💡 9. Sınıf Matematik: Doğal Sayılar Çözümlü Örnekler

Doğal sayılarla ilgili temel kavramları hatırlayalım ve ifadeleri inceleyelim:

• 📌 Doğal Sayılar Kümesi (N): \( \{0, 1, 2, 3, ...\} \) şeklinde gösterilir. Yani, 0 ve pozitif tam sayılardan oluşur.
• 1. İfade: "En küçük doğal sayı 1'dir."
  ❌ Yanlış. Çünkü doğal sayılar kümesi 0'dan başlar. En küçük doğal sayı 0'dır.
• 2. İfade: "İki doğal sayının toplamı her zaman bir doğal sayıdır."
  ✅ Doğru. Örneğin, \( 3+5=8 \). Hem 3, hem 5, hem de 8 doğal sayıdır. Hangi iki doğal sayıyı toplarsak toplayalım, sonuç yine bir doğal sayı olacaktır.
• 3. İfade: "İki doğal sayının farkı her zaman bir doğal sayıdır."
  ❌ Yanlış. Örneğin, \( 3-5 = -2 \). 3 ve 5 doğal sayı olmasına rağmen, \( -2 \) doğal sayı değildir.
• 4. İfade: "İki doğal sayının çarpımı her zaman bir doğal sayıdır."
  ✅ Doğru. Örneğin, \( 4 \times 6 = 24 \). Hem 4, hem 6, hem de 24 doğal sayıdır. Hangi iki doğal sayıyı çarparsak çarpalım, sonuç yine bir doğal sayı olacaktır.

Verilen koşulları adım adım inceleyelim:

• 📌 5 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayının 5 ile bölümünden kalan 2 ise, bu sayının birler basamağı (B) ya 2 ya da 7 olmalıdır.
  Yani, \( B=2 \) veya \( B=7 \).
• 📌 3 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayının 3 ile bölümünden kalan 1 ise, bu sayının rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalan 1 olmalıdır.
  Rakamlar toplamı \( 2+A+3+B \).

Şimdi B'nin alabileceği değerlere göre A'yı bulalım:

• Durum 1: \( B=2 \) ise
  Rakamlar toplamı \( 2+A+3+2 = 7+A \).
  Bu toplamın 3 ile bölümünden kalan 1 olmalı. Yani \( 7+A = 3k+1 \) şeklinde olmalı.
  \( 7+A \) toplamının 3'e bölündüğünde 1 kalanını vermesi için, A yerine 0, 3, 6, 9 rakamları gelebilir.
  \( 7+0=7 \) (kalan 1)
  \( 7+3=10 \) (kalan 1)
  \( 7+6=13 \) (kalan 1)
  \( 7+9=16 \) (kalan 1)
  A'nın alabileceği değerler: \( \{0, 3, 6, 9\} \)
• Durum 2: \( B=7 \) ise
  Rakamlar toplamı \( 2+A+3+7 = 12+A \).
  Bu toplamın 3 ile bölümünden kalan 1 olmalı. Yani \( 12+A = 3k+1 \) şeklinde olmalı.
  \( 12 \) zaten 3'ün tam katı olduğu için, \( A \) rakamının 3 ile bölümünden kalan 1 olmalıdır.
  A yerine 1, 4, 7 rakamları gelebilir.
  \( 12+1=13 \) (kalan 1)
  \( 12+4=16 \) (kalan 1)
  \( 12+7=19 \) (kalan 1)
  A'nın alabileceği değerler: \( \{1, 4, 7\} \)

A yerine yazılabilecek tüm farklı rakamlar: \( \{0, 1, 3, 4, 6, 7, 9\} \).
Bu rakamların toplamı: \( 0+1+3+4+6+7+9 = 30 \).
✅ Cevap: 30

Bir doğal sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için, o sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak bölme işlemi yaparız.

