🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Doğrusal Fonksiyonlar Ve Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Doğrusal Fonksiyonlar Ve Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıda verilen ifadelerden hangileri bir doğrusal fonksiyon belirtir? 🤔 İşaretleyelim!
- \( f(x) = 3x - 5 \)
- \( g(x) = x^2 + 2x \)
- \( h(x) = 7 - x \)
- \( k(x) = 4 \)
- \( m(x) = \frac{1}{x} + 3 \)
Çözüm:
Bir fonksiyonun doğrusal olabilmesi için \( f(x) = ax + b \) şeklinde yazılabilmesi gerekir. Burada \( a \) ve \( b \) birer gerçek sayı olmalı ve \( x \)'in kuvveti 1 olmalıdır. 💡
- ✅ 1. \( f(x) = 3x - 5 \): Bu bir doğrusal fonksiyondur. ( \( a=3, b=-5 \) )
- ❌ 2. \( g(x) = x^2 + 2x \): Bu bir doğrusal fonksiyon değildir çünkü \( x \)'in kuvveti 2'dir. Bu bir parabol (kuadratik fonksiyon) belirtir.
- ✅ 3. \( h(x) = 7 - x \): Bu bir doğrusal fonksiyondur. ( \( a=-1, b=7 \) )
- ✅ 4. \( k(x) = 4 \): Bu bir doğrusal fonksiyondur. ( \( a=0, b=4 \) ). Sabit fonksiyonlar, doğrusal fonksiyonların özel bir halidir.
- ❌ 5. \( m(x) = \frac{1}{x} + 3 \): Bu bir doğrusal fonksiyon değildir çünkü \( x \)'in kuvveti -1'dir (\( x^{-1} \)).
Örnek 2:
\( f(x) = 2x + 7 \) doğrusal fonksiyonu için aşağıdaki değerleri bulunuz. 📌
- \( f(3) \)
- \( f(-1) \)
- \( f(0) \)
Çözüm:
Fonksiyonun kuralı \( f(x) = 2x + 7 \) olarak verilmiş. Yapmamız gereken, \( x \) yerine istenen değeri yazıp işlemi yapmaktır.
- 1. \( f(3) \) için \( x \) yerine 3 yazarız:
\( f(3) = 2 \cdot (3) + 7 \)
\( f(3) = 6 + 7 \)
✅ \( f(3) = 13 \) - 2. \( f(-1) \) için \( x \) yerine -1 yazarız:
\( f(-1) = 2 \cdot (-1) + 7 \)
\( f(-1) = -2 + 7 \)
✅ \( f(-1) = 5 \) - 3. \( f(0) \) için \( x \) yerine 0 yazarız:
\( f(0) = 2 \cdot (0) + 7 \)
\( f(0) = 0 + 7 \)
✅ \( f(0) = 7 \) (Bu değer, fonksiyonun y-eksenini kestiği noktadır.)
Örnek 3:
Bir doğrusal fonksiyonun grafiği \( (2, 5) \) ve \( (-1, -4) \) noktalarından geçmektedir. Bu doğrusal fonksiyonun kuralını bulunuz. ✍️
Çözüm:
Bir doğrusal fonksiyonun kuralı \( f(x) = ax + b \) şeklindedir. İki nokta verildiğinde, bu noktaları kullanarak \( a \) ve \( b \) değerlerini bulabiliriz.
- Adım 1: Noktaları fonksiyonda yerine yazalım.
\( f(x) = ax + b \)
\( (2, 5) \) noktasını yerine yazarsak: \( 5 = a \cdot (2) + b \implies 2a + b = 5 \) (Denklem 1)
\( (-1, -4) \) noktasını yerine yazarsak: \( -4 = a \cdot (-1) + b \implies -a + b = -4 \) (Denklem 2) - Adım 2: Denklem sistemini çözelim.
Denklem 1: \( 2a + b = 5 \)
Denklem 2: \( -a + b = -4 \)
Birinci denklemden ikinci denklemi çıkaralım:
\( (2a + b) - (-a + b) = 5 - (-4) \)
\( 2a + b + a - b = 5 + 4 \)
\( 3a = 9 \)
✅ \( a = 3 \) - Adım 3: Bulduğumuz \( a \) değerini denklemlerden birinde yerine yazarak \( b \)'yi bulalım.
Denklem 2'yi kullanalım: \( -a + b = -4 \)
\( -(3) + b = -4 \)
\( -3 + b = -4 \)
\( b = -4 + 3 \)
✅ \( b = -1 \) - Adım 4: Fonksiyonun kuralını yazalım.
\( a=3 \) ve \( b=-1 \) olduğuna göre, fonksiyonun kuralı:
👉 \( f(x) = 3x - 1 \)
Örnek 4:
\( y = -3x + 6 \) doğrusal fonksiyonunun x-eksenini ve y-eksenini kestiği noktaları bulunuz. 📊
Çözüm:
Bir doğrusal fonksiyonun eksenleri kestiği noktaları bulmak için belirli adımları izleriz.
