🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Doğrusal Fonksiyonlar ve Günlük Hayat Uygulamaları Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Doğrusal Fonksiyonlar ve Günlük Hayat Uygulamaları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklem sistemi veriliyor:
\[ 2x + y = 5 \]
\[ x - y = 1 \]
Bu denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz. 🤔
\[ 2x + y = 5 \]
\[ x - y = 1 \]
Bu denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz. 🤔
Çözüm:
Bu denklem sistemini çözmek için yok etme veya yerine koyma yöntemlerini kullanabiliriz. Yok etme yöntemini kullanalım:
- Denklemleri Toplama: İki denklemi taraf tarafa topladığımızda y terimleri birbirini götürecektir.
- x'i Bulma: Elde ettiğimiz denklemden x'in değerini bulalım.
- y'yi Bulma: Bulduğumuz x değerini denklemlerden birine yerine koyarak y'nin değerini bulalım. İlk denklemi kullanalım: \( 2x + y = 5 \).
- Çözüm Kümesi: Denklem sisteminin çözüm kümesi \( \{ (2, 1) \} \) olarak bulunur. ✅
\[ (2x + y) + (x - y) = 5 + 1 \]
\[ 3x = 6 \]
\[ x = \frac{6}{3} \]
\[ x = 2 \]
\[ 2(2) + y = 5 \]
\[ 4 + y = 5 \]
\[ y = 5 - 4 \]
\[ y = 1 \]
Örnek 2:
Bir taksinin açılış ücreti 10 TL'dir. Kilometre başına ise 5 TL ücret alınmaktadır. Buna göre, 15 kilometrelik bir yolculuğun toplam ücretini hesaplayan doğrusal fonksiyonu yazınız ve bu yolculuğun ücretini bulunuz. 🚕
Çözüm:
Bu problemi bir doğrusal fonksiyon ile modelleyebiliriz.
- Değişkenleri Tanımlama:
- Gidilen mesafeyi \( x \) (kilometre) ile gösterelim.
- Toplam ücreti \( f(x) \) (TL) ile gösterelim.
- Fonksiyonu Yazma: Açılış ücreti sabit olduğu için fonksiyonun sabit terimi olacaktır. Kilometre başına alınan ücret ise \( x \) ile çarpılacaktır.
- 15 Kilometrelik Yolculuğun Ücreti: Fonksiyonda \( x = 15 \) değerini yerine koyalım.
- Sonuç: 15 kilometrelik bir yolculuğun toplam ücreti 85 TL'dir. 💰
\[ f(x) = 5x + 10 \]
Bu fonksiyon, gidilen mesafeye göre ödenecek toplam ücreti verir. 💡
\[ f(15) = 5(15) + 10 \]
\[ f(15) = 75 + 10 \]
\[ f(15) = 85 \]
Örnek 3:
Bir fabrikada üretilen bir ürünün maliyeti, üretim miktarına göre doğrusal bir fonksiyon şeklinde değişmektedir. Üretim miktarı 100 birim iken toplam maliyet 5000 TL, üretim miktarı 200 birim iken toplam maliyet 8000 TL'dir.
Buna göre, bu ürünün maliyetini gösteren doğrusal fonksiyonu bulunuz ve üretim miktarı 350 birim olduğunda toplam maliyeti hesaplayınız. 🏭
Buna göre, bu ürünün maliyetini gösteren doğrusal fonksiyonu bulunuz ve üretim miktarı 350 birim olduğunda toplam maliyeti hesaplayınız. 🏭
Çözüm:
Bu problemi çözmek için iki noktası bilinen doğrunun denklemini bulma mantığını kullanacağız.
- Noktaları Belirleme:
- Üretim miktarı \( x \), toplam maliyet \( y \) olsun.
- Verilen bilgilere göre noktalarımız: \( (100, 5000) \) ve \( (200, 8000) \).
- Eğimi Hesaplama: İki nokta arasındaki eğim \( m \) şu formülle bulunur: \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \).
- Fonksiyonu Yazma: Eğim-kesen formülünü \( y - y_1 = m(x - x_1) \) kullanarak fonksiyonu yazabiliriz. İlk noktayı \( (100, 5000) \) kullanalım.
- 350 Birim Üretim Maliyeti: Fonksiyonda \( x = 350 \) değerini yerine koyalım.
- Sonuç: Üretim miktarı 350 birim olduğunda toplam maliyet 12500 TL olacaktır. 💯
\[ m = \frac{8000 - 5000}{200 - 100} \]
\[ m = \frac{3000}{100} \]
\[ m = 30 \]
Bu eğim, her bir ek üretim birimi için maliyetin 30 TL arttığını gösterir. 📈
\[ y - 5000 = 30(x - 100) \]
\[ y - 5000 = 30x - 3000 \]
\[ y = 30x - 3000 + 5000 \]
\[ y = 30x + 2000 \]
Dolayısıyla maliyet fonksiyonu \( f(x) = 30x + 2000 \) olur. ✍️
\[ f(350) = 30(350) + 2000 \]
\[ f(350) = 10500 + 2000 \]
\[ f(350) = 12500 \]
Örnek 4:
Bir akvaryumda sabit bir hızla su doldurulmaktadır. Başlangıçta akvaryumda 50 litre su bulunmaktadır. Her 2 dakikada bir 10 litre su ekleniyor.
