🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Doğrusal fonksiyon eşitsizlik Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Doğrusal fonksiyon eşitsizlik Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklem sisteminin çözüm kümesinin analitik düzlemdeki gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) Bir nokta B) Bir doğru C) İki doğrunun kesişimi D) Bir bölge
A) Bir nokta B) Bir doğru C) İki doğrunun kesişimi D) Bir bölge
Çözüm:
- Birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklem, analitik düzlemde bir doğruyu temsil eder.
- Denklem sisteminde birden fazla denklem varsa, bu denklemlerin her biri bir doğruyu temsil eder.
- Bu doğruların kesişimi, denklem sisteminin çözüm kümesini oluşturur.
- Ancak, soruda "birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklem sisteminin" değil, "birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklemin" çözüm kümesi soruluyor.
- Bu nedenle, tek bir denklem analitik düzlemde bir doğruyu temsil eder.
Örnek 2:
\( 2x + 3y < 6 \) eşitsizliğinin analitik düzlemdeki gösterimi için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) \( 2x + 3y = 6 \) doğrusunun kendisi ve üst kısmı B) \( 2x + 3y = 6 \) doğrusunun kendisi ve alt kısmı C) \( 2x + 3y = 6 \) doğrusunun üst kısmı (doğru dahil değil) D) \( 2x + 3y = 6 \) doğrusunun alt kısmı (doğru dahil değil)
A) \( 2x + 3y = 6 \) doğrusunun kendisi ve üst kısmı B) \( 2x + 3y = 6 \) doğrusunun kendisi ve alt kısmı C) \( 2x + 3y = 6 \) doğrusunun üst kısmı (doğru dahil değil) D) \( 2x + 3y = 6 \) doğrusunun alt kısmı (doğru dahil değil)
Çözüm:
- Öncelikle \( 2x + 3y = 6 \) doğrusunu çizeriz. Bu doğru, eşitsizliğin sınırını oluşturur.
- Eşitsizlikte '<' işareti olduğu için, doğru üzerindeki noktalar çözüm kümesine dahil değildir. Bu nedenle doğru kesikli çizgilerle gösterilir.
- Şimdi eşitsizliği sağlayan bir test noktası seçmeliyiz. Genellikle \( (0,0) \) noktası kolaylık sağlar.
- \( (0,0) \) noktasını eşitsizlikte yerine koyalım: \( 2(0) + 3(0) < 6 \implies 0 < 6 \).
- Bu ifade doğrudur. Bu, \( (0,0) \) noktasının bulunduğu bölgenin eşitsizliği sağladığı anlamına gelir.
- \( (0,0) \) noktası \( 2x + 3y = 6 \) doğrusunun alt kısmında yer alır.
Örnek 3:
\( x \ge 3 \) ve \( y \le 2 \) eşitsizlik sisteminin analitik düzlemdeki çözüm kümesi hangi bölgede bulunur?
Çözüm:
- İlk eşitsizlik \( x \ge 3 \) analitik düzlemde, \( x=3 \) doğrusunun kendisi ve sağ tarafındaki bölgeyi ifade eder. Bu doğru dikey bir doğrudur ve kesiksiz çizilir çünkü eşitsizlikte '=' işareti vardır.
- İkinci eşitsizlik \( y \le 2 \) analitik düzlemde, \( y=2 \) doğrusunun kendisi ve alt tarafındaki bölgeyi ifade eder. Bu doğru yatay bir doğrudur ve kesiksiz çizilir çünkü eşitsizlikte '=' işareti vardır.
- İki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi, her iki koşulu da sağlayan noktaların kesişimidir.
- Bu, \( x=3 \) doğrusunun sağında veya üzerinde ve \( y=2 \) doğrusunun altında veya üzerinde olan noktaların oluşturduğu bölgedir.
- Bu bölge, \( x \ge 3 \) ve \( y \le 2 \) koşullarını aynı anda sağlayan bir bölgedir.
Örnek 4:
\( y > x - 1 \) ve \( y \le -x + 3 \) eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini analitik düzlemde gösteriniz.
