🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Doğrusal Fonksiyonlarda Nitel Ve Nicel Özellikler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Doğrusal Fonksiyonlarda Nitel Ve Nicel Özellikler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir doğrusal fonksiyonun denklemi \( y = 3x - 5 \) olarak verilmiştir. 📈
Bu fonksiyonun eğimini ve y-eksenini kestiği noktayı nitel ve nicel olarak belirleyiniz.
Bu fonksiyonun eğimini ve y-eksenini kestiği noktayı nitel ve nicel olarak belirleyiniz.
Çözüm:
Bu soruda, verilen doğrusal fonksiyonun temel özelliklerini inceleyeceğiz. ✅
- Eğim (Nitel ve Nicel):
- Bir doğrusal fonksiyon \( y = mx + n \) şeklinde verildiğinde, \( m \) değeri fonksiyonun eğimini gösterir.
- Verilen denklemde \( y = 3x - 5 \) olduğu için, \( m = 3 \)'tür.
- Nicel özellik: Eğim \( 3 \)'tür.
- Nitel özellik: Eğim pozitif olduğu için, fonksiyonun grafiği sağa yatık ve artandır. Yani \( x \) değeri arttıkça \( y \) değeri de artar. 👉
- Y-eksenini Kestiği Nokta (Nitel ve Nicel):
- Bir doğrusal fonksiyon \( y = mx + n \) şeklinde verildiğinde, \( n \) değeri fonksiyonun y-eksenini kestiği noktanın y koordinatını gösterir (x koordinatı her zaman 0'dır).
- Verilen denklemde \( y = 3x - 5 \) olduğu için, \( n = -5 \)'tir.
- Nicel özellik: Y-eksenini kestiği nokta \( (0, -5) \)'tir.
- Nitel özellik: Fonksiyonun grafiği, y-eksenini negatif tarafta, başlangıç noktasının (orijin) altında keser. 📌
Örnek 2:
Aşağıda verilen doğrusal fonksiyon grafiklerinden hangisinin eğimi pozitif, hangisinin negatif, hangisinin sıfır olduğunu nitel olarak açıklayınız. 📊
a) \( y = 2x + 1 \)
b) \( y = -x + 4 \)
c) \( y = 3 \)
Çözüm:
Doğrusal fonksiyonların eğimini nitel olarak yorumlamak, grafiğin yönünü ve davranışını anlamamızı sağlar. 💡
- a) \( y = 2x + 1 \) fonksiyonu:
- Bu fonksiyonun eğimi \( m = 2 \)'dir.
- Nitel özellik: Eğim pozitif (\( m > 0 \)) olduğu için, grafiği sağa yatıktır ve \( x \) değerleri arttıkça \( y \) değerleri de artar. Yani bu fonksiyon artandır. 📈
- b) \( y = -x + 4 \) fonksiyonu:
- Bu fonksiyonun eğimi \( m = -1 \)'dir.
- Nitel özellik: Eğim negatif (\( m < 0 \)) olduğu için, grafiği sola yatıktır ve \( x \) değerleri arttıkça \( y \) değerleri azalır. Yani bu fonksiyon azalandır. 📉
- c) \( y = 3 \) fonksiyonu:
- Bu fonksiyonun eğimi \( m = 0 \)'dır, çünkü \( y = 0x + 3 \) şeklinde yazılabilir.
- Nitel özellik: Eğim sıfır (\( m = 0 \)) olduğu için, grafiği x-eksenine paralel bir doğrudur. Bu fonksiyon sabittir; \( x \) değeri ne olursa olsun \( y \) değeri her zaman \( 3 \)'tür. ↔️
Örnek 3:
\( A(2, 7) \) ve \( B(5, 13) \) noktalarından geçen doğrusal fonksiyonun eğimini nicel olarak hesaplayınız.
Çözüm:
İki noktası bilinen bir doğrunun eğimini bulmak için belirli bir formülü kullanırız. 📝
- Verilen noktalar \( A(x_1, y_1) = (2, 7) \) ve \( B(x_2, y_2) = (5, 13) \)'tür.
