🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Dik Üçgenler, Eşlik ve Benzerlik, Öklid Bağıntıları Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Dik Üçgenler, Eşlik ve Benzerlik, Öklid Bağıntıları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgenin dik kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor teoremini kullanacağız.
- Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende, dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir. Matematiksel olarak \( a^2 + b^2 = c^2 \) şeklinde ifade edilir. Burada \( a \) ve \( b \) dik kenar uzunlukları, \( c \) ise hipotenüs uzunluğudur.
- Verilenler: Dik kenar uzunlukları \( a = 6 \) cm ve \( b = 8 \) cm.
- Uygulama: Teoremi uygulayalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- Hesaplama: \( 36 + 64 = c^2 \)
- Sonuç: \( 100 = c^2 \) olduğundan, \( c = \sqrt{100} = 10 \) cm'dir.
Örnek 2:
Bir ABC dik üçgeninde, A açısı 90 derecedir. |AB| = 12 birim ve |AC| = 5 birim ise, |BC| uzunluğunu hesaplayınız. 📏
Çözüm:
Bu soruda da Pisagor teoremini kullanacağız.
- Pisagor Teoremi: Dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Verilenler: Dik kenarlar \( |AB| = 12 \) ve \( |AC| = 5 \). Hipotenüs \( |BC| \) uzunluğu isteniyor.
- Uygulama: \( |AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2 \)
- Hesaplama: \( 12^2 + 5^2 = |BC|^2 \)
- Sonuç: \( 144 + 25 = |BC|^2 \) yani \( 169 = |BC|^2 \). Buradan \( |BC| = \sqrt{169} = 13 \) birim bulunur.
Örnek 3:
İki dik üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ise bu üçgenler hakkında ne söylenebilir? Bu duruma ne ad verilir? 🤔
Çözüm:
Bu durum, üçgenlerin benzerliği ile ilgilidir.
- Benzerlik Kavramı: İki üçgenin karşılıklı açıları eş ve karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ise bu üçgenler benzerdir.
- Benzerlik Oranı: Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları sabittir ve bu orana benzerlik oranı denir.
- Sonuç: Eğer iki dik üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ise, bu üçgenler benzerdir. Bu durum, açı-açı (AA) benzerlik teoremi ile de desteklenir (dik üçgenlerde birer dik açı zaten eşittir).
Örnek 4:
Bir ABC dik üçgeninde, A açısı 90 derecedir. |AB| = 9 birim ve |AC| = 12 birimdir. Bu üçgenin hipotenüsüne ait yükseklik uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu soruda Öklid bağıntılarından faydalanacağız.
- Öklid Bağıntıları: Dik üçgende hipotenüse indirilen yükseklik, üçgeni benzer iki dik üçgene ayırır. Yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerindeki ayırdığı parçaların çarpımına eşittir (\( h^2 = p \cdot k \)). Ayrıca, dik kenarların kareleri, hipotenüsün bu kenarların izdüşümlerinin uzunlukları ile çarpımına eşittir (\( a^2 = k \cdot c \) ve \( b^2 = p \cdot c \)).
- Verilenler: \( |AB| = 9 \) (b), \( |AC| = 12 \) (a). Hipotenüs \( |BC| = c \) uzunluğunu bulalım: \( 9^2 + 12^2 = c^2 \Rightarrow 81 + 144 = c^2 \Rightarrow 225 = c^2 \Rightarrow c = 15 \) birim.
- Yüksekliği Bulma: Alan formülünden yararlanabiliriz. Dik üçgenin alanı \( \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \) veya \( \frac{1}{2} \cdot c \cdot h \) olarak hesaplanır.
- Hesaplama: \( \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot h \)
- Sonuç: \( 54 = \frac{15}{2} h \Rightarrow h = \frac{54 \cdot 2}{15} = \frac{108}{15} = \frac{36}{5} = 7.2 \) birim.
Örnek 5:
Bir mimar, tasarladığı bir binanın çatısının dik üçgen şeklinde olmasını istemiştir. Dik kenarlardan biri 10 metre, diğeri ise 24 metre uzunluğundadır. Çatının en uzun kenarının (hipotenüs) uzunluğunu ve bu kenara ait yüksekliği hesaplayınız. 🏗️
Çözüm:
Bu problemde hem Pisagor teoremini hem de Öklid bağıntılarını kullanacağız.
- Adım 1: Hipotenüsü Hesaplama (Pisagor Teoremi)
- Dik kenarlar \( a = 10 \) m ve \( b = 24 \) m. Hipotenüs \( c \) uzunluğunu bulalım.