- 1. y-eksenini kestiği nokta:
y-eksenini kestiği noktayı bulmak için \( x=0 \) yazarız.
\( y = -3 \cdot (0) + 6 \)
\( y = 0 + 6 \)
\( y = 6 \)
✅ Fonksiyon y-eksenini \( (0, 6) \) noktasında keser. - 2. x-eksenini kestiği nokta:
x-eksenini kestiği noktayı bulmak için \( y=0 \) yazarız.
\( 0 = -3x + 6 \)
\( 3x = 6 \)
\( x = \frac{6}{3} \)
\( x = 2 \)
✅ Fonksiyon x-eksenini \( (2, 0) \) noktasında keser.
Örnek 5:
\( f(x) = -2x + 4 \) doğrusal fonksiyonunun artan mı, azalan mı olduğunu belirleyiniz ve grafiğinin genel niteliğini açıklayınız. 📉📈
Çözüm:
Bir doğrusal fonksiyonun artan mı yoksa azalan mı olduğunu belirlemek için \( x \)'in katsayısına (yani \( a \) değerine) bakarız.
- 1. \( a \) değerini belirleyelim:
Verilen fonksiyon \( f(x) = -2x + 4 \) şeklindedir. Burada \( a = -2 \) ve \( b = 4 \)'tür. - 2. \( a \) değerini yorumlayalım:
Bir doğrusal fonksiyonda \( f(x) = ax + b \):- Eğer \( a > 0 \) ise fonksiyon artandır. (Grafik sağa doğru yukarı yönlüdür.)
- Eğer \( a < 0 \) ise fonksiyon azalandır. (Grafik sağa doğru aşağı yönlüdür.)
- Eğer \( a = 0 \) ise fonksiyon sabittir. (Grafik x-eksenine paralel düz bir çizgidir.)
- 3. Sonuç:
👉 \( f(x) = -2x + 4 \) fonksiyonu azalan bir fonksiyondur.
Bu durum, \( x \) değeri arttıkça \( f(x) \) değerinin azaldığı anlamına gelir. Grafiği, sol yukarıdan sağ aşağıya doğru inen bir doğru şeklinde olacaktır.
📌 Ek olarak, \( y \)-eksenini \( (0, 4) \) noktasında, \( x \)-eksenini ise \( (2, 0) \) noktasında keser.
Örnek 6:
Bir taksi şirketinde taksimetre açılış ücreti 15 TL'dir ve her kilometre için 8 TL ücret alınmaktadır. Yolcunun ödeyeceği toplam ücreti, gidilen kilometre cinsinden ifade eden doğrusal fonksiyonu yazınız. Eğer bir yolcu 12 km yol giderse, kaç TL öder? 🚕💰
Çözüm:
Bu problemi bir doğrusal fonksiyon olarak modelleyebiliriz.
- 1. Değişkenleri tanımlayalım:
Gidilen kilometre sayısını \( x \) ile gösterelim.
Ödenecek toplam ücreti \( f(x) \) ile gösterelim. - 2. Fonksiyonun kuralını yazalım:
Açılış ücreti (sabit kısım) \( b = 15 \) TL'dir.
Her kilometre için alınan ücret (değişim oranı) \( a = 8 \) TL'dir.
Bu durumda, doğrusal fonksiyonun kuralı \( f(x) = ax + b \) şeklinde olacaktır:
👉 \( f(x) = 8x + 15 \) - 3. 12 km yolculuk için ödenecek ücreti hesaplayalım:
\( x = 12 \) km için \( f(12) \) değerini bulmalıyız.
\( f(12) = 8 \cdot (12) + 15 \)
\( f(12) = 96 + 15 \)
✅ \( f(12) = 111 \) TL
Yolcu 12 km yol giderse 111 TL öder.
Örnek 7:
Aşağıdaki grafikte, bir fidanın dikildikten sonraki boyunun yıllara göre değişimi gösterilmiştir. 🌳 Grafik bir doğrusal fonksiyonu temsil etmektedir.
(Grafik metinsel olarak betimlenmiştir):
Y ekseni "Fidan Boyu (cm)", X ekseni "Geçen Yıl" olarak adlandırılmıştır.
Grafik, \( (0, 40) \) noktasından başlayıp yukarı doğru çıkan bir doğrudur.
Bu doğru üzerinde \( (3, 100) \) noktası bulunmaktadır.
Bu fidanın dikildikten 5 yıl sonraki boyu kaç cm olur? 🤔
(Grafik metinsel olarak betimlenmiştir):
Y ekseni "Fidan Boyu (cm)", X ekseni "Geçen Yıl" olarak adlandırılmıştır.
