🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Dik üçgenler, Tales ve Pisagor Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Dik üçgenler, Tales ve Pisagor Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgende dik kenarların uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu dik üçgenin hipotenüsünün uzunluğunu bulunuz. 💡
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor teoremini kullanacağız. Pisagor teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.
- Adım 1: Verilen dik kenar uzunluklarını belirleyelim. Dik kenarlarımızdan biri 6 cm, diğeri ise 8 cm'dir.
- Adım 2: Pisagor teoremini formüle dökelim: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
- Adım 3: Verilen değerleri formülde yerine koyalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \).
- Adım 4: Kareleri hesaplayalım: \( 36 + 64 = c^2 \).
- Adım 5: Toplama işlemini yapalım: \( 100 = c^2 \).
- Adım 6: Hipotenüs \( c \)'yi bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{100} \).
- Adım 7: Sonucu bulalım: \( c = 10 \) cm.
Örnek 2:
Bir dik üçgenin hipotenüsü 13 birim ve bir dik kenarı 5 birimdir. Diğer dik kenarının uzunluğunu bulunuz. 🤔
Çözüm:
Yine Pisagor teoremini kullanarak bu soruyu çözeceğiz.
- Adım 1: Hipotenüs \( c = 13 \) birim ve bir dik kenar \( a = 5 \) birim olarak verilmiştir. Diğer dik kenarı \( b \) olarak adlandıralım.
- Adım 2: Pisagor teoremi formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Adım 3: Bilinen değerleri formülde yerine yazalım: \( 5^2 + b^2 = 13^2 \).
- Adım 4: Kareleri hesaplayalım: \( 25 + b^2 = 169 \).
- Adım 5: \( b^2 \)'yi yalnız bırakmak için her iki taraftan 25 çıkaralım: \( b^2 = 169 - 25 \).
- Adım 6: Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 144 \).
- Adım 7: \( b \)'yi bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \( b = \sqrt{144} \).
- Adım 8: Sonucu bulalım: \( b = 12 \) birim.
Örnek 3:
Bir ABC dik üçgeninde C açısı 90 derecedir. AC kenarı 7 cm ve BC kenarı 24 cm ise, AB kenarının (hipotenüs) uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu soru da klasik bir Pisagor teoremi uygulamasıdır.
- Adım 1: Dik kenarlar AC ve BC olarak verilmiş. Uzunlukları \( AC = 7 \) cm ve \( BC = 24 \) cm.
- Adım 2: Hipotenüs AB'nin uzunluğunu bulmak için Pisagor teoremini kullanacağız: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \).
- Adım 3: Değerleri yerine koyalım: \( 7^2 + 24^2 = AB^2 \).
- Adım 4: Kareleri hesaplayalım: \( 49 + 576 = AB^2 \).
- Adım 5: Toplamı bulalım: \( 625 = AB^2 \).
- Adım 6: AB'yi bulmak için karekök alalım: \( AB = \sqrt{625} \).
- Adım 7: Sonucu bulalım: \( AB = 25 \) cm.
Örnek 4:
Bir parkta, A noktasından B noktasına giden düz bir yol vardır. Bu yol, C noktasında bulunan bir fıskiyeden geçmektedir. Eğer A'dan C'ye olan mesafe 50 metre, C'den B'ye olan mesafe 120 metre ve A'dan B'ye olan en kısa mesafe (doğrudan kuş uçuşu) 130 metre ise, A, C ve B noktalarının oluşturduğu üçgenin dik üçgen olup olmadığını Pisagor teoremi ile kontrol ediniz. 🌳
Çözüm:
Bu soruda, verilen üç kenar uzunluğu ile bir dik üçgen olup olmadığını Pisagor teoreminin tersiyle kontrol edeceğiz.
- Adım 1: Üçgenin kenar uzunluklarını belirleyelim: \( AC = 50 \) m, \( CB = 120 \) m, \( AB = 130 \) m.
- Adım 2: En uzun kenar (hipotenüs olabilecek kenar) AB'dir, yani 130 m. Diğer iki kenar AC ve CB'dir.
- Adım 3: Pisagor teoremini kontrol edelim: \( AC^2 + CB^2 = AB^2 \).
- Adım 4: Değerleri yerine koyalım: \( 50^2 + 120^2 = 130^2 \).
- Adım 5: Kareleri hesaplayalım: \( 2500 + 14400 = 16900 \).
- Adım 6: Toplama işlemini yapalım: \( 16900 = 16900 \).
- Adım 7: Eşitlik sağlandığı için, bu üçgen bir dik üçgendir.
Örnek 5:
Bir merdiven, yüksekliği 8 metre olan bir duvara dayanmıştır. Merdivenin duvara dayandığı noktanın yerden yüksekliği 8 metredir. Merdivenin yere değdiği noktanın duvara olan uzaklığı 6 metre ise, merdivenin uzunluğu kaç metredir? 🪜
Çözüm:
Bu durum bir dik üçgen oluşturur. Merdiven, duvar ve zemin bu dik üçgenin kenarlarını oluşturur.
- Adım 1: Duvarın yüksekliği (bir dik kenar) \( a = 8 \) metredir.
- Adım 2: Merdivenin yere değdiği noktanın duvara uzaklığı (diğer dik kenar) \( b = 6 \) metredir.
