💡 9. Sınıf Matematik: Doğrusal Fonksiyon Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler

Doğrusal fonksiyonlar, \( f(x) = ax + b \) (veya \( y = ax + b \)) şeklinde yazılabilen fonksiyonlardır. Burada \( a \) eğimi, \( b \) ise y eksenini kestiği noktayı temsil eder.

• ✅ a) \( f(x) = 3x - 5 \)
  Bu bir doğrusal fonksiyondur. Çünkü \( ax + b \) formundadır.
  👉 Eğim (a) = \( 3 \)
  👉 Y eksenini kestiği nokta (b) = \( -5 \)
• ❌ b) \( g(x) = x^2 + 2 \)
  Bu bir doğrusal fonksiyon değildir. Çünkü \( x \) değişkeninin kuvveti \( 2 \)'dir. (Doğrusal fonksiyonda \( x \)'in kuvveti en fazla \( 1 \) olmalıdır.)
• ✅ c) \( h(x) = 7 - 2x \)
  Bu bir doğrusal fonksiyondur. \( -2x + 7 \) şeklinde yazılabilir.
  👉 Eğim (a) = \( -2 \)
  👉 Y eksenini kestiği nokta (b) = \( 7 \)
• ✅ d) \( k(x) = 4 \)
  Bu bir doğrusal fonksiyondur. \( 0x + 4 \) şeklinde yazılabilir. Özel bir durum olup, x eksenine paralel bir doğrudur.
  👉 Eğim (a) = \( 0 \)
  👉 Y eksenini kestiği nokta (b) = \( 4 \)
• ❌ e) \( m(x) = \frac{6}{x} \)
  Bu bir doğrusal fonksiyon değildir. Çünkü \( x \) değişkeni paydada yer almaktadır.

İki noktası verilen doğrunun eğimini bulmak için \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) formülünü kullanırız.
Burada \( (x_1, y_1) = (2, 5) \) ve \( (x_2, y_2) = (-1, -4) \) olarak alabiliriz.

• 👉 Adım 1: \( y \) değerlerinin farkını bulalım:
  \( y_2 - y_1 = -4 - 5 = -9 \)
• 👉 Adım 2: \( x \) değerlerinin farkını bulalım:
  \( x_2 - x_1 = -1 - 2 = -3 \)
• 👉 Adım 3: Eğim formülünde yerine koyalım:
  \[ m = \frac{-9}{-3} \] \[ m = 3 \]

✅ Bu doğrunun eğimi \( 3 \)'tür.

• 👉 Y eksenini kestiği noktayı bulma:
  Bir doğru, y eksenini kestiğinde x değeri \( 0 \) olur. Bu durumda, \( x = 0 \) değerini denklemde yerine koyarız:
  \( y = -2(0) + 6 \)
  \( y = 0 + 6 \)
  \( y = 6 \)
  ✅ Y eksenini kestiği nokta \( (0, 6) \)'dır. (Bu aynı zamanda \( b \) sabit terimidir.)
• 👉 X eksenini kestiği noktayı bulma:
  Bir doğru, x eksenini kestiğinde y değeri \( 0 \) olur. Bu durumda, \( y = 0 \) değerini denklemde yerine koyarız:
  \( 0 = -2x + 6 \)
  Şimdi \( x \)'i bulmak için denklemi çözelim:
  \( 2x = 6 \)
  \( x = \frac{6}{2} \)
  \( x = 3 \)
  ✅ X eksenini kestiği nokta \( (3, 0) \)'dır.

Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemi \( y - y_1 = m(x - x_1) \) formülüyle bulunur. Burada \( m \) eğimi, \( (x_1, y_1) \) ise verilen noktayı temsil eder.

• 👉 Adım 1: Verilen değerleri formülde yerine koyalım:
  \( m = \frac{1}{2} \)
  \( (x_1, y_1) = (4, -1) \)
  \[ y - (-1) = \frac{1}{2}(x - 4) \]
• 👉 Adım 2: Denklemi düzenleyelim:
  \[ y + 1 = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \cdot 4 \] \[ y + 1 = \frac{1}{2}x - 2 \]
• 👉 Adım 3: \( y \)'yi yalnız bırakarak fonksiyon denklemini elde edelim:
  \[ y = \frac{1}{2}x - 2 - 1 \] \[ y = \frac{1}{2}x - 3 \]

✅ Doğrusal fonksiyonun denklemi \( y = \frac{1}{2}x - 3 \)'tür.

İki noktası verilen doğrunun denklemini bulmak için önce eğimi bulmalı, sonra bir nokta ve eğim formülünü kullanmalıyız.

