💡 9. Sınıf Matematik: Doğrusal fonksiyonlar proje hazırlama Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Doğrusal fonksiyonlar proje hazırlama Çözümlü Örnekler
📌 Doğrusal Fonksiyon Tanımı:
\( f(x) = (a-2)x^2 + (b+3)x + 10 \) fonksiyonu doğrusal bir fonksiyon olduğuna göre, \( a \) ve \( b \) değerlerini bularak fonksiyonun kuralını yazınız.
✅ Adım Adım Çözüm:
- Doğrusal fonksiyonlar \( f(x) = ax + b \) formundadır. Bu fonksiyonlarda \( x^2 \) gibi derecesi 1'den büyük olan terimler bulunamaz.
- Bu nedenle \( x^2 \) teriminin katsayısı sıfıra eşitlenmelidir:
\( a - 2 = 0 \) ise \( a = 2 \) olur. - Fonksiyonun geri kalan kısmı \( f(x) = (b+3)x + 10 \) halini alır. Burada \( b \) herhangi bir reel sayı olabilir ancak genellikle sorularda \( x \)'in katsayısının sıfırdan farklı olması beklenir.
- Eğer \( a = 2 \) ise fonksiyonumuz \( f(x) = (b+3)x + 10 \) şeklindedir.
💡 Sonuç: \( a = 2 \) olmalıdır. Fonksiyonun genel yapısı \( f(x) = mx + n \) biçimine dönüşür.
🚀 Fonksiyon Değeri Hesaplama:
\( f(x) \) doğrusal bir fonksiyondur.
\( f(1) = 7 \)
\( f(3) = 13 \)
olduğuna göre, \( f(5) \) değerini bulunuz.
✅ Adım Adım Çözüm:
- Doğrusal fonksiyon kuralı: \( f(x) = ax + b \)
- Verilen değerleri yerine koyalım:
1) \( f(1) = a \cdot 1 + b = 7 \Rightarrow a + b = 7 \)
2) \( f(3) = a \cdot 3 + b = 13 \Rightarrow 3a + b = 13 \) - Bu iki denklemi birbirinden çıkaralım:
\( (3a + b) - (a + b) = 13 - 7 \)
\( 2a = 6 \)
\( a = 3 \) - Bulduğumuz \( a \) değerini ilk denklemde yerine yazalım:
\( 3 + b = 7 \)
\( b = 4 \) - Fonksiyonun kuralı: \( f(x) = 3x + 4 \)
- Şimdi \( f(5) \) değerini hesaplayalım:
\( f(5) = 3 \cdot 5 + 4 = 15 + 4 = 19 \)
👉 Cevap: \( 19 \)
🚕 Taksi Ücreti Problemi:
Bir şehirde taksi açılış ücreti 20 TL'dir. Gidilen her kilometre için ise 12 TL ücret alınmaktadır. Gidilen yolu \( x \) (km), toplam ücreti \( f(x) \) (TL) olarak ifade eden doğrusal fonksiyonu yazınız ve 10 km giden bir yolcunun kaç TL ödeyeceğini hesaplayınız.
✅ Adım Adım Çözüm:
- Sabit Değer (Açılış Ücreti): 20 TL. Bu değer fonksiyonun \( b \) kısmını temsil eder.
- Değişim Oranı (Km başı ücret): 12 TL. Bu değer fonksiyonun \( a \) (katsayı) kısmını temsil eder.
- Fonksiyon Kuralı: \( f(x) = 12x + 20 \)
- 10 km yol için \( x = 10 \) yazılır:
\( f(10) = 12 \cdot 10 + 20 \)
\( f(10) = 120 + 20 = 140 \)
💰 Sonuç: Yolcu toplam 140 TL öder.
🕯️ Mum Yakma Deneyi:
Boyu 30 cm olan bir mum yakıldıktan sonra her saat 3 cm kısalmaktadır. Geçen süreyi \( t \) (saat), mumun kalan boyunu \( h(t) \) (cm) olarak gösteren fonksiyonu yazınız. Mumun tamamen bitmesi kaç saat sürer?
✅ Adım Adım Çözüm:
- Başlangıç Boyu: 30 cm.
- Azalma Miktarı: Her saat 3 cm eksildiği için katsayımız \( -3 \) olacaktır.
