💡 9. Sınıf Matematik: Doğrusal fonksiyonlara ifade edilen denklem ve eşitsizlikleri içeren problemler Çözümlü Örnekler

Bu problemi bir doğrusal fonksiyon olarak modelleyebiliriz.

• Sabit Terim: Taksinin açılış ücreti sabittir ve fonksiyonun sabit terimini oluşturur. Bu değer 10 TL'dir.
• Değişken Terim: Kilometre başına alınan ücret, gidilen mesafeye (x) bağlı olarak değişir. Kilometre başına 5 TL alındığına göre, bu terim 5x olur.
• Doğrusal Fonksiyon: Toplam ücret, sabit terim ile değişken terimin toplamıdır.

Dolayısıyla, ödenecek toplam ücreti gösteren doğrusal fonksiyon şu şekildedir: \[ f(x) = 5x + 10 \] Burada f(x) ödenen toplam ücreti (TL), x ise gidilen mesafeyi (km) temsil eder. ✅

Depodaki su miktarını zamanla değişen bir fonksiyon olarak ifade edelim.

• Başlangıç Miktarı: Depodaki ilk su miktarı sabittir ve fonksiyonun başlangıç değeridir. Bu değer 50 litredir.
• Artış Miktarı: Her dakika depoya eklenen su miktarı, geçen zamana (t) bağlı olarak artar. Dakikada 3 litre eklendiği için bu terim 3t olur.
• Doğrusal Fonksiyon: Depodaki toplam su miktarı, başlangıç miktarı ile eklenen su miktarının toplamıdır.

Bu durumu gösteren doğrusal fonksiyon şöyledir: \[ g(t) = 3t + 50 \] Burada g(t) depodaki toplam su miktarını (litre), t ise geçen süreyi (dakika) temsil eder. 💡

Üreticinin elde edeceği toplam geliri hesaplamak için satış fiyatı fonksiyonunu kullanacağız.

• Birim Üretim Maliyeti: Üretilen her birim ürünün maliyeti 8 TL'dir. x birim ürün için toplam üretim maliyeti 8x TL olur.
• Satış Fiyatı Fonksiyonu: Fonksiyon, x birim ürün satıldığında elde edilecek toplam geliri (brüt) ifade eder: p(x) = 15x - 100.
• Net Gelir Fonksiyonu: Toplam gelirden toplam maliyet çıkarılarak net gelir bulunur.

Net gelir fonksiyonu G(x) olsun. \[ G(x) = p(x) - (\text{Toplam Üretim Maliyeti}) \] \[ G(x) = (15x - 100) - 8x \] Şimdi bu ifadeyi sadeleştirelim: \[ G(x) = 15x - 8x - 100 \] \[ G(x) = 7x - 100 \] Dolayısıyla, x birim ürün satıldığında elde edilen net gelir fonksiyonu G(x) = 7x - 100'dür. 📈

Kar fonksiyonunu bulmak için öncelikle toplam satış gelirini ve toplam maliyeti belirlememiz gerekir.

• Toplam Maliyet Fonksiyonu: Verilen maliyet fonksiyonu M(x) = 20x + 500 TL'dir.
• Toplam Gelir Fonksiyonu: Her gömlek 45 TL'ye satıldığına göre, x adet gömlek satıldığında elde edilen toplam gelir S(x) = 45x TL olur.
• Kar Fonksiyonu: Kar, toplam gelirden toplam maliyetin çıkarılmasıyla bulunur: K(x) = S(x) - M(x).

Şimdi bu fonksiyonları yerine koyalım: \[ K(x) = 45x - (20x + 500) \] Parantezi açarak ifadeyi sadeleştirelim: \[ K(x) = 45x - 20x - 500 \] \[ K(x) = 25x - 500 \] Bu durumda, x adet gömlek satıldığında elde edilen karı gösteren doğrusal fonksiyon K(x) = 25x - 500 TL'dir. 👍

Şirketin kar etmeye başlaması için toplam gelirin toplam maliyetten fazla olması gerekir.

• Toplam Maliyet Fonksiyonu: M(x) = 100x + 50000 TL.
• Toplam Gelir Fonksiyonu: Her telefon 300 TL'ye satıldığına göre, x adet telefon satıldığında elde edilen toplam gelir G(x) = 300x TL olur.
• Kar Etme Koşulu: Kar etmek için Toplam Gelir > Toplam Maliyet olmalıdır.

