💡 9. Sınıf Matematik: Doğrusal Fonksiyon Denklemleri Çözümlü Örnekler

Bu soruda, verilen doğrusal fonksiyon denkleminde \( x \) yerine 4 yazarak fonksiyonun değerini hesaplayacağız.

• Fonksiyon denklemi: \( f(x) = 2x + 3 \)
• \( x \) yerine 4 yazalım: \( f(4) = 2 \times 4 + 3 \)
• Çarpma işlemini yapalım: \( f(4) = 8 + 3 \)
• Toplama işlemini yapalım: \( f(4) = 11 \)

Sonuç olarak, \( f(4) = 11 \) bulunur. ✅

Doğrusal bir fonksiyonun genel denklemi \( f(x) = ax + b \) şeklindedir. Verilen bilgileri kullanarak \( a \) ve \( b \) katsayılarını bulacağız.

• Verilenler: \( f(1) = 5 \) ve \( f(3) = 11 \)
• \( f(1) = a \times 1 + b = a + b = 5 \)
• \( f(3) = a \times 3 + b = 3a + b = 11 \)
• Bu iki denklemi ortak çözüm ile çözelim:
• \( (3a + b) - (a + b) = 11 - 5 \)
• \( 2a = 6 \)
• \( a = 3 \)
• Bulduğumuz \( a \) değerini \( a + b = 5 \) denkleminde yerine koyalım:
• \( 3 + b = 5 \)
• \( b = 5 - 3 \)
• \( b = 2 \)

Dolayısıyla, fonksiyonun denklemi \( f(x) = 3x + 2 \) olur. 🎉

Bir fonksiyonun \( x \)-eksenini kestiği nokta, \( y \) değerinin 0 olduğu noktadır. Bu durumda \( y \) yerine \( f(x) \) yazabiliriz.

• Fonksiyon denklemi: \( y = -x + 5 \)
• \( x \)-eksenini kestiği nokta için \( y = 0 \) olmalıdır.
• Denklemde \( y \) yerine 0 yazalım: \( 0 = -x + 5 \)
• \( x \) değerini bulmak için denklemi düzenleyelim: \( x = 5 \)

Fonksiyonun \( x \)-eksenini kestiği nokta \( (5, 0) \) noktasıdır. 👉

Bir fonksiyonun \( y \)-eksenini kestiği nokta, \( x \) değerinin 0 olduğu noktadır.

• Fonksiyon denklemi: \( y = 3x - 1 \)
• \( y \)-eksenini kestiği nokta için \( x = 0 \) olmalıdır.
• Denklemde \( x \) yerine 0 yazalım: \( y = 3 \times 0 - 1 \)
• Hesaplamayı yapalım: \( y = 0 - 1 \)
• \( y = -1 \)

Fonksiyonun \( y \)-eksenini kestiği noktanın koordinatları \( (0, -1) \) olur. ✅

Bu problemi bir doğrusal fonksiyon olarak modelleyebiliriz.

• Açılış ücreti sabit bir değer olduğu için bu, fonksiyonun sabit terimidir (b).
• Gidilen her kilometre için alınan ücret ise eğimdir (a).
• Fonksiyonun genel denklemi \( f(x) = ax + b \) şeklindedir, burada \( x \) gidilen mesafeyi (km) ve \( f(x) \) toplam ücreti (TL) temsil eder.
• Açılış ücreti: 10 TL, yani \( b = 10 \)
• Kilometre başına ücret: 4 TL, yani \( a = 4 \)

Bu değerleri genel denklemde yerine koyarsak, toplam ücreti gösteren fonksiyon denklemi \( f(x) = 4x + 10 \) olur. 💰

Bir doğrunun \( x \)-eksenini kestiği noktanın apsisi 3 ise, bu noktanın koordinatları \( (3, 0) \) demektir. Bu nokta, doğrunun denklemini sağlamalıdır.

• Doğrunun denklemi: \( y = 2x + k \)
• \( x \)-eksenini kestiği nokta: \( (3, 0) \)
• Bu noktayı denklemde yerine koyalım: \( 0 = 2 \times 3 + k \)
• Hesaplamayı yapalım: \( 0 = 6 + k \)
• \( k \) değerini bulmak için denklemi çözelim: \( k = -6 \)

Dolayısıyla, \( k \) değeri -6'dır. 👍

Bu durumu bir doğrusal fonksiyonla ifade edebiliriz.

• Başlangıçtaki su miktarı, fonksiyonun sabit terimidir.
• Saniyede eklenen su miktarı, fonksiyonun eğimidir.
• Fonksiyonun genel denklemi \( V(t) = mt + c \) şeklindedir, burada \( t \) saniye ve \( V(t) \) depodaki su miktarını (litre) temsil eder.
• Başlangıçtaki su miktarı: 50 litre, yani \( c = 50 \)
• Saniyede eklenen su miktarı: 2 litre, yani \( m = 2 \)

Bu değerleri denklemde yerine koyarsak, depodaki su miktarını gösteren fonksiyon denklemi \( V(t) = 2t + 50 \) olur. 📈

İki fonksiyonun grafiğinin \( y \)-ekseninde kesişmesi demek, her iki fonksiyonun da \( y \)-eksenini aynı noktada kesmesi demektir. Bir fonksiyonun \( y \)-eksenini kestiği nokta, \( x=0 \) iken aldığı değerdir.

• \( f(x) \) fonksiyonunun \( y \)-eksenini kestiği nokta:
• \( f(0) = a \times 0 - 4 = -4 \)
• Yani, \( f(x) \) fonksiyonu \( (0, -4) \) noktasında keser.
• \( g(x) \) fonksiyonunun \( y \)-eksenini kestiği nokta:
• \( g(0) = 3 \times 0 + b = b \)
• Yani, \( g(x) \) fonksiyonu \( (0, b) \) noktasında keser.
• Bu iki nokta aynı olduğuna göre:
• \( -4 = b \)

Bu durumda, \( b = -4 \) olur. \( a \) değeri ise bu kesişim noktası için herhangi bir değer alabilir. Ancak soruda \( a \) ve \( b \) arasındaki ilişki sorulmuş. \( y \)-ekseninde kesişme noktası \( (0, -4) \) olduğundan, \( f(x) \) için \( a \) ne olursa olsun \( y \)-keseni -4'tür. \( g(x) \) için ise \( y \)-keseni \( b \) olduğundan, \( b \) kesinlikle -4 olmalıdır. Bu durumda \( a \) ve \( b \) arasındaki ilişkiyi doğrudan bir denklemle ifade etmek yerine, \( b \)'nin sabit bir değer aldığını görüyoruz. Eğer soruda eğimleri hakkında bir bilgi verilseydi, \( a \) ile ilgili bir ilişki de bulabilirdik. Ancak mevcut bilgilerle \( b = -4 \) sonucuna ulaşırız. Bu, \( a \) ve \( b \) arasındaki ilişkinin \( b = -4 \) olduğu anlamına gelir. 🔗