Çözüm:
- Adım 1: İlk eşitsizliği ele alalım: \( y > x - 1 \). Bu eşitsizliğin sınır doğrusu \( y = x - 1 \) olur. Bu doğrunun eğimi 1 ve y-keseni -1'dir. Eşitsizlikte '>' işareti olduğu için doğru kesikli çizilmelidir.
- Adım 2: Test noktası seçelim: \( (0,0) \) noktasını \( y > x - 1 \) eşitsizliğinde yerine koyalım: \( 0 > 0 - 1 \implies 0 > -1 \). Bu doğrudur. Bu nedenle, \( y > x - 1 \) eşitsizliğinin çözüm kümesi, \( y = x - 1 \) doğrusunun üst kısmıdır.
- Adım 3: İkinci eşitsizliği ele alalım: \( y \le -x + 3 \). Bu eşitsizliğin sınır doğrusu \( y = -x + 3 \) olur. Bu doğrunun eğimi -1 ve y-keseni 3'tür. Eşitsizlikte '≤' işareti olduğu için doğru kesiksiz çizilmelidir.
- Adım 4: Test noktası seçelim: \( (0,0) \) noktasını \( y \le -x + 3 \) eşitsizliğinde yerine koyalım: \( 0 \le -0 + 3 \implies 0 \le 3 \). Bu doğrudur. Bu nedenle, \( y \le -x + 3 \) eşitsizliğinin çözüm kümesi, \( y = -x + 3 \) doğrusunun alt kısmıdır.
- Adım 5: Çözüm kümesini belirleyelim: Sisteminin çözüm kümesi, her iki eşitsizliği de sağlayan noktaların kesişimidir. Bu, \( y = x - 1 \) doğrusunun üstündeki (doğru dahil değil) ve \( y = -x + 3 \) doğrusunun altındaki veya üzerindeki (doğru dahil) bölgenin kesişimidir.
Örnek 5:
Bir manav, kilogramı 5 TL'den elma ve kilogramı 8 TL'den portakal satmaktadır. Manavın günlük satacağı elma ve portakal miktarının toplamı en fazla 100 kilogramdır. Ayrıca, manavın bu satışlardan elde edeceği toplam gelirin en az 600 TL olmasını istemektedir. Elma miktarı \(x\) kg ve portakal miktarı \(y\) kg olduğuna göre, bu durumu ifade eden eşitsizlik sistemi aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
- Toplam Miktar Kısıtlaması: Manavın satacağı elma ve portakal miktarı toplamı en fazla 100 kg olabilir. Bu, \( x + y \le 100 \) eşitsizliği ile ifade edilir.
- Toplam Gelir Kısıtlaması: Elmanın kilogramı 5 TL ve portakalın kilogramı 8 TL'dir. Elde edilecek toplam gelirin en az 600 TL olması istenmektedir. Bu, \( 5x + 8y \ge 600 \) eşitsizliği ile ifade edilir.
- Miktar Kısıtlamaları: Satılan miktarlar negatif olamaz. Bu nedenle \( x \ge 0 \) ve \( y \ge 0 \) olmalıdır.
- Eşitsizlik Sistemi: Bu durumu ifade eden eşitsizlik sistemi şunlardır:
- \( x + y \le 100 \)
- \( 5x + 8y \ge 600 \)
- \( x \ge 0 \)
- \( y \ge 0 \)
Örnek 6:
Bir öğrenci, haftalık ders çalışma programı hazırlamaktadır. Matematik dersine ayıracağı süre \(m\) saat ve Fen Bilimleri dersine ayıracağı süre \(f\) saattir. Öğrenci, toplamda en fazla 20 saat ders çalışabilmektedir. Ayrıca, Matematik dersine Fen Bilimleri dersinden en az 4 saat daha fazla zaman ayırmak istemektedir. Bu durumu ifade eden eşitsizlik sistemi nedir?
