💡 9. Sınıf Matematik: Doğrusal fonksiyonlar proje hazırlama Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
📌 Doğrusal Fonksiyon Tanımı:
\( f(x) = (a-2)x^2 + (b+3)x + 10 \) fonksiyonu doğrusal bir fonksiyon olduğuna göre, \( a \) ve \( b \) değerlerini bularak fonksiyonun kuralını yazınız.
Çözüm ve Açıklama
✅ Adım Adım Çözüm:
Doğrusal fonksiyonlar \( f(x) = ax + b \) formundadır. Bu fonksiyonlarda \( x^2 \) gibi derecesi 1'den büyük olan terimler bulunamaz.
Bu nedenle \( x^2 \) teriminin katsayısı sıfıra eşitlenmelidir: \( a - 2 = 0 \) ise \( a = 2 \) olur.
Fonksiyonun geri kalan kısmı \( f(x) = (b+3)x + 10 \) halini alır. Burada \( b \) herhangi bir reel sayı olabilir ancak genellikle sorularda \( x \)'in katsayısının sıfırdan farklı olması beklenir.
Eğer \( a = 2 \) ise fonksiyonumuz \( f(x) = (b+3)x + 10 \) şeklindedir.
💡 Sonuç: \( a = 2 \) olmalıdır. Fonksiyonun genel yapısı \( f(x) = mx + n \) biçimine dönüşür.
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
🚀 Fonksiyon Değeri Hesaplama:
\( f(x) \) doğrusal bir fonksiyondur. \( f(1) = 7 \) \( f(3) = 13 \) olduğuna göre, \( f(5) \) değerini bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
✅ Adım Adım Çözüm:
Doğrusal fonksiyon kuralı: \( f(x) = ax + b \)
Verilen değerleri yerine koyalım: 1) \( f(1) = a \cdot 1 + b = 7 \Rightarrow a + b = 7 \) 2) \( f(3) = a \cdot 3 + b = 13 \Rightarrow 3a + b = 13 \)
Bu iki denklemi birbirinden çıkaralım: \( (3a + b) - (a + b) = 13 - 7 \) \( 2a = 6 \) \( a = 3 \)
Bulduğumuz \( a \) değerini ilk denklemde yerine yazalım: \( 3 + b = 7 \) \( b = 4 \)
Bir şehirde taksi açılış ücreti 20 TL'dir. Gidilen her kilometre için ise 12 TL ücret alınmaktadır. Gidilen yolu \( x \) (km), toplam ücreti \( f(x) \) (TL) olarak ifade eden doğrusal fonksiyonu yazınız ve 10 km giden bir yolcunun kaç TL ödeyeceğini hesaplayınız.
Çözüm ve Açıklama
✅ Adım Adım Çözüm:
Sabit Değer (Açılış Ücreti): 20 TL. Bu değer fonksiyonun \( b \) kısmını temsil eder.
Değişim Oranı (Km başı ücret): 12 TL. Bu değer fonksiyonun \( a \) (katsayı) kısmını temsil eder.
Fonksiyon Kuralı: \( f(x) = 12x + 20 \)
10 km yol için \( x = 10 \) yazılır: \( f(10) = 12 \cdot 10 + 20 \) \( f(10) = 120 + 20 = 140 \)
💰 Sonuç: Yolcu toplam 140 TL öder.
4
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
🕯️ Mum Yakma Deneyi:
Boyu 30 cm olan bir mum yakıldıktan sonra her saat 3 cm kısalmaktadır. Geçen süreyi \( t \) (saat), mumun kalan boyunu \( h(t) \) (cm) olarak gösteren fonksiyonu yazınız. Mumun tamamen bitmesi kaç saat sürer?
Çözüm ve Açıklama
✅ Adım Adım Çözüm:
Başlangıç Boyu: 30 cm.
Azalma Miktarı: Her saat 3 cm eksildiği için katsayımız \( -3 \) olacaktır.
A ve B şirketlerinin internet tarifeleri şöyledir: A Şirketi: Aylık 100 TL sabit ücret ve kullanılan her GB için 5 TL. B Şirketi: Sabit ücret yok, kullanılan her GB için 15 TL. Kaçıncı GB kullanımında iki şirkete ödenecek fatura tutarı eşit olur?
Çözüm ve Açıklama
✅ Adım Adım Çözüm:
A Şirketi Fonksiyonu: \( f(x) = 5x + 100 \)
B Şirketi Fonksiyonu: \( g(x) = 15x \)
Ücretlerin eşit olması için \( f(x) = g(x) \) denklemi çözülür: \( 5x + 100 = 15x \) \( 100 = 15x - 5x \) \( 100 = 10x \) \( x = 10 \)
📊 Sonuç: 10 GB kullanımda her iki şirketin faturası da 150 TL olur ve birbirine eşitlenir.
y eksenini kestiği nokta için: \( x = 0 \) verilir. \( f(0) = 2 \cdot 0 - 8 = -8 \) Nokta: \( (0, -8) \)
x eksenini kestiği nokta için: \( f(x) = 0 \) yapılır. \( 2x - 8 = 0 \) \( 2x = 8 \) \( x = 4 \) Nokta: \( (4, 0) \)
📍 Sonuç: Grafik y eksenini \( -8 \), x eksenini ise \( 4 \) noktasında keser.
