y-kesenidir.
Eğim: Fonksiyonun eğimi \( a \) olarak verilmiştir. Soruda eğimin -1 olduğu belirtilmiştir.
Dolayısıyla, \( a = -1 \)
Şimdi fonksiyonumuz \( f(x) = -1x + b \) veya \( f(x) = -x + b \) haline geldi. Fonksiyonun \( (2, 8) \) noktasından geçtiği bilgisi, bu noktanın fonksiyonu sağlaması anlamına gelir. Yani \( x=2 \) iken \( f(x) = 8 \) olmalıdır.
\( f(2) = 8 \)
\( -2 + b = 8 \)
\( b = 8 + 2 \)
\( b = 10 \)
✅ Böylece, \( a = -1 \) ve \( b = 10 \) değerlerini bulmuş olduk. Fonksiyonun tam denklemi \( f(x) = -x + 10 \) olur.
9. Sınıf Matematik: Doğrusal Fonksiyonlarin Grafikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Analitik düzlemde grafiği çizilen bir doğrusal fonksiyon için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
Fonksiyonun denklemi \( y = mx + c \) şeklindedir.
Grafik her zaman bir doğrudur.
Eğim (m) ve y-keseni (c) fonksiyonun davranışını belirler.
👉 Doğrusal fonksiyonun temel özelliklerini düşünelim.
Çözüm:
Bir fonksiyonun doğrusal fonksiyon olabilmesi için grafiğinin analitik düzlemde bir doğru olması gerekir. Bu tür fonksiyonların genel denklemi \( y = mx + c \) şeklindedir. Burada \( m \) doğrunun eğimini, \( c \) ise y-eksenini kestiği noktayı ifade eder. Eğim, doğrunun x'teki değişimine karşılık y'deki değişim oranını gösterir. y-keseni ise \( x = 0 \) iken \( y \) değeridir.
Doğru: Doğrusal fonksiyonların grafikleri her zaman düz bir çizgidir.
Denklem: Genel denklemleri \( y = mx + c \) formundadır.
Eğim ve y-keseni: \( m \) ve \( c \) değerleri, doğrunun yönünü, dikliğini ve hangi noktadan geçtiğini belirler.
✅ Bu nedenle, doğrusal fonksiyonların grafiğinin her zaman bir doğru olması ve denkleminin \( y = mx + c \) şeklinde olması doğrudur.
Örnek 2:
Grafiği verilen \( f(x) = 2x + 4 \) doğrusal fonksiyonunun y-eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir?
💡 Y-eksenini kesme ne anlama gelir?
Çözüm:
Bir fonksiyonun y-eksenini kestiği nokta, grafiğin y-ekseni ile kesiştiği noktadır. Bu noktada x-koordinatı her zaman sıfırdır. Dolayısıyla, y-eksenini kestiği noktayı bulmak için fonksiyonda \( x = 0 \) değerini yerine koyarız.
Fonksiyonumuz: \( f(x) = 2x + 4 \)
\( x = 0 \) için: \( f(0) = 2 \times 0 + 4 \)
Hesaplama: \( f(0) = 0 + 4 \)
Sonuç: \( f(0) = 4 \)
✅ Bu durumda, fonksiyonun y-eksenini kestiği nokta \( (0, 4) \) noktasıdır.
Bir fonksiyonun x-eksenini kestiği nokta, grafiğin x-ekseni ile kesiştiği noktadır. Bu noktada y-koordinatı (yani \( g(x) \) değeri) her zaman sıfırdır. Dolayısıyla, x-eksenini kestiği noktayı bulmak için \( g(x) = 0 \) denklemini çözeriz.
✅ Bu durumda, fonksiyonun x-eksenini kestiği nokta \( (2, 0) \) noktasıdır.
Örnek 4:
Eğimi 3 ve y-keseni -2 olan doğrusal fonksiyonun denklemini yazınız.
💡 Doğrusal fonksiyonun genel denklemini hatırlayalım.
Çözüm:
Doğrusal fonksiyonların genel denklemi \( y = mx + c \) şeklindedir. Burada \( m \) doğrunun eğimini, \( c \) ise y-eksenini kestiği noktayı temsil eder.
Verilen eğim: \( m = 3 \)
Verilen y-keseni: \( c = -2 \)
Bu değerleri genel denklemde yerine koyarsak:
\( y = 3x + (-2) \)
Sadeleştirilmiş hali: \( y = 3x - 2 \)
✅ Dolayısıyla, eğimi 3 ve y-keseni -2 olan doğrusal fonksiyonun denklemi \( y = 3x - 2 \) olur.
Örnek 5:
Grafiği \( (1, 5) \) ve \( (3, 11) \) noktalarından geçen doğrusal fonksiyonun denklemini bulunuz.
👉 Önce eğimi hesaplamalıyız.
Çözüm:
Bir doğrunun eğimi, üzerindeki iki nokta \( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) verildiğinde şu formülle hesaplanır: \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \).