- Fonksiyon Kuralı: \( h(t) = 30 - 3t \)
- Mumun bitmesi demek boyunun 0 olması demektir:
\( 30 - 3t = 0 \)
\( 30 = 3t \)
\( t = 10 \)
⏱️ Sonuç: Mum 10 saat sonra tamamen biter.
📱 İnternet Paketi Karşılaştırma:
A ve B şirketlerinin internet tarifeleri şöyledir:
A Şirketi: Aylık 100 TL sabit ücret ve kullanılan her GB için 5 TL.
B Şirketi: Sabit ücret yok, kullanılan her GB için 15 TL.
Kaçıncı GB kullanımında iki şirkete ödenecek fatura tutarı eşit olur?
✅ Adım Adım Çözüm:
- A Şirketi Fonksiyonu: \( f(x) = 5x + 100 \)
- B Şirketi Fonksiyonu: \( g(x) = 15x \)
- Ücretlerin eşit olması için \( f(x) = g(x) \) denklemi çözülür:
\( 5x + 100 = 15x \)
\( 100 = 15x - 5x \)
\( 100 = 10x \)
\( x = 10 \)
📊 Sonuç: 10 GB kullanımda her iki şirketin faturası da 150 TL olur ve birbirine eşitlenir.
📈 Grafik ve Eksenleri Kesme Noktaları:
\( f(x) = 2x - 8 \) fonksiyonunun grafiğinin eksenleri kestiği noktaların koordinatlarını bulunuz.
✅ Adım Adım Çözüm:
- y eksenini kestiği nokta için: \( x = 0 \) verilir.
\( f(0) = 2 \cdot 0 - 8 = -8 \)
Nokta: \( (0, -8) \) - x eksenini kestiği nokta için: \( f(x) = 0 \) yapılır.
\( 2x - 8 = 0 \)
\( 2x = 8 \)
\( x = 4 \)
Nokta: \( (4, 0) \)
📍 Sonuç: Grafik y eksenini \( -8 \), x eksenini ise \( 4 \) noktasında keser.
🧩 Bileşke ve Doğrusal Fonksiyon İlişkisi:
\( f(x) \) doğrusal bir fonksiyondur.
\( f(f(x)) = 4x + 9 \) olduğuna göre, \( f(x) \)'in alabileceği değerlerden birini bulunuz.
✅ Adım Adım Çözüm:
- \( f(x) = ax + b \) olsun.
- \( f(f(x)) = a(ax + b) + b = a^2x + ab + b \) olur.
- Bu ifadeyi \( 4x + 9 \) ile eşitleyelim:
\( a^2 = 4 \Rightarrow a = 2 \) veya \( a = -2 \) - Durum 1 (\( a = 2 \) için):
\( ab + b = 9 \Rightarrow 2b + b = 9 \Rightarrow 3b = 9 \Rightarrow b = 3 \)
Fonksiyon: \( f(x) = 2x + 3 \) - Durum 2 (\( a = -2 \) için):
\( ab + b = 9 \Rightarrow -2b + b = 9 \Rightarrow -b = 9 \Rightarrow b = -9 \)
Fonksiyon: \( f(x) = -2x - 9 \)
💡 Cevap: Fonksiyon \( f(x) = 2x + 3 \) veya \( f(x) = -2x - 9 \) olabilir.
🏭 Üretim Maliyeti Analizi:
Bir fabrikada bir ürünün üretilmesi için 5000 TL sabit kurulum maliyeti ve ürün başına 40 TL hammadde masrafı vardır. Üretilen ürün sayısı \( x \) ile gösterildiğine göre:
a) Toplam maliyet fonksiyonunu yazınız.
b) 200 adet ürün üretildiğinde toplam maliyet kaç TL olur?
✅ Adım Adım Çözüm:
- a) Fonksiyonun Yazılması:
Sabit maliyet \( b = 5000 \), değişken maliyet \( a = 40 \).
Maliyet Fonksiyonu: \( M(x) = 40x + 5000 \) - b) 200 Ürün İçin Hesaplama:
\( x = 200 \) için;
\( M(200) = 40 \cdot 200 + 5000 \)
\( M(200) = 8000 + 5000 = 13000 \)
🏢 Sonuç: 200 adet ürünün toplam maliyeti 13000 TL'dir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-dogrusal-fonksiyonlar-proje-hazirlama/sorular