Çözüm:
- Toplam Ders Süresi Kısıtlaması: Öğrenci toplamda en fazla 20 saat ders çalışabilir. Bu, \( m + f \le 20 \) eşitsizliği ile ifade edilir.
- Matematik Süresi Kısıtlaması: Matematik dersine (m) Fen Bilimleri dersinden (f) en az 4 saat daha fazla zaman ayırmak istiyor. Bu, \( m \ge f + 4 \) eşitsizliği ile ifade edilir.
- Süre Kısıtlamaları: Ders süreleri negatif olamaz. Bu nedenle \( m \ge 0 \) ve \( f \ge 0 \) olmalıdır.
- Eşitsizlik Sistemi: Bu durumu ifade eden eşitsizlik sistemi şunlardır:
- \( m + f \le 20 \)
- \( m \ge f + 4 \)
- \( m \ge 0 \)
- \( f \ge 0 \)
Örnek 7:
\( |x - 2| \le 3 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini analitik düzlemde gösteriniz.
Çözüm:
- Mutlak Değer Eşitsizliği: \( |a| \le b \) şeklindeki bir eşitsizlik, \( -b \le a \le b \) şeklinde yazılabilir.
- Uygulama: Bu kuralı \( |x - 2| \le 3 \) eşitsizliğine uygulayalım:
- \( -3 \le x - 2 \le 3 \)
- Eşitsizliği Çözme: Eşitsizliğin her tarafına 2 ekleyerek \(x\)'i yalnız bırakalım:
- \( -3 + 2 \le x - 2 + 2 \le 3 + 2 \)
- \( -1 \le x \le 5 \)
- Analitik Düzlemde Gösterim: Bu eşitsizlik, sayı doğrusunda -1 ile 5 arasındaki tüm sayıları (bu sayılar dahil) ifade eder. Analitik düzlemde ise bu, \( x = -1 \) ve \( x = 5 \) doğruları arasındaki bölgeyi temsil eder. Ancak, bu tek bir değişkenli olduğu için daha çok sayı doğrusu üzerinde gösterilir. Eğer iki bilinmeyenli bir sistem olsaydı, ilgili bölgeler çizilirdi.
Örnek 8:
Bir şirket, ürettiği iki farklı ürün için maliyet ve satış fiyatı belirleyecektir. Ürün A'nın birim maliyeti 10 TL, satış fiyatı 25 TL'dir. Ürün B'nin birim maliyeti 15 TL, satış fiyatı 30 TL'dir. Şirket, toplamda en fazla 500 adet ürün üretebilmektedir. Ayrıca, şirket toplam maliyetinin 6000 TL'yi geçmemesini ve toplam gelirinin en az 10000 TL olmasını istemektedir. Ürün A'dan üretilen adet \(a\) ve Ürün B'den üretilen adet \(b\) olduğuna göre, bu durumu ifade eden eşitsizlik sistemi aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
- Toplam Üretim Adedi Kısıtlaması: Şirket toplamda en fazla 500 adet ürün üretebilir.
- \( a + b \le 500 \)
- Toplam Maliyet Kısıtlaması: Ürün A'nın maliyeti 10 TL, Ürün B'nin maliyeti 15 TL'dir. Toplam maliyet 6000 TL'yi geçmemelidir.
- \( 10a + 15b \le 6000 \)
- Toplam Gelir Kısıtlaması: Ürün A'nın satış fiyatı 25 TL, Ürün B'nin satış fiyatı 30 TL'dir. Toplam gelir en az 10000 TL olmalıdır.
- \( 25a + 30b \ge 10000 \)
- Üretim Adedi Kısıtlamaları: Üretilen adetler negatif olamaz.
- \( a \ge 0 \)
- \( b \ge 0 \)
- Eşitsizlik Sistemi: Bu durumu ifade eden eşitsizlik sistemi şunlardır:
- \( a + b \le 500 \)
- \( 10a + 15b \le 6000 \)
- \( 25a + 30b \ge 10000 \)
- \( a \ge 0 \)
- \( b \ge 0 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-dogrusal-fonksiyon-esitsizlik/sorular