🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Doğrusal Fonksiyonlarda Eşitsizlik ve Denklem Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Doğrusal Fonksiyonlarda Eşitsizlik ve Denklem Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir f(x) doğrusal fonksiyonu için \( f(x) = 3x - 5 \) olarak veriliyor. Buna göre \( f(4) \) değerini bulunuz. 💡
Çözüm:
- Verilen fonksiyon \( f(x) = 3x - 5 \) şeklindedir.
- Bizden \( f(4) \) değeri isteniyor. Bu, fonksiyonda \( x \) yerine \( 4 \) yazmamız gerektiği anlamına gelir.
- \( f(4) = 3 \times 4 - 5 \)
- \( f(4) = 12 - 5 \)
- \( f(4) = 7 \)
Örnek 2:
\( y = 2x + 1 \) denklemi ile verilen doğrusal fonksiyonun grafiği hangi noktadan geçer? 📌
Çözüm:
- Doğrusal bir fonksiyonun grafiğinin geçtiği noktalar, fonksiyonun denklemini sağlamalıdır.
- Denklemimiz \( y = 2x + 1 \) şeklindedir.
- Şimdi şıklarda verilen noktaları deneyerek denklemi sağlayıp sağlamadıklarını kontrol edebiliriz. Örneğin, \( (1, 3) \) noktasını deneyelim.
- \( x = 1 \) ve \( y = 3 \) için: \( 3 = 2 \times 1 + 1 \Rightarrow 3 = 2 + 1 \Rightarrow 3 = 3 \).
- Bu nokta denklemi sağladığı için, grafik \( (1, 3) \) noktasından geçer. 👉
Örnek 3:
\( f(x) = ax + b \) doğrusal fonksiyonunda \( f(1) = 5 \) ve \( f(3) = 11 \) olduğuna göre, \( a \) ve \( b \) değerlerini bulunuz. 🤔
Çözüm:
- Verilen bilgilerle iki denklem oluşturabiliriz:
- \( f(1) = 5 \Rightarrow a(1) + b = 5 \Rightarrow a + b = 5 \) (Denklem 1)
- \( f(3) = 11 \Rightarrow a(3) + b = 11 \Rightarrow 3a + b = 11 \) (Denklem 2)
- Şimdi bu iki denklemi ortak çözüm yöntemiyle çözelim. Denklem 2'den Denklem 1'i çıkaralım:
- \( (3a + b) - (a + b) = 11 - 5 \)
- \( 3a + b - a - b = 6 \)
- \( 2a = 6 \)
- \( a = 3 \)
- Bulduğumuz \( a \) değerini Denklem 1'de yerine koyalım:
- \( 3 + b = 5 \)
- \( b = 5 - 3 \)
- \( b = 2 \)
Örnek 4:
\( 2x - 4 \le 6 \) eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı değerini bulunuz. 🔢
Çözüm:
- Verilen eşitsizlik \( 2x - 4 \le 6 \) şeklindedir.
- Amacımız \( x \) değerini yalnız bırakmaktır.
- Önce eşitsizliğin her iki tarafına \( 4 \) ekleyelim:
- \( 2x - 4 + 4 \le 6 + 4 \)
- \( 2x \le 10 \)
- Şimdi eşitsizliğin her iki tarafını \( 2 \) ile bölelim (pozitif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirmez):
- \( \frac{2x}{2} \le \frac{10}{2} \)
- \( x \le 5 \)
- Bu eşitsizlik, \( x \) değerinin \( 5 \)e eşit veya \( 5 \)ten küçük tüm reel sayıları kapsadığını gösterir.
- Bizden en büyük tam sayı değeri isteniyor. \( 5 \)ten küçük veya eşit en büyük tam sayı \( 5 \)tir. 👉
Örnek 5:
Bir taksici, müşteriye kilometre başına 5 TL ve açılış ücreti olarak 10 TL almaktadır. Müşterinin ödeyeceği toplam ücreti gösteren doğrusal fonksiyonu \( f(x) \) ile ifade ediniz. Eğer müşteri 15 km yol giderse ne kadar öder? 🚕
Çözüm:
- Burada \( x \), gidilen mesafeyi (kilometre) temsil etsin.