Bu durumu gösteren eşitsizlik şöyledir: \[ G(x) > M(x) \] Şimdi fonksiyonları yerine koyalım: \[ 300x > 100x + 50000 \] Eşitsizliği çözmek için x'li terimleri bir tarafa toplayalım: \[ 300x - 100x > 50000 \] \[ 200x > 50000 \] Her iki tarafı 200'e bölelim: \[ x > \frac{50000}{200} \] \[ x > 250 \] Bu eşitsizlik, şirketin kar etmeye başlayabilmesi için 250'den fazla telefon üretmesi ve satması gerektiğini gösterir. Yani en az 251 telefon üretilmelidir. 🚀

Her iki tarifeyi de birer doğrusal fonksiyon ile ifade edip karşılaştıralım.

• Tarife A'nın Fonksiyonu: Aylık sabit ücret 80 TL ve GB başına 5 TL ek ücret. x GB kullanım için: \[ A(x) = 5x + 80 \]
• Tarife B'nin Fonksiyonu: Aylık sabit ücret 120 TL ve GB başına 3 TL ek ücret. x GB kullanım için: \[ B(x) = 3x + 120 \]
• Karşılaştırma: Hangi tarifenin daha ekonomik olduğunu bulmak için iki fonksiyonu eşitleyip x değerini bulabiliriz. Bu değer, iki tarifelerin maliyetinin eşit olduğu kullanım miktarını gösterir.

Eşitlik kuralım: \[ A(x) = B(x) \] \[ 5x + 80 = 3x + 120 \] x'li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım: \[ 5x - 3x = 120 - 80 \] \[ 2x = 40 \] Her iki tarafı 2'ye bölelim: \[ x = 20 \] Bu sonuç, 20 GB kullanımda her iki tarifenin de maliyetinin eşit olacağını gösterir.

• Eğer kullanım 20 GB'dan az ise, Tarife A (A(x) < B(x)) daha ekonomiktir.
• Eğer kullanım 20 GB'dan fazla ise, Tarife B (B(x) < A(x)) daha ekonomiktir.
• Eğer kullanım tam olarak 20 GB ise, iki tarife de aynı maliyettedir.

Kullanıcının veri kullanım alışkanlığına göre en uygun tarife seçilebilir. 🤔

Bu soruda, gübreli ve gübresiz verimi ifade eden iki doğrusal fonksiyonu eşitleyerek çözüm bulacağız.

• Gübresiz Verim Fonksiyonu: y_gübresiz = 3x + 10
• Gübreli Verim Fonksiyonu: y_gübreli = 4x + 5
• Eşitlik Durumu: Verimin eşit olduğu dönüm sayısını bulmak için iki fonksiyonu birbirine eşitlemeliyiz: y_gübresiz = y_gübreli.

Eşitliği kuralım: \[ 3x + 10 = 4x + 5 \] Şimdi x'li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım: \[ 10 - 5 = 4x - 3x \] \[ 5 = x \] Bu sonuç, çiftçinin tarlasında 5 dönüm ekim yaptığında, gübreli ve gübresiz verimin eşit olacağını göstermektedir. 👨‍🌾

Bu problemi bir doğrusal fonksiyon olarak modelleyebiliriz. Öncelikle bisikletçinin hızını bulmamız gerekiyor.

• Hız Hesaplama: Hız = Mesafe / Zaman
• Hız = 30 km / 2 saat = 15 km/saat
• Doğrusal Fonksiyon: Alınan yol, hız ile zamanın çarpımına eşittir.

Bisikletçinin aldığı yolu gösteren doğrusal fonksiyon şöyledir: \[ f(t) = 15t \] Burada f(t) alınan yolu (km), t ise geçen süreyi (saat) temsil eder. 💨

İndirimli fiyatı hesaplamak için öncelikle indirimin miktarını bulmalıyız.

• İndirim Miktarı: Ürünün fiyatının %20'si indirimdir. Bu miktar 0.20x TL olur.
• İndirimli Fiyat Fonksiyonu: İndirimli fiyat, orijinal fiyattan indirim miktarının çıkarılmasıyla bulunur.

İndirimli fiyatı gösteren doğrusal fonksiyon şöyledir: \[ i(x) = x - 0.20x \] Bu ifadeyi sadeleştirelim: \[ i(x) = (1 - 0.20)x \] \[ i(x) = 0.80x \] Dolayısıyla, indirimli fiyatı gösteren doğrusal fonksiyon i(x) = 0.80x'tir. Bu, ürünün orijinal fiyatının %80'ini ödeyeceğiniz anlamına gelir. 🎉