Akvaryumdaki su miktarını gösteren doğrusal fonksiyonu yazınız ve 10 dakika sonra akvaryumdaki su miktarını hesaplayınız. 💧
Akvaryumdaki su miktarını gösteren doğrusal fonksiyonu yazınız ve 10 dakika sonra akvaryumdaki su miktarını hesaplayınız. 💧
Çözüm:
Bu durumu bir doğrusal fonksiyonla ifade edebiliriz.
- Değişkenleri Tanımlama:
- Geçen süreyi \( t \) (dakika) ile gösterelim.
- Akvaryumdaki su miktarını \( V(t) \) (litre) ile gösterelim.
- Hızı Bulma: Her 2 dakikada 10 litre su eklendiğine göre, 1 dakikada eklenen su miktarını bulalım.
- Fonksiyonu Yazma: Başlangıçtaki su miktarı (50 litre) fonksiyonun sabit terimidir.
- 10 Dakika Sonra Su Miktarı: Fonksiyonda \( t = 10 \) değerini yerine koyalım.
- Sonuç: 10 dakika sonra akvaryumda 100 litre su olacaktır. 👍
Hız = \( \frac{10 \text{ litre}}{2 \text{ dakika}} = 5 \) litre/dakika.
Bu, fonksiyonumuzun eğimi olacaktır. 🚀
\[ V(t) = 5t + 50 \]
Bu fonksiyon, \( t \) dakika sonra akvaryumdaki su miktarını verir. 📝
\[ V(10) = 5(10) + 50 \]
\[ V(10) = 50 + 50 \]
\[ V(10) = 100 \]
Örnek 5:
\( f(x) = ax + b \) şeklinde tanımlanan bir doğrusal fonksiyon için \( f(3) = 10 \) ve \( f(5) = 16 \) bilgileri veriliyor.
Buna göre, \( a \) ve \( b \) değerlerini bulunuz ve \( f(7) \) değerini hesaplayınız. 🎯
Buna göre, \( a \) ve \( b \) değerlerini bulunuz ve \( f(7) \) değerini hesaplayınız. 🎯
Çözüm:
Verilen bilgilerle bir denklem sistemi kurarak \( a \) ve \( b \) değerlerini bulabiliriz.
- Denklemleri Oluşturma:
- \( f(3) = 10 \) demek, \( a(3) + b = 10 \) demektir. Yani \( 3a + b = 10 \).
- \( f(5) = 16 \) demek, \( a(5) + b = 16 \) demektir. Yani \( 5a + b = 16 \).
- Denklem Sistemini Çözme: Elde ettiğimiz iki denklemi kullanarak \( a \) ve \( b \) değerlerini bulalım.
- Fonksiyonu Yazma: Bulduğumuz \( a \) ve \( b \) değerleriyle fonksiyonumuz \( f(x) = 3x + 1 \) olur.
- \( f(7) \) Değerini Hesaplama: Fonksiyonda \( x = 7 \) değerini yerine koyalım.
- Sonuç: \( a=3 \), \( b=1 \) ve \( f(7) = 22 \) olarak bulunur. ✨
Denklem 1: \( 3a + b = 10 \)
Denklem 2: \( 5a + b = 16 \)
İkinci denklemden birinci denklemi çıkararak \( b \) terimini yok edelim:
\[ (5a + b) - (3a + b) = 16 - 10 \]
\[ 2a = 6 \]
\[ a = \frac{6}{2} \]
\[ a = 3 \]
Şimdi bulduğumuz \( a = 3 \) değerini birinci denkleme yerine koyarak \( b \) değerini bulalım:
\[ 3(3) + b = 10 \]
\[ 9 + b = 10 \]
\[ b = 10 - 9 \]
\[ b = 1 \]
Dolayısıyla \( a = 3 \) ve \( b = 1 \) bulunur. ✅
\[ f(7) = 3(7) + 1 \]
\[ f(7) = 21 + 1 \]
\[ f(7) = 22 \]
Örnek 6:
Bir internet kafede saatlik kullanım ücreti 8 TL'dir. Ayrıca, ilk giriş için 5 TL'lik bir kayıt ücreti alınmaktadır.
Buna göre, bir kişinin internet kafede \( x \) saat geçirmesi durumunda ödeyeceği toplam ücreti gösteren doğrusal fonksiyonu yazınız ve 3 saatlik kullanımın toplam ücretini hesaplayınız. 💻
Buna göre, bir kişinin internet kafede \( x \) saat geçirmesi durumunda ödeyeceği toplam ücreti gösteren doğrusal fonksiyonu yazınız ve 3 saatlik kullanımın toplam ücretini hesaplayınız. 💻
Çözüm:
Bu durumu bir doğrusal fonksiyon ile modelleyebiliriz.
