🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Doğrusal denklemler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Doğrusal denklemler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklem sistemi veriliyor:
\[ 2x + y = 7 \]
\[ x - y = 2 \]
Bu denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz. 🧐
\[ 2x + y = 7 \]
\[ x - y = 2 \]
Bu denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz. 🧐
Çözüm:
Bu denklem sistemini çözmek için yok etme veya yerine koyma yöntemlerini kullanabiliriz. Yok etme yöntemi bu örnek için daha pratiktir.
- 1. Adım: Denklemleri Toplama
İki denklemi taraf tarafa toplayarak 'y' değişkenini yok edelim:
\( (2x + y) + (x - y) = 7 + 2 \)
\( 2x + y + x - y = 9 \)
\( 3x = 9 \) - 2. Adım: x'i Bulma
Elde ettiğimiz denklemden 'x' değerini bulalım:
\( 3x = 9 \)
\( x = \frac{9}{3} \)
\( x = 3 \) - 3. Adım: y'yi Bulma
Bulduğumuz 'x' değerini denklemlerden birine yerine koyarak 'y' değerini bulalım. İlk denklemi kullanalım:
\( 2x + y = 7 \)
\( 2(3) + y = 7 \)
\( 6 + y = 7 \)
\( y = 7 - 6 \)
\( y = 1 \) - 4. Adım: Çözüm Kümesi
Denklem sisteminin çözüm kümesi (x, y) ikilisidir:
Çözüm Kümesi = \( \{ (3, 1) \} \) ✅
Örnek 2:
Bir manav, elmaların kilogramını 4 TL'den, portakalların kilogramını ise 3 TL'den satmaktadır.
Bir gün toplam 10 kg meyve satan manav, bu satıştan 34 TL gelir elde etmiştir.
Bu manav kaç kilogram elma ve kaç kilogram portakal satmıştır? 🍎🍊
Bir gün toplam 10 kg meyve satan manav, bu satıştan 34 TL gelir elde etmiştir.
Bu manav kaç kilogram elma ve kaç kilogram portakal satmıştır? 🍎🍊
Çözüm:
Bu problemi doğrusal denklem sistemi kurarak çözebiliriz.
- 1. Adım: Değişkenleri Tanımlama
Satılan elma miktarına \( e \) kg, satılan portakal miktarına \( p \) kg diyelim. - 2. Adım: Denklem Sistemini Kurma
Toplam meyve miktarı denklemi:
\( e + p = 10 \) (Denklem 1)
Toplam gelir denklemi (Elma fiyatı elma miktarı + Portakal fiyatı portakal miktarı):
\( 4e + 3p = 34 \) (Denklem 2) - 3. Adım: Denklem 1'i Düzenleme
Denklem 1'den 'p'yi çekelim:
\( p = 10 - e \) - 4. Adım: Yerine Koyma Yöntemi
Bulduğumuz 'p' değerini Denklem 2'ye yerine koyalım:
\( 4e + 3(10 - e) = 34 \)
\( 4e + 30 - 3e = 34 \)
\( e + 30 = 34 \)
\( e = 34 - 30 \)
\( e = 4 \) kg elma satılmıştır. - 5. Adım: Portakal Miktarını Bulma
Bulduğumuz 'e' değerini Denklem 1'e yerine koyarak 'p'yi bulalım:
\( 4 + p = 10 \)
\( p = 10 - 4 \)
\( p = 6 \) kg portakal satılmıştır. - 6. Adım: Sonuç
Manav 4 kg elma ve 6 kg portakal satmıştır. ✅
Örnek 3:
Bir otoparkta otomobil ve motosikletler bulunmaktadır.
Otoparktaki toplam araç sayısı 25, toplam tekerlek sayısı ise 70'tir.
Bu otoparkta kaç tane otomobil ve kaç tane motosiklet olduğunu bulunuz. 🚗🏍️
Otoparktaki toplam araç sayısı 25, toplam tekerlek sayısı ise 70'tir.
Bu otoparkta kaç tane otomobil ve kaç tane motosiklet olduğunu bulunuz. 🚗🏍️
Çözüm:
Bu tür problemleri çözmek için bilinmeyen sayısını ve tekerlek sayısını kullanarak iki bilinmeyenli denklem sistemi kurabiliriz.