- Doğrunun eğimi \( m \), \( y \) değerlerindeki değişimin \( x \) değerlerindeki değişime oranıyla bulunur: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
- Şimdi verilen değerleri formülde yerine koyalım: \[ m = \frac{13 - 7}{5 - 2} \]
- Hesaplamayı yapalım: \[ m = \frac{6}{3} \] \[ m = 2 \]
- Nicel özellik: Bu doğrusal fonksiyonun eğimi \( 2 \)'dir. Bu, her bir birimlik \( x \) artışı için \( y \) değerinin \( 2 \) birim arttığı anlamına gelir. ✅
Örnek 4:
Eğimi \( m = -3 \) olan ve \( C(1, 5) \) noktasından geçen doğrusal fonksiyonun denklemini nicel olarak yazınız.
Çözüm:
Eğimi ve bir noktası bilinen bir doğrunun denklemini bulmak için farklı yöntemler kullanabiliriz. ✍️
- 1. Yöntem: \( y = mx + n \) formülünü kullanma
- Doğrunun denklemi genel olarak \( y = mx + n \) şeklindedir.
- Eğim \( m = -3 \) olarak verildiği için denklemi \( y = -3x + n \) şeklinde yazabiliriz.
- Doğru \( C(1, 5) \) noktasından geçtiği için, bu noktanın koordinatları denklemi sağlamalıdır. Yani \( x = 1 \) iken \( y = 5 \) olmalıdır.
- Denklemde yerine koyalım: \[ 5 = -3(1) + n \] \[ 5 = -3 + n \]
- \( n \) değerini bulmak için \( -3 \)'ü eşitliğin diğer tarafına atalım: \[ n = 5 + 3 \] \[ n = 8 \]
- Buna göre, doğrusal fonksiyonun denklemi: \[ y = -3x + 8 \]
- 2. Yöntem: \( y - y_1 = m(x - x_1) \) formülünü kullanma
- Bu formül, eğimi \( m \) olan ve \( (x_1, y_1) \) noktasından geçen doğrunun denklemini doğrudan verir.
- Verilenler: \( m = -3 \), \( (x_1, y_1) = (1, 5) \).
- Formülde yerine koyalım: \[ y - 5 = -3(x - 1) \]
- Denklemi düzenleyelim: \[ y - 5 = -3x + 3 \]
- \( -5 \)'i eşitliğin diğer tarafına atalım: \[ y = -3x + 3 + 5 \] \[ y = -3x + 8 \]
- Her iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık. Nicel özellik: Doğrusal fonksiyonun denklemi \( y = -3x + 8 \)'dir. ✅
Örnek 5:
Bir akaryakıt istasyonunda bir aracın deposuna doldurulan yakıt miktarı (litre) ile ödenen tutar (TL) arasındaki ilişki doğrusal bir fonksiyonla gösterilmektedir. ⛽️
Depoya 10 litre yakıt doldurulduğunda 45 TL, 25 litre yakıt doldurulduğunda ise 105 TL ödenmektedir.
Buna göre,
Depoya 10 litre yakıt doldurulduğunda 45 TL, 25 litre yakıt doldurulduğunda ise 105 TL ödenmektedir.
Buna göre,
- 1 litre yakıtın fiyatını (birim fiyat) nicel olarak bulunuz.
- Depoya hiç yakıt doldurulmasa bile ödenmesi gereken bir "hizmet bedeli" olup olmadığını nitel ve nicel olarak açıklayınız.
Çözüm:
Bu problem, günlük hayatta karşılaştığımız doğrusal ilişkileri anlamamızı sağlar. Litre sayısını \( x \), ödenen tutarı \( y \) ile gösterelim.
- 1. 1 litre yakıtın fiyatını bulma:
- İki nokta belirleyebiliriz: \( (x_1, y_1) = (10, 45) \) ve \( (x_2, y_2) = (25, 105) \).
- 1 litre yakıtın fiyatı, doğrusal fonksiyonun eğimi olacaktır. Eğim formülünü kullanalım: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] \[ m = \frac{105 - 45}{25 - 10} \] \[ m = \frac{60}{15} \] \[ m = 4 \]
- Nicel özellik: 1 litre yakıtın fiyatı 4 TL'dir. ✅
- 2. Hizmet bedeli olup olmadığını açıklama:
- Hizmet bedeli, yakıt miktarı sıfır olduğunda (yani \( x = 0 \) iken) ödenmesi gereken tutar anlamına gelir. Bu da doğrusal fonksiyonun y-eksenini kestiği noktadır (\( n \) değeri).
- Doğrunun denklemi \( y = mx + n \) şeklindedir. Eğim \( m = 4 \) olduğu için denklem \( y = 4x + n \) olur.