• 👉 72'yi en küçük asal sayı olan 2'ye bölelim:
  \( 72 \div 2 = 36 \)
• 👉 36'yı tekrar 2'ye bölelim:
  \( 36 \div 2 = 18 \)
• 👉 18'i tekrar 2'ye bölelim:
  \( 18 \div 2 = 9 \)
• 👉 9, 2'ye bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan 3'e bölelim:
  \( 9 \div 3 = 3 \)
• 👉 3'ü tekrar 3'e bölelim:
  \( 3 \div 3 = 1 \)

Bölme işlemi 1'e ulaştığında tamamlanır.
Şimdi bulduğumuz asal çarpanları listeleyelim:
\( 72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \)
Bunu üslü ifade olarak yazarsak:
\[ 72 = 2^3 \times 3^2 \] ✅ 72 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür. Asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılışı \( 2^3 \times 3^2 \) şeklindedir.

Bu problem, Ortak Katların En Küçüğü (EKOK) kavramını kullanmamızı gerektiriyor.

• 📌 Öğrenci sayısı (ÖS), 12'şerli ve 18'erli gruplara ayrıldığında 3 öğrenci arttığına göre, öğrenci sayısından 3 çıkarıldığında hem 12'ye hem de 18'e tam bölünebilen bir sayı elde ederiz.
  Yani, \( (\text{ÖS} - 3) \) sayısı hem 12'nin hem de 18'in ortak katı olmalıdır.
• 👉 Önce 12 ve 18'in EKOK'unu bulalım:
  Asal çarpanlarına ayıralım:
  \( 12 = 2^2 \times 3^1 \)
  \( 18 = 2^1 \times 3^2 \)
  EKOK, ortak ve ortak olmayan asal çarpanlardan kuvveti en büyük olanların çarpımıdır:
  \( \text{EKOK}(12, 18) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 \)
• 📌 Demek ki, \( (\text{ÖS} - 3) \) sayısı 36'nın katı olmalıdır.
  \( (\text{ÖS} - 3) = 36k \) (k bir doğal sayı)
• 👉 Öğrenci sayısı 100 ile 150 arasında olduğu için, 36'nın 100 ile 150 arasındaki katlarını bulalım:
  \( 36 \times 1 = 36 \) (Bu aralıkta değil)
  \( 36 \times 2 = 72 \) (Bu aralıkta değil)
  \( 36 \times 3 = 108 \) (Bu aralıkta!)
  \( 36 \times 4 = 144 \) (Bu aralıkta!)
  \( 36 \times 5 = 180 \) (Bu aralıkta değil)
• 📌 Yani, \( (\text{ÖS} - 3) \) sayısı 108 veya 144 olabilir.
  Eğer \( \text{ÖS} - 3 = 108 \) ise, \( \text{ÖS} = 108 + 3 = 111 \).
  Eğer \( \text{ÖS} - 3 = 144 \) ise, \( \text{ÖS} = 144 + 3 = 147 \).
• 👉 Her iki sayı da 100 ile 150 arasındadır. Ancak soruda "sınıftaki öğrenci sayısı" tek bir değer olarak istendiğinden, genellikle bu tür sorularda en küçük veya en büyük değer sorulur. Eğer bir seçim yapmamız gerekirse, verilen aralıktaki ilk uygun sayıyı seçebiliriz. Ancak burada her iki değer de mümkündür. Soruda "kaç öğrenci olabilir?" yerine "kaç öğrenci vardır?" dediği için genellikle tek bir doğru cevap beklenir. Genellikle bu durumda "en az" veya "en çok" gibi bir ek bilgi verilir. Bu soruda böyle bir bilgi olmadığı için, aralıktaki tüm olası sonuçları belirtelim.
  Eğer tek bir cevap bekleniyorsa, genellikle en küçük uygun kat tercih edilir.