7
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
🧩 Bileşke ve Doğrusal Fonksiyon İlişkisi:
\( f(x) \) doğrusal bir fonksiyondur. \( f(f(x)) = 4x + 9 \) olduğuna göre, \( f(x) \)'in alabileceği değerlerden birini bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
✅ Adım Adım Çözüm:
\( f(x) = ax + b \) olsun.
\( f(f(x)) = a(ax + b) + b = a^2x + ab + b \) olur.
Bu ifadeyi \( 4x + 9 \) ile eşitleyelim: \( a^2 = 4 \Rightarrow a = 2 \) veya \( a = -2 \)
Durum 1 (\( a = 2 \) için): \( ab + b = 9 \Rightarrow 2b + b = 9 \Rightarrow 3b = 9 \Rightarrow b = 3 \) Fonksiyon: \( f(x) = 2x + 3 \)
Durum 2 (\( a = -2 \) için): \( ab + b = 9 \Rightarrow -2b + b = 9 \Rightarrow -b = 9 \Rightarrow b = -9 \) Fonksiyon: \( f(x) = -2x - 9 \)
💡 Cevap: Fonksiyon \( f(x) = 2x + 3 \) veya \( f(x) = -2x - 9 \) olabilir.
8
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
🏭 Üretim Maliyeti Analizi:
Bir fabrikada bir ürünün üretilmesi için 5000 TL sabit kurulum maliyeti ve ürün başına 40 TL hammadde masrafı vardır. Üretilen ürün sayısı \( x \) ile gösterildiğine göre: a) Toplam maliyet fonksiyonunu yazınız. b) 200 adet ürün üretildiğinde toplam maliyet kaç TL olur?
Çözüm ve Açıklama
✅ Adım Adım Çözüm:
a) Fonksiyonun Yazılması: Sabit maliyet \( b = 5000 \), değişken maliyet \( a = 40 \). Maliyet Fonksiyonu: \( M(x) = 40x + 5000 \)
b) 200 Ürün İçin Hesaplama: \( x = 200 \) için; \( M(200) = 40 \cdot 200 + 5000 \) \( M(200) = 8000 + 5000 = 13000 \)
🏢 Sonuç: 200 adet ürünün toplam maliyeti 13000 TL'dir.
9. Sınıf Matematik: Doğrusal fonksiyonlar proje hazırlama Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
📌 Doğrusal Fonksiyon Tanımı:
\( f(x) = (a-2)x^2 + (b+3)x + 10 \) fonksiyonu doğrusal bir fonksiyon olduğuna göre, \( a \) ve \( b \) değerlerini bularak fonksiyonun kuralını yazınız.
Çözüm:
✅ Adım Adım Çözüm:
Doğrusal fonksiyonlar \( f(x) = ax + b \) formundadır. Bu fonksiyonlarda \( x^2 \) gibi derecesi 1'den büyük olan terimler bulunamaz.
Bu nedenle \( x^2 \) teriminin katsayısı sıfıra eşitlenmelidir: \( a - 2 = 0 \) ise \( a = 2 \) olur.
Fonksiyonun geri kalan kısmı \( f(x) = (b+3)x + 10 \) halini alır. Burada \( b \) herhangi bir reel sayı olabilir ancak genellikle sorularda \( x \)'in katsayısının sıfırdan farklı olması beklenir.
Eğer \( a = 2 \) ise fonksiyonumuz \( f(x) = (b+3)x + 10 \) şeklindedir.
💡 Sonuç: \( a = 2 \) olmalıdır. Fonksiyonun genel yapısı \( f(x) = mx + n \) biçimine dönüşür.
Örnek 2:
🚀 Fonksiyon Değeri Hesaplama:
\( f(x) \) doğrusal bir fonksiyondur. \( f(1) = 7 \) \( f(3) = 13 \) olduğuna göre, \( f(5) \) değerini bulunuz.
Çözüm:
✅ Adım Adım Çözüm:
Doğrusal fonksiyon kuralı: \( f(x) = ax + b \)
Verilen değerleri yerine koyalım: 1) \( f(1) = a \cdot 1 + b = 7 \Rightarrow a + b = 7 \) 2) \( f(3) = a \cdot 3 + b = 13 \Rightarrow 3a + b = 13 \)
Bu iki denklemi birbirinden çıkaralım: \( (3a + b) - (a + b) = 13 - 7 \) \( 2a = 6 \) \( a = 3 \)
Bulduğumuz \( a \) değerini ilk denklemde yerine yazalım: \( 3 + b = 7 \) \( b = 4 \)
Bir şehirde taksi açılış ücreti 20 TL'dir. Gidilen her kilometre için ise 12 TL ücret alınmaktadır. Gidilen yolu \( x \) (km), toplam ücreti \( f(x) \) (TL) olarak ifade eden doğrusal fonksiyonu yazınız ve 10 km giden bir yolcunun kaç TL ödeyeceğini hesaplayınız.
