💡 9. Sınıf Matematik: Doğruda açılar Çözümlü Örnekler

Bu soruda temel açı kurallarını uygulayacağız:

• Ters Açılar: Kesişen iki doğrunun oluşturduğu, köşeleri aynı ve ışınları zıt olan açılardır. Ters açıların ölçüleri eşittir.
• Yöndeş Açılar: Paralel iki doğruyu kesen bir doğrunun, aynı yöne bakan açılardır. Yöndeş açıların ölçüleri eşittir.
• İç Ters Açılar: Paralel iki doğru arasında kalan ve zıt yönlere bakan açılardır. İç ters açıların ölçüleri eşittir.

Verilen açı \(55^\circ\) ise:

• Bu açının ters açısı da \(55^\circ\) olur.
• Bu açıyla yöndeş olan açı da \(55^\circ\) olur.
• Bu açıyla iç ters açı olan açı da \(55^\circ\) olur.
• Doğrusal açıyı oluşturan diğer açı ise \(180^\circ - 55^\circ = 125^\circ\) olur. Bu \(125^\circ\)'lik açının ters açısı ve yöndeş açısı da \(125^\circ\) olacaktır.

Bu şekilde tüm açılar birbirine bağlı olarak bulunur. ✅

İç ters açıların ölçüleri birbirine eşit olduğundan, verilen ifadeleri eşitleyerek \(x\) değerini bulabiliriz: \[ x + 10^\circ = 2x - 30^\circ \] Şimdi denklemi çözelim:

• Her iki taraftan \(x\) çıkaralım: \(10^\circ = x - 30^\circ\)
• Her iki tarafa \(30^\circ\) ekleyelim: \(10^\circ + 30^\circ = x\)
• Bu durumda \(x = 40^\circ\) bulunur.

Şimdi bu \(x\) değerini kullanarak açılardan birinin ölçüsünü hesaplayalım:

• İlk açı: \(x + 10^\circ = 40^\circ + 10^\circ = 50^\circ\)
• İkinci açı (iç tersi): \(2x - 30^\circ = 2(40^\circ) - 30^\circ = 80^\circ - 30^\circ = 50^\circ\)

Görüldüğü gibi her iki açı da \(50^\circ\) olarak bulunur, bu da iç ters açıların eşitliği kuralını doğrular. 👉

Yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşit olduğu için, verilen ifadeleri eşitleyerek \(y\) değerini bulabiliriz: \[ y = y + 20^\circ \] Bu denklemde bir tutarsızlık var gibi görünüyor. Yöndeş açıların eşit olması gerektiği bilgisiyle, bu tür bir ifade \(20^\circ = 0\) gibi bir sonuca ulaşır ki bu mümkün değildir.
Bu durum, soruda verilen açıların yöndeş olamayacağını veya soruda bir hata olduğunu gösterir.
Önemli Not: Yöndeş açıların eşitliği her zaman korunmalıdır. Eğer soruda böyle bir durumla karşılaşırsanız, verilen bilgileri tekrar kontrol etmelisiniz.
Varsayımsal Düzeltme: Eğer soruda "iç ters" açı olsaydı, \(y = y + 20^\circ\) yine bir tutarsızlık yaratırdı. Eğer "karşı durumlu iç açılar" olsaydı, toplamları \(180^\circ\) olurdu: \(y + (y + 20^\circ) = 180^\circ \Rightarrow 2y + 20^\circ = 180^\circ \Rightarrow 2y = 160^\circ \Rightarrow y = 80^\circ\) olurdu.
Bu nedenle, sorunun orijinal haliyle çözümü mümkün değildir. ❌

Bu problemi adım adım çözelim:

1. Zemin ve Kolon İlişkisi: Zemindeki doğru parçası ile kolonun dik olduğu belirtilmiştir. Diklik, \(90^\circ\)'lik bir açı anlamına gelir. Yani, kolon zemindeki doğru parçasıyla \(90^\circ\)'lik bir açı yapmaktadır.
2. Kolon ve Destek Çubuğu İlişkisi: Destek çubuğu, kolonla \(120^\circ\)'lik bir açı yapmaktadır.
3. Destek Çubuğunun Zemine Göre Açısı: Bizden istenen, destek çubuğunun zemindeki doğru parçasıyla yaptığı açılardan biridir.

Şimdi bu bilgileri birleştirelim:

• Kolon, zemine \(90^\circ\) açıyla duruyor.
• Destek çubuğu, kolonla \(120^\circ\) açı yapıyor.