- Noktalardan birini (örneğin \( (10, 45) \)) kullanarak \( n \) değerini bulalım: \[ 45 = 4(10) + n \] \[ 45 = 40 + n \] \[ n = 45 - 40 \] \[ n = 5 \]
- Nicel özellik: \( n = 5 \) olduğu için, depoya hiç yakıt doldurulmasa bile ödenmesi gereken bir 5 TL hizmet bedeli vardır.
- Nitel özellik: Fonksiyonun y-eksenini pozitif tarafta kesmesi, \( x=0 \) iken \( y \) değerinin sıfırdan farklı ve pozitif olduğunu gösterir. Bu da bir başlangıç veya hizmet bedeli olduğunu niteler. 📌
Örnek 6:
Bir takside taksimetre açılış ücreti 15 TL'dir ve her kilometre için 8 TL ek ücret alınmaktadır. 🚕
Yolculuk mesafesini (\( x \), kilometre cinsinden) ve toplam ücreti (\( y \), TL cinsinden) temsil eden doğrusal fonksiyonun denklemini yazınız ve bu fonksiyonun y-eksenini kestiği noktanın günlük hayattaki karşılığını nitel olarak açıklayınız.
Yolculuk mesafesini (\( x \), kilometre cinsinden) ve toplam ücreti (\( y \), TL cinsinden) temsil eden doğrusal fonksiyonun denklemini yazınız ve bu fonksiyonun y-eksenini kestiği noktanın günlük hayattaki karşılığını nitel olarak açıklayınız.
Çözüm:
Bu senaryo, doğrusal fonksiyonların günlük hayattaki en yaygın kullanımlarından biridir. 🛣️
- Doğrusal fonksiyonun denklemini yazma:
- Sabit bir açılış ücreti (15 TL) var. Bu, \( x = 0 \) olduğunda (\( 0 \) km yolculuk yapıldığında) ödenmesi gereken miktardır. Yani bu, y-eksenini kestiği nokta (\( n \)) olacaktır.
- Her kilometre için alınan ek ücret (8 TL), fonksiyonun eğimini (\( m \)) temsil eder, çünkü mesafe arttıkça ücret bu oranda artar.
- Buna göre, doğrusal fonksiyonun denklemi: \[ y = 8x + 15 \]
- Y-eksenini kestiği noktanın günlük hayattaki karşılığı (Nitel):
- Fonksiyonun y-eksenini kestiği nokta, \( x = 0 \) olduğunda \( y \) değeridir. Denklemde \( x = 0 \) koyarsak: \[ y = 8(0) + 15 \] \[ y = 15 \]
- Yani y-eksenini kestiği nokta \( (0, 15) \)'tir.
- Nitel özellik: Bu nokta, günlük hayatta taksimetre açılış ücretini temsil eder. Hiç yolculuk yapılmasa bile (yani mesafe \( 0 \) km olsa bile) ödenmesi gereken sabit ücrettir. 💰
Örnek 7:
\( y = -2x + 6 \) doğrusal fonksiyonunun x-eksenini kestiği noktayı nicel olarak bulunuz. Ayrıca, bu noktanın grafiğin hangi tarafında (pozitif/negatif) olduğunu nitel olarak belirtiniz.
Çözüm:
Bir doğrusal fonksiyonun x-eksenini kestiği noktayı bulmak için \( y \) değerini sıfıra eşitleriz. 👇
- Bir doğru x-eksenini kestiğinde, o noktanın \( y \) koordinatı her zaman \( 0 \) olur.
- Verilen denklem \( y = -2x + 6 \)'dır.
- \( y = 0 \) yaparak x-keseni bulalım: \[ 0 = -2x + 6 \]
- \( -2x \)'i eşitliğin diğer tarafına atalım: \[ 2x = 6 \]
- Her iki tarafı \( 2 \)'ye bölelim: \[ x = \frac{6}{2} \] \[ x = 3 \]
- Nicel özellik: X-eksenini kestiği nokta \( (3, 0) \)'dır.
- Nitel özellik: \( x \) değeri pozitif olduğu için, grafik x-eksenini pozitif tarafta, başlangıç noktasının (orijin) sağında keser. ➡️
Örnek 8:
Aşağıdaki doğrusal fonksiyonlardan hangisinin grafiği daha diktir (daha eğimlidir)? Nitel olarak açıklayınız. ⛰️
a) \( y = 4x - 1 \)
b) \( y = -5x + 2 \)
c) \( y = 2x + 7 \)
Çözüm:
Bir doğrusal fonksiyonun grafiğinin ne kadar dik olduğunu (eğimini) belirleyen, eğim değerinin mutlak değeridir. 📏
- a) \( y = 4x - 1 \) fonksiyonu:
- Eğimi \( m_a = 4 \)'tür. Mutlak değeri \( |4| = 4 \).