Çözüm:
✅ Adım Adım Çözüm:
Sabit Değer (Açılış Ücreti): 20 TL. Bu değer fonksiyonun \( b \) kısmını temsil eder.
Değişim Oranı (Km başı ücret): 12 TL. Bu değer fonksiyonun \( a \) (katsayı) kısmını temsil eder.
Fonksiyon Kuralı: \( f(x) = 12x + 20 \)
10 km yol için \( x = 10 \) yazılır: \( f(10) = 12 \cdot 10 + 20 \) \( f(10) = 120 + 20 = 140 \)
💰 Sonuç: Yolcu toplam 140 TL öder.
Örnek 4:
🕯️ Mum Yakma Deneyi:
Boyu 30 cm olan bir mum yakıldıktan sonra her saat 3 cm kısalmaktadır. Geçen süreyi \( t \) (saat), mumun kalan boyunu \( h(t) \) (cm) olarak gösteren fonksiyonu yazınız. Mumun tamamen bitmesi kaç saat sürer?
Çözüm:
✅ Adım Adım Çözüm:
Başlangıç Boyu: 30 cm.
Azalma Miktarı: Her saat 3 cm eksildiği için katsayımız \( -3 \) olacaktır.
A ve B şirketlerinin internet tarifeleri şöyledir: A Şirketi: Aylık 100 TL sabit ücret ve kullanılan her GB için 5 TL. B Şirketi: Sabit ücret yok, kullanılan her GB için 15 TL. Kaçıncı GB kullanımında iki şirkete ödenecek fatura tutarı eşit olur?
Çözüm:
✅ Adım Adım Çözüm:
A Şirketi Fonksiyonu: \( f(x) = 5x + 100 \)
B Şirketi Fonksiyonu: \( g(x) = 15x \)
Ücretlerin eşit olması için \( f(x) = g(x) \) denklemi çözülür: \( 5x + 100 = 15x \) \( 100 = 15x - 5x \) \( 100 = 10x \) \( x = 10 \)
📊 Sonuç: 10 GB kullanımda her iki şirketin faturası da 150 TL olur ve birbirine eşitlenir.
y eksenini kestiği nokta için: \( x = 0 \) verilir. \( f(0) = 2 \cdot 0 - 8 = -8 \) Nokta: \( (0, -8) \)
x eksenini kestiği nokta için: \( f(x) = 0 \) yapılır. \( 2x - 8 = 0 \) \( 2x = 8 \) \( x = 4 \) Nokta: \( (4, 0) \)
📍 Sonuç: Grafik y eksenini \( -8 \), x eksenini ise \( 4 \) noktasında keser.
Örnek 7:
🧩 Bileşke ve Doğrusal Fonksiyon İlişkisi:
\( f(x) \) doğrusal bir fonksiyondur. \( f(f(x)) = 4x + 9 \) olduğuna göre, \( f(x) \)'in alabileceği değerlerden birini bulunuz.
Çözüm:
✅ Adım Adım Çözüm:
\( f(x) = ax + b \) olsun.
\( f(f(x)) = a(ax + b) + b = a^2x + ab + b \) olur.
Bu ifadeyi \( 4x + 9 \) ile eşitleyelim: \( a^2 = 4 \Rightarrow a = 2 \) veya \( a = -2 \)
Durum 1 (\( a = 2 \) için): \( ab + b = 9 \Rightarrow 2b + b = 9 \Rightarrow 3b = 9 \Rightarrow b = 3 \) Fonksiyon: \( f(x) = 2x + 3 \)
Durum 2 (\( a = -2 \) için): \( ab + b = 9 \Rightarrow -2b + b = 9 \Rightarrow -b = 9 \Rightarrow b = -9 \) Fonksiyon: \( f(x) = -2x - 9 \)
💡 Cevap: Fonksiyon \( f(x) = 2x + 3 \) veya \( f(x) = -2x - 9 \) olabilir.
Örnek 8:
🏭 Üretim Maliyeti Analizi:
Bir fabrikada bir ürünün üretilmesi için 5000 TL sabit kurulum maliyeti ve ürün başına 40 TL hammadde masrafı vardır. Üretilen ürün sayısı \( x \) ile gösterildiğine göre: a) Toplam maliyet fonksiyonunu yazınız. b) 200 adet ürün üretildiğinde toplam maliyet kaç TL olur?
Çözüm:
✅ Adım Adım Çözüm:
a) Fonksiyonun Yazılması: Sabit maliyet \( b = 5000 \), değişken maliyet \( a = 40 \). Maliyet Fonksiyonu: \( M(x) = 40x + 5000 \)
b) 200 Ürün İçin Hesaplama: \( x = 200 \) için; \( M(200) = 40 \cdot 200 + 5000 \) \( M(200) = 8000 + 5000 = 13000 \)
🏢 Sonuç: 200 adet ürünün toplam maliyeti 13000 TL'dir.