💡 9. Sınıf Matematik: Doğrusal Fonksiyon Denklemleri Ve Eşitsizlikler Çözümlü Örnekler

Bu tür doğrusal fonksiyonların grafiği her zaman bir doğrudur. Grafiği çizmek için fonksiyonun geçtiği iki nokta yeterlidir.

• x = 0 için: \( f(0) = 3(0) - 2 = -2 \). Nokta: \( (0, -2) \)
• x = 1 için: \( f(1) = 3(1) - 2 = 1 \). Nokta: \( (1, 1) \)

Bu iki noktayı koordinat düzleminde işaretleyip birleştirdiğimizde fonksiyonun grafiğini elde ederiz. 💡

Doğrusal fonksiyon denklemlerinin genel formu \( y = mx + n \) şeklindedir.
Burada \( m \) doğrunun eğimini, \( n \) ise y-kesen noktasının y-koordinatını temsil eder.

• Verilen denklem \( y = 2x + 5 \) olduğundan, \( m = 2 \) ve \( n = 5 \)'tir.
• Dolayısıyla, doğrunun eğimi 2'dir.
• Doğru, y-eksenini (0, 5) noktasında keser.

📌 Eğim, doğrunun x-eksenini kestiği noktadan itibaren ne kadar dik olduğunu gösterir.

İki doğrunun birbirine göre durumunu belirlemek için eğimlerini karşılaştırırız.

• Eğer \( m_1 = m_2 \) ise doğrular paraleldir.
• Eğer \( m_1 \cdot m_2 = -1 \) ise doğrular dik kesişir.
• Eğer \( m_1 \neq m_2 \) ve \( m_1 \cdot m_2 \neq -1 \) ise doğrular kesişir ancak dik değildir.

Verilen eğimler: \( m_1 = \frac{1}{2} \) ve \( m_2 = -2 \).
Şimdi çarpımlarını hesaplayalım: \[ m_1 \cdot m_2 = \frac{1}{2} \cdot (-2) = -1 \] Çarpımları -1 olduğuna göre, bu iki doğru dik kesişir. ✅

Öncelikle fonksiyonun grafiğinin x-eksenini nerede kestiğini bulmalıyız. Bu, \( f(x) = 0 \) denkleminin çözümüdür.

• \( -x + 4 = 0 \)
• \( x = 4 \)

Fonksiyonun y-eksenini kestiği noktayı bulmak için \( x = 0 \) alırız:

• \( f(0) = -0 + 4 = 4 \)

Grafik, x-eksenini (4, 0) noktasında, y-eksenini ise (0, 4) noktasında keser. Bu iki nokta ve orijin (0, 0) ile bir dik üçgen oluşur.

• Bu dik üçgenin dik kenarları x-ekseni üzerindeki 4 birim ve y-ekseni üzerindeki 4 birimdir.
• Üçgenin alanı: \( \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = \frac{1}{2} \times 16 = 8 \) birimkaredir.

Alan 8 birimkaredir. 📐

Kar etmeye başlayabilmek için toplam gelir, toplam maliyetten fazla olmalıdır.
Önce toplam gelir ve toplam maliyet denklemlerini kuralım.

• Toplam Maliyet: \( M(x) = 15000x + 200000 \) TL
• Toplam Gelir: \( G(x) = 25000x \) TL (Her araç 25000 TL'ye satılırsa)

Kar etmek için \( G(x) > M(x) \) olmalıdır.

• \( 25000x > 15000x + 200000 \)
• Her iki taraftan \( 15000x \) çıkaralım: \( 25000x - 15000x > 200000 \)
• \( 10000x > 200000 \)
• Her iki tarafı 10000'e bölelim: \( x > \frac{200000}{10000} \)
• \( x > 20 \)

Üretici 20'den fazla araç satarsa kar etmeye başlar. En az 21 araç satmalıdır. 📈

Bu durumu bir doğrusal fonksiyon ile ifade edebiliriz. Fonksiyonun genel formu \( f(x) = mx + n \) olacaktır.
Burada \( x \) gidilen mesafeyi (km), \( f(x) \) ise toplam ücreti (TL) temsil eder.

• Açılış ücreti (sabit terim): \( n = 10 \) TL
• Kilometre başına ücret (eğim): \( m = 5 \) TL/km

Bu durumda doğrusal fonksiyonumuz şu şekildedir: \[ f(x) = 5x + 10 \] Şimdi 15 km'lik bir yolculuğun ücretini hesaplayalım:

• \( x = 15 \) km
• \( f(15) = 5(15) + 10 \)
• \( f(15) = 75 + 10 \)
• \( f(15) = 85 \) TL

15 km'lik yolculuğun ücreti 85 TL'dir. 🚕

Öncelikle doğrunun x ve y eksenlerini kestiği noktaları bulmalıyız.

• x-eksenini kestiği nokta (y=0):
• \( 2x + 3(0) - 12 = 0 \)
• \( 2x - 12 = 0 \)
• \( 2x = 12 \)
• \( x = 6 \)
Bu nokta (6, 0)'dır.
• y-eksenini kestiği nokta (x=0):
• \( 2(0) + 3y - 12 = 0 \)
• \( 3y - 12 = 0 \)
• \( 3y = 12 \)
• \( y = 4 \)
Bu nokta (0, 4)'tür.

Doğrunun grafiği, eksenler ve bu iki nokta ile bir dik üçgen oluşturur. Bu dik üçgenin dik kenarları x-ekseni üzerinde 6 birim ve y-ekseni üzerinde 4 birimdir.

• Üçgenin alanı: \( \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = \frac{1}{2} \times 24 = 12 \) birimkaredir.

Kapalı bölgenin alanı 12 birimkaredir. 🏞️

Her iki tarifenin aylık ücretini veren doğrusal fonksiyonları yazalım. \( x \) GB internet kullanımı olsun.

• Tarife A: \( A(x) = 2x + 50 \)
• Tarife B: \( B(x) = 1.5x + 80 \)

Hangi tarifenin daha avantajlı olduğunu bulmak için iki fonksiyonu birbirine eşitleyerek maliyetlerin eşit olduğu noktayı buluruz. Bu nokta, tarifelerin avantajının değiştiği yerdir.

• \( A(x) = B(x) \)
• \( 2x + 50 = 1.5x + 80 \)
• \( 2x - 1.5x = 80 - 50 \)
• \( 0.5x = 30 \)
• \( x = \frac{30}{0.5} \)
• \( x = 60 \) GB

Eğer 60 GB'dan az internet kullanılırsa, Tarife A daha ucuzdur (çünkü eğimi daha yüksektir ama sabit ücreti düşüktür).
Eğer 60 GB'dan fazla internet kullanılırsa, Tarife B daha ucuzdur (çünkü sabit ücreti yüksek ama GB başına ücreti düşüktür).
Tam olarak 60 GB kullanıldığında her iki tarife de aynı ücrete gelir. ⚖️