- Kilometre başına alınan ücret 5 TL'dir, bu nedenle \( 5x \) terimini elde ederiz.
- Açılış ücreti sabit 10 TL'dir, bu nedenle \( + 10 \) terimini ekleriz.
- Toplam ücreti gösteren doğrusal fonksiyon: \( f(x) = 5x + 10 \)
- Şimdi müşteri 15 km yol giderse ödenecek ücreti bulalım. Yani \( f(15) \) değerini hesaplayacağız.
- \( f(15) = 5 \times 15 + 10 \)
- \( f(15) = 75 + 10 \)
- \( f(15) = 85 \)
Örnek 6:
Bir depoda başlangıçta 200 litre su bulunmaktadır. Depoya her dakika 15 litre su eklenmektedir. Depodaki su miktarını gösteren \( f(t) \) doğrusal fonksiyonunu \( t \) dakika sonraki su miktarına göre yazınız. Depodaki su miktarı kaç dakika sonra 500 litreye ulaşır? 💧
Çözüm:
- Burada \( t \), geçen süreyi (dakika) temsil etsin.
- Başlangıçtaki su miktarı 200 litredir.
- Her dakika 15 litre su eklendiği için, \( t \) dakika sonra eklenen su miktarı \( 15t \) olur.
- Depodaki toplam su miktarını gösteren doğrusal fonksiyon: \( f(t) = 15t + 200 \)
- Şimdi depodaki su miktarının 500 litreye ulaştığı zamanı bulalım. Yani \( f(t) = 500 \) olmasını istiyoruz.
- \( 15t + 200 = 500 \)
- Eşitsizliğin her iki tarafından \( 200 \) çıkaralım:
- \( 15t = 500 - 200 \)
- \( 15t = 300 \)
- Eşitsizliğin her iki tarafını \( 15 \)e bölelim:
- \( t = \frac{300}{15} \)
- \( t = 20 \)
Örnek 7:
Bir cep telefonu operatörü, aylık 50 TL sabit ücret ve her dakika konuşma için 0.50 TL ücret almaktadır. Bir kullanıcının bir aydaki toplam faturasını gösteren doğrusal fonksiyonu \( F(d) \) ile ifade ediniz. Eğer kullanıcı bir ayda 200 dakika konuşursa faturası ne kadar olur? 📱
Çözüm:
- Burada \( d \), kullanıcının bir aydaki toplam konuşma süresini (dakika) temsil etsin.
- Aylık sabit ücret 50 TL'dir.
- Her dakika konuşma için 0.50 TL alındığı için, \( d \) dakika konuşma için \( 0.50 \times d \) ücret alınır.
- Toplam fatura miktarını gösteren doğrusal fonksiyon: \( F(d) = 0.50d + 50 \)
- Şimdi kullanıcı bir ayda 200 dakika konuşursa faturasını hesaplayalım. Yani \( F(200) \) değerini bulacağız.
- \( F(200) = 0.50 \times 200 + 50 \)
- \( F(200) = 100 + 50 \)
- \( F(200) = 150 \)
Örnek 8:
\( f(x) = 2x + k \) doğrusal fonksiyonu veriliyor. \( f(x) < 7 \) eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı \( x \) değeri 2 olduğuna göre, \( k \) değerini bulunuz. 🧐
Çözüm:
- Verilen eşitsizlik \( f(x) < 7 \) şeklindedir.
- \( f(x) \) yerine \( 2x + k \) yazalım: \( 2x + k < 7 \)
- Eşitsizliği \( x \) için çözersek: \( 2x < 7 - k \Rightarrow x < \frac{7 - k}{2} \)
- Eşitsizliği sağlayan en büyük tam sayı \( x \) değerinin 2 olduğu bilgisi verilmiş.
- Bu şu anlama gelir:
- \( x = 2 \) eşitsizliği sağlamalıdır.
- \( x = 3 \) eşitsizliği sağlamamalıdır.