Bu durumda sınıfta 111 veya 147 öğrenci olabilir. Ancak soruda "kaç öğrenci vardır" denildiği için genellikle tek bir cevap beklenir. Genellikle bu tip sorularda "en az" veya "en çok" gibi bir kısıtlama olur. Bu soruda belirtilmediği için, aralıktaki her iki doğal sayı da geçerlidir.

Bu problem, Ortak Bölenlerin En Büyüğü (EBOB) kavramını kullanmamızı gerektiriyor.

• 📌 Tarlayı eş kare parsellere ayırmak için, kare parsellerin bir kenar uzunluğu hem 84'ü hem de 120'yi tam bölen bir sayı olmalıdır.
  Ayrıca "en büyük kare parseller" istendiği için, bu kenar uzunluğu 84 ve 120'nin en büyük ortak böleni (EBOB) olmalıdır.
• 👉 Önce 84 ve 120'nin EBOB'unu bulalım:
  Asal çarpanlarına ayıralım:
  \( 84 = 2^2 \times 3^1 \times 7^1 \)
  \( 120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \)
  EBOB, ortak asal çarpanlardan kuvveti en küçük olanların çarpımıdır:
  \( \text{EBOB}(84, 120) = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12 \)
• 📌 Demek ki, her bir kare parselin bir kenar uzunluğu 12 metre olacaktır.
• 👉 Şimdi, bu tarladan kaç tane kare parsel elde edildiğini bulalım:
  Tarlanın alanı \( = 84 \times 120 \) metrekare.
  Bir kare parselin alanı \( = 12 \times 12 \) metrekare.
  Elde edilecek parsel sayısı \( = \frac{\text{Tarlanın Alanı}}{\text{Bir Parselin Alanı}} \)
• Hesaplayalım:
  Uzun kenar boyunca \( 120 \div 12 = 10 \) parsel
  Kısa kenar boyunca \( 84 \div 12 = 7 \) parsel
  Toplam parsel sayısı \( = 10 \times 7 = 70 \)

✅ Bu işlem sonucunda 70 tane kare parsel elde edilir.

Bu problemde, raf yüksekliğinin hem 15 cm'nin hem de 20 cm'nin ortak katı olması gerektiğini anlıyoruz.
Ayrıca raf yüksekliği 2 metreden (200 cm'den) az olmalıdır.

• 📌 Öncelikle 15 ve 20'nin EKOK'unu bulalım:
  Asal çarpanlarına ayıralım:
  \( 15 = 3 \times 5 \)
  \( 20 = 2^2 \times 5 \)
  EKOK, ortak ve ortak olmayan asal çarpanlardan kuvveti en büyük olanların çarpımıdır:
  \( \text{EKOK}(15, 20) = 2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60 \)
• 📌 Demek ki raf yüksekliği 60 cm'nin bir katı olmalıdır.
  Raf yüksekliği 2 metreden (200 cm'den) az olduğuna göre, 60'ın 200'den küçük en büyük katını bulmalıyız:
  \( 60 \times 1 = 60 \)
  \( 60 \times 2 = 120 \)
  \( 60 \times 3 = 180 \)
  \( 60 \times 4 = 240 \) (Bu 200'den büyük)
  O halde, rafın yüksekliği 180 cm'dir.
• 👉 Son olarak, bu rafa en fazla kaç tane B marka ürün kutusu dizilebileceğini bulalım:
  B marka ürün kutuları 20 cm yüksekliğindedir.
  Dizilebilecek B marka ürün kutusu sayısı \( = \frac{\text{Raf Yüksekliği}}{\text{Bir B Kutusu Yüksekliği}} \)
  Dizilebilecek kutu sayısı \( = 180 \div 20 = 9 \)

✅ Bu rafa en fazla 9 tane B marka ürün kutusu dizilebilir.

Zillerin tekrar birlikte çalma süresi, iki zil arasındaki periyotların ortak katı olmalıdır.
Yani 40 ve 60 dakikanın EKOK'unu bulmalıyız.