- b) \( y = -5x + 2 \) fonksiyonu:
- Eğimi \( m_b = -5 \)'tir. Mutlak değeri \( |-5| = 5 \).
- c) \( y = 2x + 7 \) fonksiyonu:
- Eğimi \( m_c = 2 \)'dir. Mutlak değeri \( |2| = 2 \).
- Nitel açıklama:
- Eğim değerlerinin mutlak değerlerini karşılaştıralım: \( |4| \), \( |-5| \), \( |2| \). Yani \( 4 \), \( 5 \), \( 2 \).
- Bu değerler arasında en büyük olan \( 5 \)'tir.
- Dolayısıyla, eğiminin mutlak değeri en büyük olan \( y = -5x + 2 \) fonksiyonunun grafiği en diktir. Negatif eğim sadece yönü belirtir, dikliği etkilemez. 🏞️
Örnek 9:
Bir telefon uygulaması, ilk 50 MB veri kullanımı için sabit bir ücret almaktadır. Sonraki her MB veri kullanımı için farklı bir ücretlendirme yapmaktadır. 📲
Aylık 100 MB veri kullanan bir kişi 35 TL öderken, 150 MB veri kullanan bir kişi 55 TL ödemektedir.
İlk 50 MB'lık sabit ücreti ve 50 MB sonrası her MB için alınan ücreti nicel olarak bulunuz.
Aylık 100 MB veri kullanan bir kişi 35 TL öderken, 150 MB veri kullanan bir kişi 55 TL ödemektedir.
İlk 50 MB'lık sabit ücreti ve 50 MB sonrası her MB için alınan ücreti nicel olarak bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde, doğrusal fonksiyonun iki farklı aralıkta farklı eğimlere sahip olabileceği (parçalı fonksiyon) veya belirli bir noktadan sonraki değişimi incelememiz gerektiği vurgulanıyor. 🧐
- 50 MB sonrası her MB için alınan ücreti bulma:
- İlk 50 MB sabit ücretli olduğu için, 50 MB üzeri kullanımlar arasındaki farkı inceleyelim.
- 100 MB kullanan kişi (50 MB sabit + 50 MB ek) 35 TL öder.
- 150 MB kullanan kişi (50 MB sabit + 100 MB ek) 55 TL öder.
- Ek kullanımlar arasındaki fark: \( 100 \text{ MB} - 50 \text{ MB} = 50 \text{ MB} \).
- Ödenen ücret farkı: \( 55 \text{ TL} - 35 \text{ TL} = 20 \text{ TL} \).
- Bu durumda, 50 MB sonrası her MB için alınan ücret (eğim) şu şekilde bulunur: \[ \text{Eğim} = \frac{\text{Ücret farkı}}{\text{MB farkı}} = \frac{20 \text{ TL}}{50 \text{ MB}} = \frac{2}{5} \text{ TL/MB} = 0.4 \text{ TL/MB} \]
- Nicel özellik: 50 MB sonrası her MB için alınan ücret 0.4 TL'dir. ✅
- İlk 50 MB'lık sabit ücreti bulma:
- Şimdi, 50 MB sonrası kullanımın denklemini \( y = mx + n \) gibi düşünelim. Burada \( x \) 50 MB üzerindeki ek MB miktarını, \( y \) ise 50 MB üzerindeki ek ücreti temsil eder.
- Eğim \( m = 0.4 \) olarak bulundu.
- 100 MB kullanan bir kişi, 50 MB ek kullanmıştır. Bu ek kullanımın maliyeti: \( 50 \text{ MB} \times 0.4 \text{ TL/MB} = 20 \text{ TL} \).
- Toplam ödenen ücret 35 TL olduğuna göre, ilk 50 MB'lık sabit ücret: \[ \text{Sabit Ücret} = \text{Toplam Ücret} - \text{Ek Kullanım Ücreti} \] \[ \text{Sabit Ücret} = 35 \text{ TL} - 20 \text{ TL} = 15 \text{ TL} \]
- Nicel özellik: İlk 50 MB'lık sabit ücret 15 TL'dir. 💡
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-dogrusal-fonksiyonlarda-nitel-ve-nicel-ozellikler/sorular