• 👉 Adım 1: Eğim (m) hesaplayalım:
  \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{7 - 3}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2 \)
  Eğim \( m = 2 \).
• 👉 Adım 2: Şimdi \( m=2 \) eğimini ve noktalardan birini (örneğin \( K(1, 3) \)) kullanarak \( y - y_1 = m(x - x_1) \) formülünü uygulayalım:
  \[ y - 3 = 2(x - 1) \]
• 👉 Adım 3: Denklemi düzenleyelim:
  \[ y - 3 = 2x - 2 \] \[ y = 2x - 2 + 3 \] \[ y = 2x + 1 \]

✅ Doğrusal fonksiyonun denklemi \( y = 2x + 1 \)'dir.

Bu bir doğrusal ilişki problemidir. Uzaklık \( (y) \) ve zaman \( (x) \) arasında doğrusal bir ilişki olduğunu varsayabiliriz. Verilen bilgiler iki nokta olarak düşünülebilir: \( (x_1, y_1) = (10, 1200) \) ve \( (x_2, y_2) = (25, 3000) \).

• 👉 Adım 1: Koşucunun hızını (eğimini) bulalım.
  Hız, birim zamandaki yer değiştirme miktarıdır, yani uzaklık-zaman grafiğinin eğimidir.
  \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3000 - 1200}{25 - 10} = \frac{1800}{15} \] \[ m = 120 \] ✅ Koşucunun hızı \( 120 \) metre/dakikadır.
• 👉 Adım 2: Şimdi \( m = 120 \) eğimini ve noktalardan birini (örneğin \( (10, 1200) \)) kullanarak doğrusal fonksiyon denklemini \( y - y_1 = m(x - x_1) \) formülüyle yazalım:
  \[ y - 1200 = 120(x - 10) \]
• 👉 Adım 3: Denklemi düzenleyelim:
  \[ y - 1200 = 120x - 1200 \] \[ y = 120x - 1200 + 1200 \] \[ y = 120x \]

✅ Koşucunun uzaklığını veren doğrusal fonksiyon \( f(x) = 120x \) veya \( y = 120x \)'tir. Bu fonksiyon, koşucunun başlangıçtan itibaren hiç durmadan sabit hızla koştuğunu ve başlangıçta \( 0 \) metrede olduğunu gösterir.

Bu problemde, ödenecek toplam ücret \( (y) \) gidilen yolun uzunluğuna \( (x) \) doğrusal olarak bağlıdır.

• 👉 Adım 1: Doğrusal fonksiyonun genel formu \( y = ax + b \)'dir. Burada \( a \) eğimi (birim başına değişimi), \( b \) ise sabit başlangıç değerini (y eksenini kestiği noktayı) temsil eder.
• 👉 Adım 2: Problemdeki değerleri belirleyelim:
  Sabit açılış ücreti \( b = 15 \) TL'dir.
  Her kilometre başına alınan ücret (birim değişim) \( a = 8 \) TL'dir.
• 👉 Adım 3: Bu değerleri formülde yerine koyarak fonksiyon denklemini oluşturalım:
  \[ y = 8x + 15 \] ✅ Ödenecek toplam ücreti veren doğrusal fonksiyon \( y = 8x + 15 \)'tir.
• 👉 Adım 4: 12 km yolculuk için ödenecek ücreti hesaplayalım. Bunun için \( x = 12 \) değerini denklemde yerine koyarız:
  \( y = 8(12) + 15 \)
  \( y = 96 + 15 \)
  \( y = 111 \)
  ✅ 12 km yolculuk için \( 111 \) TL ödenir.

Bu problemde iki farklı doğrusal fonksiyon ve paralellik kavramı kullanılmıştır.