Verilen noktalar: \( (x_1, y_1) = (1, 5) \) ve \( (x_2, y_2) = (3, 11) \)
Eğimi \( m = 3 \) olarak bulduk. Şimdi genel denklemimiz \( y = mx + c \) formunu kullanarak y-kesenini \( c \) bulabiliriz. Bunun için verilen noktalardan birini (örneğin \( (1, 5) \)) denklemde yerine koyalım:
\( 5 = 3 \times 1 + c \)
\( 5 = 3 + c \)
\( c = 5 - 3 \)
\( c = 2 \)
✅ Eğim \( m = 3 \) ve y-keseni \( c = 2 \) olduğuna göre, doğrusal fonksiyonun denklemi \( y = 3x + 2 \) olur.
Örnek 6:
Bir taksi, başlangıçta 10 TL açılış ücreti almaktadır. Kilometre başına ise 4 TL ek ücretlendirme yapmaktadır. Bu taksinin gideceği mesafeye göre ödeyeceği toplam ücreti gösteren doğrusal fonksiyonu ve bu fonksiyonun grafiğini yorumlayınız.
💡 Ücretlendirme yapısını bir fonksiyona dönüştürelim.
Çözüm:
Bu durumda, toplam ücret (y) gidilen kilometre (x) cinsinden doğrusal bir fonksiyonla ifade edilebilir.
Açılış ücreti: Bu, \( x = 0 \) iken alınan sabit ücrettir, yani y-kesenidir (\( c \)). Bu nedenle \( c = 10 \) TL'dir.
Kilometre başına ücret: Bu, her kilometre başına eklenen miktardır, yani doğrunun eğimidir (\( m \)). Bu nedenle \( m = 4 \) TL/km'dir.
Doğrusal fonksiyonun genel denklemi \( y = mx + c \) olduğundan, bu taksinin ücretlendirmesini gösteren fonksiyon:
\( y = 4x + 10 \)
Grafik Yorumu:
Grafik, y-eksenini 10 noktasında keser. Bu, taksimetre ilk açıldığında (0 km) 10 TL ödeneceği anlamına gelir.
Grafiğin eğimi 4'tür. Bu, her 1 kilometre gidildiğinde toplam ücrete 4 TL ekleneceği anlamına gelir.
Grafik, sağa doğru yükselen bir doğrudur, bu da gidilen mesafe arttıkça ödenecek ücretin de arttığını gösterir.
✅ Bu fonksiyon, taksi ücretlerinin mesafeye göre nasıl arttığını net bir şekilde göstermektedir.
Örnek 7:
Bir su deposunda başlangıçta 50 litre su bulunmaktadır. Her dakika 5 litre su eklenmektedir. Depodaki su miktarını gösteren doğrusal fonksiyonu ve bu fonksiyonun grafiğini açıklayınız.
👉 Su eklenme hızını bir fonksiyona dökelim.
Çözüm:
Depodaki toplam su miktarı (y), geçen zaman (x) cinsinden doğrusal bir fonksiyonla ifade edilebilir.
Başlangıçtaki su miktarı: Bu, \( x = 0 \) (yani 0 dakika) iken depoda bulunan su miktarıdır. Bu, y-kesenidir (\( c \)). Bu nedenle \( c = 50 \) litredir.
Dakikada eklenen su miktarı: Bu, her dakika depoya eklenen su miktarıdır, yani doğrunun eğimidir (\( m \)). Bu nedenle \( m = 5 \) litre/dakika'dır.
Doğrusal fonksiyonun genel denklemi \( y = mx + c \) olduğundan, depodaki su miktarını gösteren fonksiyon:
\( y = 5x + 50 \)
Grafik Yorumu:
Grafik, y-eksenini 50 noktasında keser. Bu, başlangıçta depoda 50 litre su olduğunu gösterir.
Grafiğin eğimi 5'tir. Bu, her dakika depoya 5 litre su eklendiği anlamına gelir.
Grafik, sağa doğru yükselen bir doğrudur. Bu da zaman geçtikçe depodaki su miktarının arttığını gösterir.
✅ Bu fonksiyon, su ekleme işleminin zamanla depodaki su miktarını nasıl artırdığını görselleştirmemizi sağlar.
Örnek 8:
\( f(x) = ax + b \) doğrusal fonksiyonunun grafiği \( (2, 8) \) noktasından geçmekte ve eğimi -1'dir. Buna göre \( a \) ve \( b \) değerlerini bulunuz.
💡 Eğimin ne anlama geldiğini ve noktanın fonksiyonu sağladığını hatırlayalım.
Çözüm:
Doğrusal fonksiyonun genel denklemi \( f(x) = ax + b \) şeklindedir. Burada \( a \) doğrunun eğimidir ve \( b \) y-kesenidir.
Eğim: Fonksiyonun eğimi \( a \) olarak verilmiştir. Soruda eğimin -1 olduğu belirtilmiştir.
Dolayısıyla, \( a = -1 \)
Şimdi fonksiyonumuz \( f(x) = -1x + b \) veya \( f(x) = -x + b \) haline geldi. Fonksiyonun \( (2, 8) \) noktasından geçtiği bilgisi, bu noktanın fonksiyonu sağlaması anlamına gelir. Yani \( x=2 \) iken \( f(x) = 8 \) olmalıdır.
\( f(2) = 8 \)
\( -2 + b = 8 \)
\( b = 8 + 2 \)
\( b = 10 \)
✅ Böylece, \( a = -1 \) ve \( b = 10 \) değerlerini bulmuş olduk. Fonksiyonun tam denklemi \( f(x) = -x + 10 \) olur.