- \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- \( 10^2 + 24^2 = c^2 \)
- \( 100 + 576 = c^2 \)
- \( 676 = c^2 \)
- \( c = \sqrt{676} = 26 \) metre.
- Adım 2: Yüksekliği Hesaplama (Öklid Bağıntıları veya Alan)
- Hipotenüs \( c = 26 \) m. Yüksekliği \( h \) bulmak için alan formülünü kullanabiliriz: \( \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h \)
- \( \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = \frac{1}{2} \cdot 26 \cdot h \)
- \( 120 = 13h \)
- \( h = \frac{120}{13} \) metre.
Örnek 6:
Bir merdiven, dik duran bir duvara yaslanmıştır. Merdivenin duvara değdiği nokta yerden 4 metre yüksekliktedir. Merdivenin duvara uzaklığı ise 3 metredir. Merdivenin boyunu (hipotenüs) hesaplayınız. 🪜
Çözüm:
Bu durum, bir dik üçgen oluşturur.
- Dik Üçgen Oluşturma: Merdiven, duvar ve zemin bir dik üçgenin kenarlarını oluşturur.
- Verilenler:
- Duvarın yüksekliği (dik kenar) \( a = 4 \) metre.
- Merdivenin duvara uzaklığı (diğer dik kenar) \( b = 3 \) metre.
- Merdivenin boyu (hipotenüs) \( c \) isteniyor.
- Pisagor Teoremi Uygulaması: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Hesaplama: \( 4^2 + 3^2 = c^2 \)
- Sonuç: \( 16 + 9 = c^2 \Rightarrow 25 = c^2 \Rightarrow c = \sqrt{25} = 5 \) metre.
Örnek 7:
İki üçgenin benzer olduğunu biliyoruz. Birinci üçgenin kenar uzunlukları 3, 4, 5 birimdir. İkinci üçgenin en kısa kenarı 6 birim olduğuna göre, ikinci üçgenin diğer kenar uzunluklarını bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu soruda benzerlik oranını kullanacağız.
- Benzerlik Oranı: İki benzer üçgenin karşılıklı kenarlarının oranları eşittir.
- Verilenler:
- Birinci üçgenin kenarları: \( 3, 4, 5 \) birim.
- İkinci üçgenin en kısa kenarı \( 6 \) birim.
- Benzerlik Oranını Bulma: İkinci üçgenin en kısa kenarı \( 6 \) birim ve bu kenarın karşılığı birinci üçgende \( 3 \) birimdir. O halde benzerlik oranı \( k = \frac{6}{3} = 2 \) olur.
- Diğer Kenarları Hesaplama: İkinci üçgenin diğer kenarları, birinci üçgenin karşılık gelen kenarlarının benzerlik oranı ile çarpılmasıyla bulunur.
- Orta kenar: \( 4 \times 2 = 8 \) birim.
- En uzun kenar (hipotenüs): \( 5 \times 2 = 10 \) birim.
Örnek 8:
Bir ABC dik üçgeninde, A açısı 90 derecedir. |BD| ve |CD| uzunlukları sırasıyla 4 birim ve 9 birimdir, burada D noktası BC kenarı üzerindedir ve AD yüksekliğidir. ABC üçgeninin dik kenar uzunluklarını bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu soruda Öklid bağıntılarından yararlanacağız.
- Öklid Bağıntıları: Hipotenüse indirilen yükseklik \( h \) ise, \( h^2 = |BD| \cdot |CD| \) dir. Dik kenarlar \( b = |AB| \) ve \( a = |AC| \) ise, \( b^2 = |BD| \cdot |BC| \) ve \( a^2 = |CD| \cdot |BC| \) olur.
- Verilenler: \( |BD| = 4 \) birim, \( |CD| = 9 \) birim.
- Hipotenüs Uzunluğunu Bulma: \( |BC| = |BD| + |CD| = 4 + 9 = 13 \) birim.
- Dik Kenarları Hesaplama:
- \( |AB|^2 = |BD| \cdot |BC| \)
- \( |AB|^2 = 4 \cdot 13 = 52 \)
- \( |AB| = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13} \) birim.
- \( |AC|^2 = |CD| \cdot |BC| \)
- \( |AC|^2 = 9 \cdot 13 = 117 \)
- \( |AC| = \sqrt{117} = \sqrt{9 \cdot 13} = 3\sqrt{13} \) birim.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-dik-ucgenler-eslik-ve-benzerlik-oklid-bagintilari/sorular