Grafik, \( (0, 40) \) noktasından başlayıp yukarı doğru çıkan bir doğrudur.
Bu doğru üzerinde \( (3, 100) \) noktası bulunmaktadır.
Bu fidanın dikildikten 5 yıl sonraki boyu kaç cm olur? 🤔
Çözüm:
Verilen bilgilerle fidanın boyunun yıllara göre değişimini gösteren doğrusal fonksiyonun kuralını bulup, ardından 5 yıl sonraki boyunu hesaplayacağız.
- 1. İki noktayı belirleyelim:
Grafikten anlaşıldığı üzere, fidan dikildiğinde (geçen yıl \( x=0 \)) boyu 40 cm'dir. Bu bize \( (0, 40) \) noktasını verir.
3 yıl sonra (geçen yıl \( x=3 \)) boyu 100 cm'dir. Bu bize \( (3, 100) \) noktasını verir. - 2. Doğrusal fonksiyonun kuralını bulalım (\( f(x) = ax + b \)):
\( (0, 40) \) noktasını yerine yazarsak: \( 40 = a \cdot (0) + b \implies b = 40 \). (Bu, başlangıç boyu yani y-eksenini kestiği noktadır.)
Şimdi \( b=40 \) ve \( (3, 100) \) noktasını kullanarak \( a \)'yı bulalım:
\( 100 = a \cdot (3) + 40 \)
\( 100 - 40 = 3a \)
\( 60 = 3a \)
\( a = 20 \)
👉 Fonksiyonun kuralı: \( f(x) = 20x + 40 \) - 3. Fidanın 5 yıl sonraki boyunu hesaplayalım:
\( x = 5 \) için \( f(5) \) değerini bulmalıyız.
\( f(5) = 20 \cdot (5) + 40 \)
\( f(5) = 100 + 40 \)
✅ \( f(5) = 140 \) cm
Fidanın dikildikten 5 yıl sonraki boyu 140 cm olacaktır.
Örnek 8:
Bir GSM operatörü, müşterilerine iki farklı tarife sunmaktadır: 📱
Tarife A: Aylık sabit ücret 30 TL, konuşulan her dakika için 0,50 TL.
Tarife B: Aylık sabit ücret 10 TL, konuşulan her dakika için 0,80 TL.
Hangi tarifeyi seçmeliyim? Bu soruyu cevaplamak için, kaç dakika konuşulduğunda iki tarifenin maliyetinin eşit olacağını hesaplayınız. 💡
Tarife A: Aylık sabit ücret 30 TL, konuşulan her dakika için 0,50 TL.
Tarife B: Aylık sabit ücret 10 TL, konuşulan her dakika için 0,80 TL.
Hangi tarifeyi seçmeliyim? Bu soruyu cevaplamak için, kaç dakika konuşulduğunda iki tarifenin maliyetinin eşit olacağını hesaplayınız. 💡
Çözüm:
Her iki tarifenin maliyetini dakika sayısına bağlı birer doğrusal fonksiyon olarak ifade edelim.
- 1. Tarife A için fonksiyonu yazalım:
Konuşulan dakika sayısını \( x \) ile gösterirsek, Tarife A için maliyet fonksiyonu \( M_A(x) \) olsun.
Sabit ücret: 30 TL
Dakika başına ücret: 0,50 TL
👉 \( M_A(x) = 0,50x + 30 \) - 2. Tarife B için fonksiyonu yazalım:
Tarife B için maliyet fonksiyonu \( M_B(x) \) olsun.
Sabit ücret: 10 TL
Dakika başına ücret: 0,80 TL
👉 \( M_B(x) = 0,80x + 10 \) - 3. İki tarifenin maliyetinin eşit olduğu durumu bulalım:
Maliyetlerin eşit olması için \( M_A(x) = M_B(x) \) olmalıdır.
\( 0,50x + 30 = 0,80x + 10 \)
Denklemi çözmek için \( x \)'li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım:
\( 30 - 10 = 0,80x - 0,50x \)
\( 20 = 0,30x \)
\( x = \frac{20}{0,30} \)
\( x = \frac{2000}{30} \)
\( x = \frac{200}{3} \)
Yaklaşık olarak \( x \approx 66,67 \) dakika. - 4. Sonucu yorumlayalım:
✅ Eğer müşteri yaklaşık 67 dakika konuşursa, iki tarifenin maliyeti eşit olacaktır.
📌 Eğer 67 dakikadan az konuşursa, Tarife B daha uygun olacaktır (çünkü sabit ücreti daha az).
📌 Eğer 67 dakikadan fazla konuşursa, Tarife A daha uygun olacaktır (çünkü dakika başına ücreti daha az).
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-dogrusal-fonksiyonlar-ve-nitel-ozellikleri/sorular