- \( x = 2 \) eşitsizliği sağladığına göre: \( 2 < \frac{7 - k}{2} \). Bu \( 4 < 7 - k \) demektir. Buradan \( k < 3 \) elde ederiz.
- \( x = 3 \) eşitsizliği sağlamadığına göre: \( 3 \ge \frac{7 - k}{2} \). Bu \( 6 \ge 7 - k \) demektir. Buradan \( k \ge 1 \) elde ederiz.
- Her iki koşulu da sağlayan \( k \) değeri için \( 1 \le k < 3 \) olmalıdır.
- Bu aralıktaki tam sayılar sadece \( k = 1 \) ve \( k = 2 \)dir.
- Eğer \( k = 1 \) ise, \( x < \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \). En büyük tam sayı 2 olur. (Uygun)
- Eğer \( k = 2 \) ise, \( x < \frac{7 - 2}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \). En büyük tam sayı 2 olur. (Uygun)
- Soruda tek bir \( k \) değeri sorulduğu için, genellikle bu tür sorularda tam sayı olmayan bir sınır elde edilir. Eğer \( k=1 \) alırsak \( x < 3 \) olur ve en büyük tam sayı 2 olur. Eğer \( k=2 \) alırsak \( x < 2.5 \) olur ve en büyük tam sayı 2 olur. Sorunun tek bir cevabı olması için \( k \)nın tam sayı olması gerekmez.
- Ancak, genellikle bu tür sorularda \( \frac{7-k}{2} \) ifadesinin tam sayı olmaması istenir ki en büyük tam sayı değeri net olarak belirlensin. Eğer \( \frac{7-k}{2} = 3 \) olsaydı, \( x < 3 \) olurdu ve en büyük tam sayı 2 olurdu. Bu durumda \( 7-k = 6 \Rightarrow k = 1 \) olurdu.
- Eğer \( \frac{7-k}{2} = 2.5 \) olsaydı, \( x < 2.5 \) olurdu ve en büyük tam sayı 2 olurdu. Bu durumda \( 7-k = 5 \Rightarrow k = 2 \) olurdu.
- Soruda verilen "en büyük tam sayı x değeri 2'dir" ifadesi, \( x < \frac{7-k}{2} \) eşitsizliğinin \( 2 \le x < 3 \) aralığını kapsadığını gösterir.
- Bu durumda \( 2 < \frac{7-k}{2} \le 3 \) olmalıdır.
- \( 4 < 7-k \le 6 \)
- Her taraftan 7 çıkaralım: \( 4-7 < -k \le 6-7 \Rightarrow -3 < -k \le -1 \)
- Her tarafı -1 ile çarpıp eşitsizlik yönlerini değiştirelim: \( 3 > k \ge 1 \)
- Yani \( 1 \le k < 3 \). Bu aralıktaki tam sayılar 1 ve 2'dir.
- Eğer \( k=1 \) ise \( x < 3 \), en büyük tam sayı 2.
- Eğer \( k=2 \) ise \( x < 2.5 \), en büyük tam sayı 2.
- Sorunun tek bir cevap vermesi için, \( k \)nın tam sayı olduğu varsayılırsa, \( k=1 \) veya \( k=2 \) olabilir. Ancak genellikle bu tür sorularda \( \frac{7-k}{2} \) ifadesinin tam sayı olmaması tercih edilir. Eğer \( k=1 \) ise \( x < 3 \) olur ve en büyük tam sayı 2 olur.
- Eğer \( k=2 \) ise \( x < 2.5 \) olur ve en büyük tam sayı 2 olur.
- Soruda tek bir \( k \) değeri istendiği için, genellikle \( \frac{7-k}{2} \) ifadesinin tam sayı olmaması tercih edilir. Bu durumda \( k=2 \) seçeneği daha olasıdır.
- Eğer \( k=2 \) ise \( x < \frac{7-2}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \). Bu durumda \( x \) için en büyük tam sayı değeri 2 olur. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-dogrusal-fonksiyonlarda-esitsizlik-ve-denklem/sorular