Destek çubuğunun zemine göre yaptığı açılardan biri, kolonun zemine yaptığı açı ile destek çubuğunun kolona yaptığı açının toplamı veya farkı şeklinde düşünülebilir. Ancak burada dikkat etmemiz gereken, açıların yönleridir.
Kolonun zemine yaptığı \(90^\circ\)'lik açıya göre, destek çubuğunun kolona yaptığı \(120^\circ\)'lik açının bir ucu kolon üzerindedir.
Destek çubuğunun zemine yaptığı açılardan biri, kolonun zemine yaptığı \(90^\circ\)'lik açı ile destek çubuğunun kolona yaptığı \(120^\circ\)'lik açının oluşturduğu toplam açıdan farklı olacaktır.
Aslında, destek çubuğunun kolona yaptığı \(120^\circ\)'lik açı, kolonun zemine yaptığı \(90^\circ\)'lik açının "dışında" kalmaktadır.
Bu durumda, destek çubuğunun zemine yaptığı açılardan biri, kolonun zemine yaptığı \(90^\circ\)'lik açıdan geriye kalan \(120^\circ - 90^\circ = 30^\circ\) 'lik bir fazlalıkla oluşur.
Dolayısıyla, destek çubuğunun zemine yaptığı açılardan biri \(90^\circ + 30^\circ = 120^\circ\) veya \(180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\) olabilir.
Soruda bahsedilen "destek çubuğunun zemindeki doğru parçasıyla yaptığı açılardan biri" ifadesi, genellikle dar açıyı kasteder.
Bu durumda, destek çubuğunun zemine yaptığı açılardan biri \(180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\) olacaktır.
Diğer açı ise \(120^\circ\) olur. Genellikle dar açı sorulur. 📌

Tam bir daire \(360^\circ\)'dir. Bir saatte 12 rakam bulunur. Bu nedenle, her bir saat rakamı arasındaki açı şu şekilde hesaplanır:

• Bir saat rakamı arası açı = \( \frac{360^\circ}{12} \)
• Bir saat rakamı arası açı = \( 30^\circ \)

Saat 3 olduğunda:

• Yelkovan 12'nin üzerindedir.
• Akrep ise tam olarak 3'ün üzerindedir.

Bu durumda, akrep ile yelkovan arasında 3 rakamlık bir mesafe vardır (12'den 1'e, 1'den 2'ye, 2'den 3'e).
Dolayısıyla, akrep ve yelkovanın oluşturduğu dar açının ölçüsü:

• Açı = (Rakam sayısı) \( \times \) (Bir rakam arası açı)
• Açı = \( 3 \times 30^\circ \)
• Açı = \( 90^\circ \)

Saat 3 olduğunda akrep ve yelkovanın oluşturduğu dar açı \(90^\circ\)'dir. Bu aynı zamanda dik açıdır. 👍

Burada verilen açılar aynı yöne bakan iç açılardır. Paralel doğruları kesen bir doğrunun aynı yöne bakan iç açılarının toplamı \(180^\circ\)'dir.
Yani, \( \alpha + \beta = 180^\circ \).
Bize iki denklem verilmiş:

1. \( \alpha = 2\beta - 30^\circ \)
2. \( \beta = \alpha - 60^\circ \)

Bu iki denklemi kullanarak \( \alpha \) ve \( \beta \) değerlerini bulabiliriz. İkinci denklemi \( \alpha \) için çözelim: \[ \alpha = \beta + 60^\circ \] Şimdi bu \( \alpha \) değerini birinci denklemde yerine koyalım: \[ (\beta + 60^\circ) = 2\beta - 30^\circ \] Denklemi \( \beta \) için çözelim:

• Her iki taraftan \( \beta \) çıkaralım: \( 60^\circ = \beta - 30^\circ \)
• Her iki tarafa \( 30^\circ \) ekleyelim: \( 60^\circ + 30^\circ = \beta \)
• Bu durumda \( \beta = 90^\circ \) bulunur.

Şimdi \( \beta \) değerini kullanarak \( \alpha \) değerini bulalım (örneğin \( \alpha = \beta + 60^\circ \) denkleminden): \[ \alpha = 90^\circ + 60^\circ \] \[ \alpha = 150^\circ \] Kontrol edelim: \( \alpha + \beta = 150^\circ + 90^\circ = 240^\circ \) olmamalıdır.
Hata Tespiti: Soruda "aynı yöne bakan iç açılar" denilmiş ancak verilen denklemler \( \alpha + \beta = 180^\circ \) kuralını sağlamıyor. Eğer bu açılar "karşı durumlu iç açılar" olsaydı, toplamları \(180^\circ\) olurdu.
Soruda verilen \( \alpha = 2\beta - 30^\circ \) ve \( \beta = \alpha - 60^\circ \) denklemlerini ayrı ayrı inceleyelim.
İkinci denklemden \( \alpha = \beta + 60^\circ \). Bunu birinci denklemde yerine koyalım:
\( \beta + 60^\circ = 2\beta - 30^\circ \Rightarrow \beta = 90^\circ \).
\( \alpha = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ \).
Bu iki değer \( \alpha + \beta = 150^\circ + 90^\circ = 240^\circ \) sonucunu verir.
Eğer soruda kastedilen, bir açının kendisi ve onunla ilgili başka bir açıysa ve bu iki doğru birbirine paralel değilse, bu tür bir çözüm elde edilebilir. Ancak paralel doğrular bağlamında, bu denklemlerin birlikte geçerli olması için bir tutarsızlık vardır.
Varsayımsal Çözüm (Eğer Denklemler Doğruysa): Eğer denklemler doğruysa ve paralel doğru kavramı esnetilirse, \( \alpha = 150^\circ \) ve \( \beta = 90^\circ \) olur. Ancak bu, paralel doğrular için "aynı yöne bakan iç açılar" tanımına uymaz. ⚠️