💡 9. Sınıf Matematik: Doğrusal fonksiyonlarda eğim Çözümlü Örnekler

Öncelikle noktalarımızın koordinatlarını belirleyelim:

• \( x_1 = 2 \), \( y_1 = 3 \)
• \( x_2 = 5 \), \( y_2 = 9 \)

Şimdi bu değerleri eğim formülünde yerine koyalım: \[ m = \frac{9 - 3}{5 - 2} \] Hesaplamayı yapalım: \[ m = \frac{6}{3} \] \[ m = 2 \] Sonuç olarak, \( A(2, 3) \) ve \( B(5, 9) \) noktalarından geçen doğrunun eğimi 2'dir. 💡

Noktalarımızın koordinatları:

• \( x_1 = -1 \), \( y_1 = 4 \)
• \( x_2 = 3 \), \( y_2 = 4 \)

Eğim formülünü uygulayalım: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] \[ m = \frac{4 - 4}{3 - (-1)} \] \[ m = \frac{0}{3 + 1} \] \[ m = \frac{0}{4} \] \[ m = 0 \] Eğimin 0 olması, doğrunun x eksenine paralel olduğunu gösterir. ✅

Noktalarımızın koordinatları:

• \( x_1 = 2 \), \( y_1 = 1 \)
• \( x_2 = 2 \), \( y_2 = 7 \)

Eğim formülünü kullanalım: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] \[ m = \frac{7 - 1}{2 - 2} \] \[ m = \frac{6}{0} \] Paydanın 0 olması nedeniyle eğim tanımsızdır. Bu durum, doğrunun y eksenine paralel olduğunu belirtir. 📌

Verilen doğrunun eğimi \( m_1 = 3 \). Dik doğruların eğimleri çarpımının -1 olduğunu biliyoruz: \( m_1 \cdot m_2 = -1 \). Dik olan doğrunun eğimini \( m_2 \) ile gösterelim. Formülde yerine koyalım: \[ 3 \cdot m_2 = -1 \] Her iki tarafı 3'e bölelim: \[ m_2 = \frac{-1}{3} \] Bu nedenle, \( A(1, 2) \) noktasından geçen ve eğimi 3 olan doğruya dik olan doğrunun eğimi -1/3'tür. 👉

Bir doğrunun denklemi \( y = mx + n \) şeklinde verildiğinde, m katsayısı doğrunun eğimini temsil eder. Verilen denklem: \( y = 5x - 7 \). Bu denklemde, x'in katsayısı 5'tir. Dolayısıyla, bu doğrunun eğimi 5'tir. 💡

Doğrunun eğimini bulmak için denklemi \( y = mx + n \) formuna getirmemiz gerekir. Verilen denklem: \( 2x + 3y - 6 = 0 \). Önce \( 3y \) terimini yalnız bırakalım: \[ 3y = -2x + 6 \] Şimdi her iki tarafı 3'e bölelim: \[ y = \frac{-2x + 6}{3} \] \[ y = \frac{-2}{3}x + \frac{6}{3} \] \[ y = \frac{-2}{3}x + 2 \] Bu denklem \( y = mx + n \) formundadır. Buradaki m değeri doğrunun eğimidir. Dolayısıyla, doğrunun eğimi -2/3'tür. ✅

Bu problemi bir doğrusal fonksiyon ile modelleyebiliriz. Fonksiyonumuzda:

• Bağımsız değişken (x): Gidilen mesafe (km).
• Bağımlı değişken (y): Depodaki kalan yakıt miktarı (litre).

Başlangıçta depoda 50 litre yakıt olduğuna göre, gidilen mesafe 0 km iken yakıt miktarı 50 litredir. Bu, fonksiyonumuzun başlangıç değeridir (n). Yani, \( n = 50 \). Araç her 100 km'de 8 litre yakıt tüketiyor. Bu, yakıt miktarının gidilen mesafeye göre değişim oranıdır. Bu oran, doğrusal fonksiyonumuzun eğimini (m) verir. Eğim, tüketilen yakıt miktarının gidilen mesafeye oranıdır. \[ m = \frac{\text{Tüketilen Yakıt}}{\text{Gidilen Mesafe}} \] Ancak burada dikkat etmemiz gereken nokta, yakıtın azaldığıdır. Bu nedenle eğim negatif olacaktır. Her 100 km için 8 litre tüketim olduğuna göre, 1 km başına tüketim: \[ \frac{8 \text{ litre}}{100 \text{ km}} = 0.08 \text{ litre/km} \] Bu tüketim miktarı, her kilometre başına yakıtın azalma hızıdır. Dolayısıyla eğimimiz -0.08'dir. Fonksiyonumuz şu şekilde olur: \( y = -0.08x + 50 \). Burada:

• Eğim (-0.08): Her kilometre başına yakıtın 0.08 litre azaldığını gösterir.
• Başlangıç Değeri (50): Aracın deposunda başlangıçta bulunan yakıt miktarını (0 km'de) ifade eder.

💡 Bu, yakıt seviyesinin gidilen mesafeye bağlı olarak doğrusal bir şekilde azaldığını gösterir.

Bu durumu bir doğrusal fonksiyon ile ifade edebiliriz:

• Bağımsız değişken (x): Gidilen mesafe (km).
• Bağımlı değişken (y): Toplam ödenecek ücret (TL).

Taksimetrenin açılış ücreti, gidilen mesafe sıfır olduğunda ödenen ücrettir. Bu, fonksiyonumuzun başlangıç değeridir (n).

• Başlangıç Değeri (n) = 5 TL

Kilometre başına alınan ücret ise, gidilen mesafeye göre ödenecek ücretin artış oranıdır. Bu oran, doğrusal fonksiyonumuzun eğimini (m) verir.

• Eğim (m) = 3 TL/km

Bu durumda, taksinin ödeyeceği toplam ücreti gösteren doğrusal fonksiyon şu şekildedir: \[ y = 3x + 5 \] Burada:

• Eğim (3): Her kilometre başına 3 TL ücret alındığını gösterir.
• Başlangıç Değeri (5): Taksinin açılış ücretini ifade eder.

👉 Bu, taksi ücretinin gidilen mesafeye bağlı olarak doğrusal bir şekilde arttığını gösterir.