Doğal Sayılar Ders Notu

Doğal sayılar, günlük hayatta sayma ve sıralama işlemlerimizde kullandığımız temel sayılardır. Kümesi genellikle \( \mathbb{N} \) sembolü ile gösterilir ve sıfırdan başlayarak pozitif tam sayıları içerir.

Doğal Sayılar Kümesi ve Özellikleri 🔢

Doğal Sayılar Kümesi (\(\mathbb{N}\))

Doğal sayılar kümesi, sayma sayıları ile sıfırın birleşiminden oluşur. Yani, negatif olmayan tam sayılardır.

\( \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, \ldots\} \)

Bazı kaynaklarda sıfırın doğal sayı olarak kabul edilmediği de görülebilir; ancak MEB müfredatına göre 0 bir doğal sayıdır.

Tek ve Çift Doğal Sayılar

• Çift Doğal Sayılar: 2 ile kalansız bölünebilen doğal sayılardır. Genel olarak \( 2n \) şeklinde ifade edilirler, burada \( n \) bir doğal sayıdır.
  Örnek: \( \{0, 2, 4, 6, \ldots\} \)
• Tek Doğal Sayılar: 2 ile bölündüğünde 1 kalanını veren doğal sayılardır. Genel olarak \( 2n+1 \) şeklinde ifade edilirler, burada \( n \) bir doğal sayıdır.
  Örnek: \( \{1, 3, 5, 7, \ldots\} \)

Tek ve Çift Sayıların İşlemleri

Tek ve çift sayıların toplama ve çarpma işlemlerindeki özellikleri aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

İşlem	Sonuç
Tek + Tek	Çift
Tek + Çift	Tek
Çift + Çift	Çift
Tek \(\times\) Tek	Tek
Tek \(\times\) Çift	Çift
Çift \(\times\) Çift	Çift

Asal Sayılar ✨

1'den büyük, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan doğal sayılara asal sayı denir. En küçük asal sayı 2'dir ve 2, çift olan tek asal sayıdır.

Örnek: \( 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, \ldots \)

Önemli Not: 1 bir asal sayı değildir.

Aralarında Asal Sayılar 🤝

1'den başka ortak pozitif tam böleni olmayan iki veya daha fazla doğal sayıya aralarında asal sayılar denir.

Örnek: 8 ve 15 sayıları aralarında asaldır. Çünkü 8'in bölenleri \( \{1, 2, 4, 8\} \), 15'in bölenleri \( \{1, 3, 5, 15\} \)'tir. Ortak bölenleri sadece 1'dir.

Önemli Not: Aralarında asal olan sayıların kendileri asal olmak zorunda değildir (Örnek: 8 ve 15).

Bölünebilme Kuralları ✅

Bir doğal sayının başka bir doğal sayıya kalansız bölünüp bölünmediğini anlamak için kullanılan pratik yöntemlerdir:

• 2 ile Bölünebilme: Birler basamağı çift sayı (\(0, 2, 4, 6, 8\)) olan sayılar 2 ile kalansız bölünür.
• 3 ile Bölünebilme: Rakamları toplamı 3'ün katı olan sayılar 3 ile kalansız bölünür.
• 4 ile Bölünebilme: Son iki basamağının oluşturduğu sayı 4'ün katı olan veya son iki basamağı \(00\) olan sayılar 4 ile kalansız bölünür.
• 5 ile Bölünebilme: Birler basamağı \(0\) veya \(5\) olan sayılar 5 ile kalansız bölünür.
• 6 ile Bölünebilme: Hem 2 hem de 3 ile kalansız bölünebilen sayılar 6 ile kalansız bölünür.
• 9 ile Bölünebilme: Rakamları toplamı 9'un katı olan sayılar 9 ile kalansız bölünür.
• 10 ile Bölünebilme: Birler basamağı \(0\) olan sayılar 10 ile kalansız bölünür.

Pozitif Tam Bölen Sayısı (PTBS)

Bir doğal sayının kaç tane pozitif tam böleni olduğunu bulmak için, sayıyı asal çarpanlarına ayırırız.

Bir \( N \) doğal sayısı asal çarpanlarına ayrıldığında \( N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k} \) şeklinde yazılır. Burada \( p_1, p_2, \ldots, p_k \) asal sayılar ve \( a_1, a_2, \ldots, a_k \) pozitif tam sayılardır.

Bu durumda \( N \) sayısının pozitif tam bölen sayısı şu formülle bulunur:

\( \text{PTBS}(N) = (a_1+1)(a_2+1)\ldots(a_k+1) \)

Örnek: 72 sayısının pozitif tam bölenlerini bulalım.

\( 72 = 2^3 \cdot 3^2 \)

\( \text{PTBS}(72) = (3+1)(2+1) = 4 \cdot 3 = 12 \)

En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve En Küçük Ortak Kat (EKOK)

En Büyük Ortak Bölen (EBOB)

İki veya daha fazla doğal sayının ortak bölenleri arasında en büyüğüne bu sayıların En Büyük Ortak Böleni (EBOB) denir. EBOB bulunurken sayılar asal çarpanlarına ayrılır ve ortak asal çarpanlardan üssü en küçük olanlar çarpılır.

Örnek: 12 ve 18 sayılarının EBOB'unu bulalım.

• \( 12 = 2^2 \cdot 3^1 \)
• \( 18 = 2^1 \cdot 3^2 \)

Ortak asal çarpanlar 2 ve 3'tür. 2'nin en küçük üssü 1, 3'ün en küçük üssü 1'dir.

\( \text{EBOB}(12, 18) = 2^1 \cdot 3^1 = 6 \)

En Küçük Ortak Kat (EKOK)

İki veya daha fazla doğal sayının ortak katları arasında en küçüğüne bu sayıların En Küçük Ortak Katı (EKOK) denir. EKOK bulunurken sayılar asal çarpanlarına ayrılır ve tüm asal çarpanlardan üssü en büyük olanlar çarpılır.

Örnek: 12 ve 18 sayılarının EKOK'unu bulalım.

• \( 12 = 2^2 \cdot 3^1 \)
• \( 18 = 2^1 \cdot 3^2 \)

Tüm asal çarpanlar 2 ve 3'tür. 2'nin en büyük üssü 2, 3'ün en büyük üssü 2'dir.

\( \text{EKOK}(12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36 \)

EBOB ve EKOK Arasındaki İlişki

İki doğal sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir. \(a\) ve \(b\) doğal sayılar olmak üzere:

\( a \cdot b = \text{EBOB}(a,b) \cdot \text{EKOK}(a,b) \)

Örnek: 12 ve 18 sayıları için bu ilişkiyi kontrol edelim.

\( 12 \cdot 18 = 216 \)

\( \text{EBOB}(12, 18) \cdot \text{EKOK}(12, 18) = 6 \cdot 36 = 216 \)

Görüldüğü gibi, eşitlik sağlanır.