• 👉 Öncelikle 40 ve 60'ın EKOK'unu bulalım:
  Asal çarpanlarına ayıralım:
  \( 40 = 2^3 \times 5^1 \)
  \( 60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \)
  EKOK, ortak ve ortak olmayan asal çarpanlardan kuvveti en büyük olanların çarpımıdır:
  \( \text{EKOK}(40, 60) = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 = 8 \times 3 \times 5 = 120 \)
• 📌 Ziller 120 dakikada bir birlikte çalmaktadır.
• 👉 120 dakika, 2 saate eşittir ( \( 120 \div 60 = 2 \) ).
• Ziller ilk kez Pazartesi saat 09:00'da birlikte çaldığına göre, bir sonraki çalma süresi 2 saat sonra olacaktır.
  Pazartesi 09:00 + 2 saat = Pazartesi 11:00.

✅ Bu iki zil tekrar birlikte ilk kez Pazartesi günü saat 11:00'de çalacaktır.

Bu problem, banknotları eşit ve en büyük sayıda gruplara ayırma isteği nedeniyle Ortak Bölenlerin En Büyüğü (EBOB) kavramını kullanmamızı gerektiriyor.

• 📌 Görevli, hem 90 adet 2 TL'lik banknotu hem de 150 adet 5 TL'lik banknotu eşit sayıda gruplara ayırmak istiyor. Bu grup sayısı, hem 90'ı hem de 150'yi tam bölen bir sayı olmalıdır.
  Ayrıca "en fazla kaçarlı gruplara" ayırabilir denildiği için, bu sayı 90 ve 150'nin en büyük ortak böleni (EBOB) olmalıdır.
• 👉 Önce 90 ve 150'nin EBOB'unu bulalım:
  Asal çarpanlarına ayıralım:
  \( 90 = 2^1 \times 3^2 \times 5^1 \)
  \( 150 = 2^1 \times 3^1 \times 5^2 \)
  EBOB, ortak asal çarpanlardan kuvveti en küçük olanların çarpımıdır:
  \( \text{EBOB}(90, 150) = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 = 2 \times 3 \times 5 = 30 \)
• 📌 Demek ki görevli, banknotları 30'arlı gruplara ayırabilir.
• Bunu kontrol edelim:
  2 TL'lik banknotlar için: \( 90 \div 30 = 3 \) grup
  5 TL'lik banknotlar için: \( 150 \div 30 = 5 \) grup
  Her iki banknot türü de 30'arlı eşit gruplara ayrılabilmektedir.

✅ Görevli banknotları en fazla 30'arlı gruplara ayırabilir.

Bu problemde, zillerin çalma sürelerinin ortak bir katında aynı anda susacakları durumu bulmamız gerekiyor.
Yani 5 ve 8 saniyenin EKOK'unu bulmalıyız.

• 👉 Öncelikle 5 ve 8'in EKOK'unu bulalım:
  Asal çarpanlarına ayıralım:
  \( 5 = 5^1 \) (5 bir asal sayıdır)
  \( 8 = 2^3 \)
  EKOK, ortak ve ortak olmayan asal çarpanlardan kuvveti en büyük olanların çarpımıdır:
  \( \text{EKOK}(5, 8) = 2^3 \times 5^1 = 8 \times 5 = 40 \)
• 📌 Demek ki, ziller ilk kez 40 saniye sonra çalmayı tamamen aynı anda bırakırlar.
• Bunu kontrol edelim:
  Birinci zil (5 saniye): 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, ... saniyelerde susar.
  İkinci zil (8 saniye): 8, 16, 24, 32, 40, ... saniyelerde susar.
  Görüldüğü gibi, 40. saniyede her iki zil de çalmayı aynı anda bitirir.

✅ Ziller ilk kez 40 saniye sonra çalmayı tamamen aynı anda bırakırlar.