- Değişkenleri Tanımlama:
- Geçirilen süreyi \( x \) (saat) ile gösterelim.
- Ödenecek toplam ücreti \( U(x) \) (TL) ile gösterelim.
- Fonksiyonu Yazma: Saatlik ücret (8 TL) fonksiyonun eğimini, kayıt ücreti (5 TL) ise sabit terimini oluşturur.
- 3 Saatlik Kullanımın Ücreti: Fonksiyonda \( x = 3 \) değerini yerine koyalım.
- Sonuç: 3 saatlik kullanımın toplam ücreti 29 TL'dir. 💸
\[ U(x) = 8x + 5 \]
Bu fonksiyon, \( x \) saatlik kullanımın toplam ücretini verir. 💰
\[ U(3) = 8(3) + 5 \]
\[ U(3) = 24 + 5 \]
\[ U(3) = 29 \]
Örnek 7:
\( y = 2x - 3 \) denklemi ile verilen doğrusal fonksiyonun grafiğini çizmek için kullanacağımız iki noktayı bulunuz. 📏
Çözüm:
Bir doğrunun grafiğini çizmek için en az iki noktaya ihtiyacımız vardır. Bu noktaları bulmak için fonksiyonda farklı \( x \) değerleri vererek karşılık gelen \( y \) değerlerini hesaplayabiliriz.
- İlk Noktayı Bulma: \( x = 0 \) değerini verelim.
- İkinci Noktayı Bulma: \( x = 1 \) değerini verelim.
- Sonuç: Grafiği çizmek için kullanabileceğimiz iki nokta \( (0, -3) \) ve \( (1, -1) \) dir. Bu noktaları koordinat düzleminde işaretleyip birleştirdiğimizde doğrumuzun grafiğini elde ederiz. 📈
\[ y = 2(0) - 3 \]
\[ y = 0 - 3 \]
\[ y = -3 \]
Böylece ilk noktamız \( (0, -3) \) olur. Bu nokta, doğrunun y-eksenini kestiği noktadır. 📌
\[ y = 2(1) - 3 \]
\[ y = 2 - 3 \]
\[ y = -1 \]
Böylece ikinci noktamız \( (1, -1) \) olur. 👉
Örnek 8:
Bir çiftçi, tarlasındaki ürün miktarını artıran bir gübre kullanmaya karar veriyor. Gübre miktarı arttıkça ürün miktarı da doğrusal olarak artmaktadır.
Gübre miktarının 0 kg olduğu durumda ürün miktarı 500 kg iken, gübre miktarının 10 kg olduğu durumda ürün miktarı 700 kg olmaktadır.
Buna göre, gübre miktarını \( x \) (kg) ve ürün miktarını \( P(x) \) (kg) olarak ifade eden doğrusal fonksiyonu yazınız ve gübre miktarının 25 kg olduğu durumda elde edilecek ürün miktarını hesaplayınız. 🌱
Gübre miktarının 0 kg olduğu durumda ürün miktarı 500 kg iken, gübre miktarının 10 kg olduğu durumda ürün miktarı 700 kg olmaktadır.
Buna göre, gübre miktarını \( x \) (kg) ve ürün miktarını \( P(x) \) (kg) olarak ifade eden doğrusal fonksiyonu yazınız ve gübre miktarının 25 kg olduğu durumda elde edilecek ürün miktarını hesaplayınız. 🌱
Çözüm:
Bu problemi, iki noktası bilinen doğrunun denklemini bulma yöntemiyle çözebiliriz.
- Noktaları Belirleme:
- Gübre miktarı \( x \) (kg), ürün miktarı \( P(x) \) (kg) olsun.
- Verilen bilgilere göre noktalarımız: \( (0, 500) \) ve \( (10, 700) \).
- Eğimi Hesaplama: Eğim \( m = \frac{P_2 - P_1}{x_2 - x_1} \).
- Fonksiyonu Yazma: İlk nokta \( (0, 500) \) olduğundan, bu nokta doğrunun y-eksenini kestiği noktadır ve sabit terimimiz 500'dür.
- 25 kg Gübre Kullanımında Ürün Miktarı: Fonksiyonda \( x = 25 \) değerini yerine koyalım.
- Sonuç: 25 kg gübre kullanıldığında 1000 kg ürün elde edilecektir. 🌾
\[ m = \frac{700 - 500}{10 - 0} \]
\[ m = \frac{200}{10} \]
\[ m = 20 \]
Bu eğim, her 1 kg gübre artışı için ürün miktarının 20 kg arttığını gösterir. ⬆️
\[ P(x) = mx + c \]
\[ P(x) = 20x + 500 \]
Bu fonksiyon, kullanılan gübre miktarına göre elde edilecek ürün miktarını verir. ✍️
\[ P(25) = 20(25) + 500 \]
\[ P(25) = 500 + 500 \]
\[ P(25) = 1000 \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-dogrusal-fonksiyonlar-ve-gunluk-hayat-uygulamalari/sorular