- 1. Adım: Değişkenleri Tanımlama
Otoparktaki otomobil sayısına \( o \), motosiklet sayısına \( m \) diyelim. - 2. Adım: Denklem Sistemini Kurma
Toplam araç sayısı denklemi:
\( o + m = 25 \) (Denklem 1)
Toplam tekerlek sayısı denklemi (Otomobilin 4 tekerleği, motosikletin 2 tekerleği vardır):
\( 4o + 2m = 70 \) (Denklem 2) - 3. Adım: Denklem 1'i Düzenleme
Denklem 1'den 'm'yi çekelim:
\( m = 25 - o \) - 4. Adım: Yerine Koyma Yöntemi
Bulduğumuz 'm' değerini Denklem 2'ye yerine koyalım:
\( 4o + 2(25 - o) = 70 \)
\( 4o + 50 - 2o = 70 \)
\( 2o + 50 = 70 \)
\( 2o = 70 - 50 \)
\( 2o = 20 \)
\( o = \frac{20}{2} \)
\( o = 10 \) tane otomobil vardır. - 5. Adım: Motosiklet Sayısını Bulma
Bulduğumuz 'o' değerini Denklem 1'e yerine koyarak 'm'yi bulalım:
\( 10 + m = 25 \)
\( m = 25 - 10 \)
\( m = 15 \) tane motosiklet vardır. - 6. Adım: Sonuç
Otoparkta 10 otomobil ve 15 motosiklet bulunmaktadır. 👍
Örnek 4:
Bir kırtasiyede kalemler 2 TL, defterler ise 5 TL'den satılmaktadır.
Ali'nin 30 TL parası vardır ve bu paranın tamamıyla kalem ve defter almak istiyor.
Ali'nin alabileceği kalem ve defter sayılarının olası durumlarını listeleyiniz. ✏️📓
Ali'nin 30 TL parası vardır ve bu paranın tamamıyla kalem ve defter almak istiyor.
Ali'nin alabileceği kalem ve defter sayılarının olası durumlarını listeleyiniz. ✏️📓
Çözüm:
Bu problemde, Ali'nin alabileceği kalem ve defter sayılarının toplam maliyetinin 30 TL'ye eşit olması gerekmektedir. Kalem sayısına \( k \), defter sayısına \( d \) diyelim.
- 1. Adım: Denklemi Kurma
Kalemlerin toplam fiyatı \( 2k \), defterlerin toplam fiyatı \( 5d \) olacaktır. Toplam harcanan para 30 TL'dir:
\( 2k + 5d = 30 \) - 2. Adım: Olası Durumları Bulma
Bu denklemde 'd' (defter sayısı) değeri arttıkça 'k' (kalem sayısı) azalacaktır. Defter sayısı en fazla kaç olabilir? Eğer sadece defter alırsa 30/5 = 6 defter alabilir. Kalem sayısı negatif olamayacağı için 'd' ve 'k' pozitif tam sayılar olmalıdır (veya sıfır).
* Eğer \( d = 0 \) ise: \( 2k + 5(0) = 30 \implies 2k = 30 \implies k = 15 \). (15 kalem, 0 defter) - * Eğer \( d = 1 \) ise: \( 2k + 5(1) = 30 \implies 2k = 25 \). Burada 'k' tam sayı çıkmaz.
- * Eğer \( d = 2 \) ise: \( 2k + 5(2) = 30 \implies 2k + 10 = 30 \implies 2k = 20 \implies k = 10 \). (10 kalem, 2 defter)
- * Eğer \( d = 3 \) ise: \( 2k + 5(3) = 30 \implies 2k + 15 = 30 \implies 2k = 15 \). Burada 'k' tam sayı çıkmaz.
- * Eğer \( d = 4 \) ise: \( 2k + 5(4) = 30 \implies 2k + 20 = 30 \implies 2k = 10 \implies k = 5 \). (5 kalem, 4 defter)
- * Eğer \( d = 5 \) ise: \( 2k + 5(5) = 30 \implies 2k + 25 = 30 \implies 2k = 5 \). Burada 'k' tam sayı çıkmaz.
- * Eğer \( d = 6 \) ise: \( 2k + 5(6) = 30 \implies 2k + 30 = 30 \implies 2k = 0 \implies k = 0 \). (0 kalem, 6 defter)
- 3. Adım: Olası Durumlar Listesi
Ali'nin alabileceği olası kalem ve defter sayıları şunlardır:
- 15 kalem ve 0 defter
- 10 kalem ve 2 defter
- 5 kalem ve 4 defter
- 0 kalem ve 6 defter
Örnek 5:
Aşağıdaki doğrusal denklemde, eğer \( x = 5 \) ise \( y \) değeri kaç olur?
\[ y = 3x - 4 \]
Bulunuz. 🤔
\[ y = 3x - 4 \]
Bulunuz. 🤔
Çözüm:
Bu denklemde \( x \) yerine verilen değeri koyarak \( y \) değerini hesaplayabiliriz.