- Adım 3: Merdivenin uzunluğu, bu dik üçgenin hipotenüsü \( c \)'dir.
- Adım 4: Pisagor teoremini kullanalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Adım 5: Değerleri yerine koyalım: \( 8^2 + 6^2 = c^2 \).
- Adım 6: Kareleri hesaplayalım: \( 64 + 36 = c^2 \).
- Adım 7: Toplamı bulalım: \( 100 = c^2 \).
- Adım 8: \( c \)'yi bulmak için karekök alalım: \( c = \sqrt{100} \).
- Adım 9: Sonucu bulalım: \( c = 10 \) metre.
Örnek 6:
Bir ABC dik üçgeninde, C açısı 90 derecedir. AC kenarının uzunluğu \( x \) cm, BC kenarının uzunluğu \( x+7 \) cm ve AB kenarının (hipotenüs) uzunluğu \( x+8 \) cm'dir. \( x \) değerini ve üçgenin çevresini bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu soruda, kenar uzunlukları \( x \) cinsinden verilmiş bir dik üçgende Pisagor teoremini kullanarak \( x \) değerini bulacağız ve ardından çevreyi hesaplayacağız.
- Adım 1: Dik kenarlar \( a = x \) ve \( b = x+7 \), hipotenüs \( c = x+8 \).
- Adım 2: Pisagor teoremini uygulayalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Adım 3: Değerleri yerine koyalım: \( x^2 + (x+7)^2 = (x+8)^2 \).
- Adım 4: Binom açılımlarını yapalım: \( x^2 + (x^2 + 14x + 49) = (x^2 + 16x + 64) \).
- Adım 5: Denklemi düzenleyelim: \( 2x^2 + 14x + 49 = x^2 + 16x + 64 \).
- Adım 6: Tüm terimleri bir tarafa toplayarak ikinci dereceden bir denklem elde edelim: \( 2x^2 - x^2 + 14x - 16x + 49 - 64 = 0 \).
- Adım 7: Sadeleştirelim: \( x^2 - 2x - 15 = 0 \).
- Adım 8: Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım: \( (x-5)(x+3) = 0 \).
- Adım 9: \( x \) için olası değerleri bulalım: \( x=5 \) veya \( x=-3 \). Kenar uzunluğu negatif olamayacağı için \( x=5 \) kabul edilir.
- Adım 10: Kenar uzunluklarını hesaplayalım: \( AC = x = 5 \) cm, \( BC = x+7 = 5+7 = 12 \) cm, \( AB = x+8 = 5+8 = 13 \) cm.
- Adım 11: Üçgenin çevresini hesaplayalım: Çevre = \( AC + BC + AB = 5 + 12 + 13 = 30 \) cm.
Örnek 7:
Bir inşaat mühendisi, 15 metre yüksekliğindeki bir binanın tepesinden, binanın tabanına uzaklığı 20 metre olan bir noktaya bir ip germek istiyor. İpin gergin durması için kaç metre uzunluğunda bir ip gereklidir? (Bu durum bir dik üçgen oluşturur.) 🏗️
Çözüm:
Bu problemde, bina yüksekliği ve tabana olan uzaklık dik kenarları, gerilecek ip ise hipotenüsü oluşturur.
- Adım 1: Bina yüksekliği \( a = 15 \) metre (bir dik kenar).
- Adım 2: Binanın tabanına olan uzaklık \( b = 20 \) metre (diğer dik kenar).
- Adım 3: İpin uzunluğu \( c \) (hipotenüs).
- Adım 4: Pisagor teoremini kullanalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Adım 5: Değerleri yerine koyalım: \( 15^2 + 20^2 = c^2 \).
- Adım 6: Kareleri hesaplayalım: \( 225 + 400 = c^2 \).
- Adım 7: Toplamı bulalım: \( 625 = c^2 \).
- Adım 8: \( c \)'yi bulmak için karekök alalım: \( c = \sqrt{625} \).
- Adım 9: Sonucu bulalım: \( c = 25 \) metre.
Örnek 8:
Bir televizyon ekranının köşegen uzunluğu 50 inçtir. Ekranın genişliği 40 inç ise, yüksekliği kaç inçtir? (Ekranlar genellikle dik üçgen şeklinde düşünülebilir.) 📺
Çözüm:
Bu soruda, televizyon ekranının genişliği ve yüksekliği dik kenarları, köşegen ise hipotenüsü oluşturur.
- Adım 1: Televizyonun köşegen uzunluğu \( c = 50 \) inç (hipotenüs).
- Adım 2: Ekranın genişliği \( a = 40 \) inç (bir dik kenar).
- Adım 3: Ekranın yüksekliği \( b \) (diğer dik kenar).
- Adım 4: Pisagor teoremini kullanalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Adım 5: Değerleri yerine koyalım: \( 40^2 + b^2 = 50^2 \).
- Adım 6: Kareleri hesaplayalım: \( 1600 + b^2 = 2500 \).
- Adım 7: \( b^2 \)'yi yalnız bırakalım: \( b^2 = 2500 - 1600 \).
- Adım 8: Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 900 \).
- Adım 9: \( b \)'yi bulmak için karekök alalım: \( b = \sqrt{900} \).
- Adım 10: Sonucu bulalım: \( b = 30 \) inç.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-dik-ucgenler-tales-ve-pisagor/sorular