• 👉 Adım 1: İlk fonksiyonun denklemini bulalım:
  Verilenler: Eğim \( m_1 = -3 \) ve nokta \( A(-1, 5) \).
  \( y - y_1 = m(x - x_1) \) formülünü kullanalım:
  \[ y - 5 = -3(x - (-1)) \] \[ y - 5 = -3(x + 1) \] \[ y - 5 = -3x - 3 \] \[ y = -3x - 3 + 5 \] \[ y = -3x + 2 \] Bu, ilk doğrusal fonksiyonun denklemidir.
• 👉 Adım 2: İkinci fonksiyonun eğimini belirleyelim:
  İkinci fonksiyonun grafiği \( y = -3x + 7 \) doğrusuna paraleldir. Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir.
  \( y = -3x + 7 \) doğrusunun eğimi \( -3 \)'tür.
  Dolayısıyla, ikinci fonksiyonun eğimi de \( m_2 = -3 \) olmalıdır.
• 👉 Adım 3: İkinci fonksiyonun denklemini yazalım:
  Eğim \( m_2 = -3 \) ve nokta \( B(2, k) \).
  Yine \( y - y_1 = m(x - x_1) \) formülünü kullanalım:
  \[ y - k = -3(x - 2) \]
• 👉 Adım 4: \( B(2, k) \) noktası bu doğru üzerinde olduğu için, \( x=2 \) ve \( y=k \) değerleri denklemi sağlamalıdır. Zaten bu bilgiyi denklemi kurarken kullandık. Şimdi \( k \) değerini bulmak için, ikinci fonksiyonun denklemini \( y = -3x + 7 \) doğrusunun eğimi ile kurduğumuzu, ancak bu denklemin sadece eğimini bildiğimizi ve \( B(2, k) \) noktasından geçtiğini varsaydığımızı hatırlayalım. Aslında ikinci fonksiyonun denklemini bulmamıza gerek yok, sadece \( B(2, k) \) noktasının eğimi \( -3 \) olan bir doğru üzerinde olduğunu ve bu doğrunun \( y = -3x + 7 \) doğrusuna paralel olduğunu biliyoruz. Bu durumda ikinci doğrunun da denklemi \( y = -3x + c \) şeklinde olmalıdır. \( B(2, k) \) noktasını bu denklemde yerine koyarak \( c \) değerini bulabiliriz:
  \( k = -3(2) + c \)
  \( k = -6 + c \)
  Bu ifadeyi kullanarak \( k \)'yi bulamayız çünkü \( c \)'yi bilmiyoruz.
• 💡 Daha basit bir yaklaşım: İkinci doğrusal fonksiyonun denklemi \( y = -3x + c \) şeklindedir (eğimi \( -3 \) olduğu için). Bu fonksiyon \( B(2, k) \) noktasından geçtiği için, bu noktanın koordinatları fonksiyon denklemini sağlamalıdır.
  Yani, \( x=2 \) ve \( y=k \) değerlerini \( y = -3x + c \) denkleminde yerine koyabiliriz:
  \( k = -3(2) + c \)
  \( k = -6 + c \)
  Bu hala \( c \)'yi bulmadan \( k \)'yi bulmamızı sağlamıyor.
• 💡 Soruyu yeniden okuma ve daha doğru yaklaşım: "İkinci doğrusal fonksiyonun grafiği ise \( B(2, k) \) noktasından geçmekte ve \( y = -3x + 7 \) doğrusuna paraleldir." Bu ifade, aslında ikinci fonksiyonun da denkleminin \( y = -3x + c \) şeklinde olduğunu ve \( B(2, k) \) noktasının bu doğru üzerinde olduğunu söylüyor. Sorunun amacı \( k \) değerini bulmak. Eğer sadece paralel olduğunu belirtiyorsa, \( c \) sabit terimi farklı olabilir. Ancak, 9. sınıf müfredatında genellikle "paralel ve B noktasından geçen doğru" denirse, bu doğrunun denklemini yazıp B noktasını sağlaması beklenir.
• O zaman ikinci doğrunun denklemi: \( y = -3x + c \) olsun. Bu doğru \( B(2, k) \) noktasından geçiyorsa, bu noktayı denklemde yerine koyabiliriz:
  \( k = -3(2) + c \)
  \( k = -6 + c \)
  Burada \( c \)'yi bulmak için başka bir bilgiye ihtiyacımız var gibi duruyor. Ancak, eğer soru "ikinci doğrusal fonksiyonun grafiği \( y = -3x + 7 \) doğrusunun kendisi ise ve \( B(2, k) \) noktasından geçiyorsa" anlamında sorulmuşsa (ki bu seviyede böyle bir yorum daha olası), o zaman \( B(2, k) \) noktası \( y = -3x + 7 \) denklemini sağlamalıdır.
  Eğer "paraleldir" ifadesi sadece eğimi belirtmek için kullanılmışsa ve \( y = -3x + 7 \) doğrusunun kendisi değilse, o zaman \( k \) bulunamaz. Ancak 9. sınıf müfredatında "bir doğruya paralel ve bir noktadan geçen doğru" genellikle o eğimi kullanarak yeni bir doğru denklemi yazmayı gerektirir.
• Varsayalım ki soru, \( B(2, k) \) noktasının, \( y = -3x + 7 \) doğrusuna paralel olan ve kendisi de \( y = -3x + 7 \) doğrusu olan bir doğru üzerinde olduğunu ima ediyor. Bu durumda, \( B(2, k) \) noktası \( y = -3x + 7 \) denklemini sağlamalıdır:
  \( k = -3(2) + 7 \)
  \( k = -6 + 7 \)
  \( k = 1 \)
  ✅ Bu yorumla \( k = 1 \) bulunur.
• Eğer soru " \( y = -3x + 7 \) doğrusuna paralel olan VE \( B(2, k) \) noktasından geçen doğrunun y eksenini kestiği noktayı bulunuz" gibi olsaydı, o zaman \( y = -3x + k' \) şeklinde bir denklem kurup \( k = -3(2) + k' \) ifadesini kullanırdık. Ama burada direkt \( k \) değerini soruyor. 9. sınıf seviyesinde genellikle "paraleldir" ifadesi, "eğimi aynıdır" anlamında kullanılır ve verilen noktanın o doğruyu sağlaması beklenir. Yani, \( B(2, k) \) noktası \( y = -3x + 7 \) doğrusunun üzerinde kabul edilir, aksi takdirde \( k \) tek başına bulunamaz.