- 1. Adım: x Değerini Yerine Koyma
Verilen denklem \( y = 3x - 4 \) ve \( x = 5 \). Denkleme \( x \) yerine 5 yazalım:
\( y = 3(5) - 4 \) - 2. Adım: Çarpma İşlemini Yapma
Önce çarpma işlemini yapalım:
\( y = 15 - 4 \) - 3. Adım: Çıkarma İşlemini Yapma
Son olarak çıkarma işlemini yaparak \( y \) değerini bulalım:
\( y = 11 \) - 4. Adım: Sonuç
Eğer \( x = 5 \) ise, \( y \) değeri 11 olur. ✅
Örnek 6:
Bir çiftçi, tarlasına domates ve salatalık ekmiştir.
Toplam 50 sıra ekim yapılmış ve domates sıralarının sayısı, salatalık sıralarının sayısının 2 katından 5 fazladır.
Bu çiftçi kaç sıra domates ve kaç sıra salatalık ekmiştir? 🍅🥒
Toplam 50 sıra ekim yapılmış ve domates sıralarının sayısı, salatalık sıralarının sayısının 2 katından 5 fazladır.
Bu çiftçi kaç sıra domates ve kaç sıra salatalık ekmiştir? 🍅🥒
Çözüm:
Bu problemi çözmek için iki bilinmeyenli bir denklem sistemi kurabiliriz.
- 1. Adım: Değişkenleri Tanımlama
Domates ekilen sıra sayısına \( d \), salatalık ekilen sıra sayısına \( s \) diyelim. - 2. Adım: Denklem Sistemini Kurma
Toplam sıra sayısı denklemi:
\( d + s = 50 \) (Denklem 1)
Domates sıralarının sayısı, salatalık sıralarının sayısının 2 katından 5 fazladır:
\( d = 2s + 5 \) (Denklem 2) - 3. Adım: Yerine Koyma Yöntemi
Denklem 2'deki \( d \) değerini Denklem 1'e yerine koyalım:
\( (2s + 5) + s = 50 \)
\( 3s + 5 = 50 \)
\( 3s = 50 - 5 \)
\( 3s = 45 \)
\( s = \frac{45}{3} \)
\( s = 15 \) sıra salatalık ekilmiştir. - 4. Adım: Domates Sıra Sayısını Bulma
Bulduğumuz \( s \) değerini Denklem 1'e yerine koyarak \( d \) değerini bulalım:
\( d + 15 = 50 \)
\( d = 50 - 15 \)
\( d = 35 \) sıra domates ekilmiştir. - 5. Adım: Sonuç
Çiftçi 35 sıra domates ve 15 sıra salatalık ekmiştir. 💯
Örnek 7:
Bir sınıfta erkek ve kız öğrencilerin toplam sayısı 40'tır.
Erkek öğrencilerin sayısının 3 katı, kız öğrencilerin sayısının 2 katından 10 fazladır.
Bu sınıfta kaç erkek ve kaç kız öğrenci bulunmaktadır? 👨🎓👩🎓
Erkek öğrencilerin sayısının 3 katı, kız öğrencilerin sayısının 2 katından 10 fazladır.
Bu sınıfta kaç erkek ve kaç kız öğrenci bulunmaktadır? 👨🎓👩🎓
Çözüm:
Bu problemi çözmek için yine iki bilinmeyenli bir denklem sistemi kuracağız.
- 1. Adım: Değişkenleri Tanımlama
Erkek öğrenci sayısına \( e \), kız öğrenci sayısına \( k \) diyelim. - 2. Adım: Denklem Sistemini Kurma
Toplam öğrenci sayısı denklemi:
\( e + k = 40 \) (Denklem 1)
Erkek öğrencilerin sayısının 3 katı, kız öğrencilerin sayısının 2 katından 10 fazladır:
\( 3e = 2k + 10 \) (Denklem 2) - 3. Adım: Denklem 1'i Düzenleme
Denklem 1'den \( k \) değerini çekelim:
\( k = 40 - e \) - 4. Adım: Yerine Koyma Yöntemi
Bulduğumuz \( k \) değerini Denklem 2'ye yerine koyalım:
\( 3e = 2(40 - e) + 10 \)
\( 3e = 80 - 2e + 10 \)
\( 3e = 90 - 2e \)
\( 3e + 2e = 90 \)
\( 5e = 90 \)
\( e = \frac{90}{5} \)
\( e = 18 \) tane erkek öğrenci vardır. - 5. Adım: Kız Öğrenci Sayısını Bulma
Bulduğumuz \( e \) değerini Denklem 1'e yerine koyarak \( k \) değerini bulalım:
\( 18 + k = 40 \)
\( k = 40 - 18 \)
\( k = 22 \) tane kız öğrenci vardır. - 6. Adım: Sonuç
Bu sınıfta 18 erkek ve 22 kız öğrenci bulunmaktadır. 🎉
Örnek 8:
Bir elektronik mağazasında A marka televizyonlar 2000 TL'ye, B marka televizyonlar ise 3000 TL'ye satılmaktadır.
Bir günde toplam 15 televizyon satılmış ve toplam satış geliri 35000 TL olmuştur.
Bu satışta kaç tane A marka ve kaç tane B marka televizyon satılmıştır? 📺
Bir günde toplam 15 televizyon satılmış ve toplam satış geliri 35000 TL olmuştur.
Bu satışta kaç tane A marka ve kaç tane B marka televizyon satılmıştır? 📺
Çözüm:
Bu problemi çözmek için yine iki bilinmeyenli bir denklem sistemi kullanacağız.
- 1. Adım: Değişkenleri Tanımlama
Satılan A marka televizyon sayısına \( a \), B marka televizyon sayısına \( b \) diyelim. - 2. Adım: Denklem Sistemini Kurma
Toplam satılan televizyon sayısı denklemi:
\( a + b = 15 \) (Denklem 1)
Toplam satış geliri denklemi:
\( 2000a + 3000b = 35000 \) (Denklem 2) - 3. Adım: Denklem 2'yi Sadeleştirme
Denklem 2'deki tüm terimleri 1000'e bölerek sadeleştirebiliriz:
\( 2a + 3b = 35 \) (Sadeleştirilmiş Denklem 2) - 4. Adım: Denklem 1'i Düzenleme
Denklem 1'den \( a \) değerini çekelim:
\( a = 15 - b \) - 5. Adım: Yerine Koyma Yöntemi
Bulduğumuz \( a \) değerini Sadeleştirilmiş Denklem 2'ye yerine koyalım:
\( 2(15 - b) + 3b = 35 \)
\( 30 - 2b + 3b = 35 \)
\( 30 + b = 35 \)
\( b = 35 - 30 \)
\( b = 5 \) tane B marka televizyon satılmıştır. - 6. Adım: A Marka Televizyon Sayısını Bulma
Bulduğumuz \( b \) değerini Denklem 1'e yerine koyarak \( a \) değerini bulalım:
\( a + 5 = 15 \)
\( a = 15 - 5 \)
\( a = 10 \) tane A marka televizyon satılmıştır. - 7. Adım: Sonuç
Mağazada 10 adet A marka ve 5 adet B marka televizyon satılmıştır. 🚀
Örnek 9:
Bir kütüphanede romanlar 8 TL, hikaye kitapları ise 5 TL'ye kiralanmaktadır.
Ayşe, kütüphaneden toplam 12 kitap kiralamış ve toplam 78 TL ödemiştir.
Ayşe kaç tane roman ve kaç tane hikaye kitabı kiralamıştır? 📚
Ayşe, kütüphaneden toplam 12 kitap kiralamış ve toplam 78 TL ödemiştir.
Ayşe kaç tane roman ve kaç tane hikaye kitabı kiralamıştır? 📚
Çözüm:
Bu problemi çözmek için yine iki bilinmeyenli bir denklem sistemi kuracağız.
- 1. Adım: Değişkenleri Tanımlama
Kiralanan roman sayısına \( r \), hikaye kitabı sayısına \( h \) diyelim. - 2. Adım: Denklem Sistemini Kurma
Toplam kitap sayısı denklemi:
\( r + h = 12 \) (Denklem 1)
Toplam ödenen para denklemi:
\( 8r + 5h = 78 \) (Denklem 2) - 3. Adım: Denklem 1'i Düzenleme
Denklem 1'den \( h \) değerini çekelim:
\( h = 12 - r \) - 4. Adım: Yerine Koyma Yöntemi
Bulduğumuz \( h \) değerini Denklem 2'ye yerine koyalım:
\( 8r + 5(12 - r) = 78 \)
\( 8r + 60 - 5r = 78 \)
\( 3r + 60 = 78 \)
\( 3r = 78 - 60 \)
\( 3r = 18 \)
\( r = \frac{18}{3} \)
\( r = 6 \) tane roman kiralanmıştır. - 5. Adım: Hikaye Kitabı Sayısını Bulma
Bulduğumuz \( r \) değerini Denklem 1'e yerine koyarak \( h \) değerini bulalım:
\( 6 + h = 12 \)
\( h = 12 - 6 \)
\( h = 6 \) tane hikaye kitabı kiralanmıştır. - 6. Adım: Sonuç
Ayşe 6 roman ve 6 hikaye kitabı kiralamıştır. 🥳
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-dogrusal-denklemler/sorular