🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Dik Üçgende Bağlantılar Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Dik Üçgende Bağlantılar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgenin dik kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz. 💡
Çözüm:
- Dik üçgende kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi Pisagor teoremi ile kurarız.
- Pisagor teoremi: Dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
- Formülümüz: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
- Verilen değerleri yerine koyalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 36 + 64 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 100 = c^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alarak \( c \) değerini bulalım: \( c = \sqrt{100} \)
- Sonuç: \( c = 10 \) cm'dir.
Örnek 2:
Bir dik üçgenin hipotenüsü 13 cm ve bir dik kenarı 5 cm'dir. Diğer dik kenarın uzunluğunu hesaplayınız. 🤔
Çözüm:
- Yine Pisagor teoremini kullanacağız: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Bu sefer hipotenüs ( \( c \) ) ve bir dik kenar (örneğin \( a \)) biliniyor. Diğer dik kenarı ( \( b \) ) bulacağız.
- Verilen değerler: \( c = 13 \) cm, \( a = 5 \) cm
- Formülde yerine koyalım: \( 5^2 + b^2 = 13^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 25 + b^2 = 169 \)
- \( b^2 \) 'yi yalnız bırakmak için 25'i karşıya atalım: \( b^2 = 169 - 25 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 144 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( b = \sqrt{144} \)
- Sonuç: \( b = 12 \) cm'dir.
Örnek 3:
Dik kenarları \( \sqrt{10} \) cm ve \( \sqrt{15} \) cm olan bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
- Pisagor teoremini uygulayalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Dik kenarlar: \( a = \sqrt{10} \) cm, \( b = \sqrt{15} \) cm
- Değerleri yerine koyalım: \( (\sqrt{10})^2 + (\sqrt{15})^2 = c^2 \)
- Karekökün karesi kendisine eşittir: \( 10 + 15 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 25 = c^2 \)
- Karekök alalım: \( c = \sqrt{25} \)
- Sonuç: \( c = 5 \) cm'dir.
Örnek 4:
Bir bahçe duvarının boyu 12 metre ve bu duvara yaslanmış bir merdivenin yere değdiği nokta ile duvarın dibi arasındaki mesafe 5 metredir. Merdivenin uzunluğu kaç metredir? (Merdiven, duvar ve zemin bir dik üçgen oluşturmaktadır.) 🪜
Çözüm:
- Bu problemi bir dik üçgen olarak düşünebiliriz.
- Duvarın boyu dik kenarlardan biridir ( \( a = 12 \) m).
- Duvarın dibi ile merdivenin yere değdiği nokta arasındaki mesafe diğer dik kenardır ( \( b = 5 \) m).
- Merdivenin uzunluğu ise hipotenüstür ( \( c \) ).
- Pisagor teoremini kullanalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 12^2 + 5^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 144 + 25 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 169 = c^2 \)
- Karekök alalım: \( c = \sqrt{169} \)
- Sonuç: \( c = 13 \) metredir.
Örnek 5:
Bir ABC dik üçgeninde \( \angle C = 90^\circ \) 'dir. Eğer \( |AC| = 7 \) cm ve \( |BC| = 24 \) cm ise, \( |AB| \) (hipotenüs) kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
- Verilenler bir dik üçgenin dik kenarlarıdır.
- Dik kenarlar: \( a = |BC| = 24 \) cm, \( b = |AC| = 7 \) cm
- Hipotenüs: \( c = |AB| \)
- Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 24^2 + 7^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 576 + 49 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 625 = c^2 \)
- Karekök alalım: \( c = \sqrt{625} \)
- Sonuç: \( c = 25 \) cm'dir.
Örnek 6:
Bir futbol sahası dikdörtgen şeklindedir. Sahip olduğu uzun kenar 100 metre ve kısa kenar 70 metredir. Sahip olduğu köşegenin uzunluğunu hesaplayınız. ⚽
Çözüm:
- Dikdörtgenin köşegeni, onu iki dik üçgene böler.
- Bu dik üçgenlerin dik kenarları, dikdörtgenin kısa ve uzun kenarlarıdır.
- Dik kenarlar: \( a = 70 \) m, \( b = 100 \) m
- Köşegen ise bu dik üçgenin hipotenüsüdür ( \( c \) ).
- Pisagor teoremini uygulayalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 70^2 + 100^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 4900 + 10000 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 14900 = c^2 \)
- Karekök alalım: \( c = \sqrt{14900} \)
- Sadeleştirme yapabiliriz: \( c = \sqrt{100 \times 149} = 10\sqrt{149} \) metre.
Örnek 7:
Bir dik üçgenin dik kenarlarından biri hipotenüsün yarısı kadardır. Eğer hipotenüs uzunluğu 10 cm ise, diğer dik kenarın uzunluğunu bulunuz. 🧐
Çözüm:
- Verilen dik üçgenin hipotenüsü \( c = 10 \) cm'dir.
- Dik kenarlarından biri hipotenüsün yarısıdır. Bu kenara \( a \) diyelim.
- \( a = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) cm.
- Diğer dik kenara \( b \) diyelim.
- Pisagor teoremini kullanalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 5^2 + b^2 = 10^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 25 + b^2 = 100 \)
- \( b^2 \) 'yi yalnız bırakalım: \( b^2 = 100 - 25 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 75 \)
- Karekök alalım: \( b = \sqrt{75} \)
- Sadeleştirelim: \( b = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3} \) cm.
Örnek 8:
Bir ABC dik üçgeninde \( \angle B = 90^\circ \) 'dir. \( |AB| = 8 \) birim ve \( |BC| = 15 \) birimdir. Bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı kaç birimdir? (Çevrel çemberin merkezi, hipotenüsün orta noktasıdır.) ⭕
Çözüm:
- Öncelikle ABC dik üçgeninin hipotenüsünü bulmamız gerekiyor.
- Dik kenarlar: \( |AB| = 8 \), \( |BC| = 15 \)
- Hipotenüs \( |AC| \) için Pisagor teoremini kullanalım: \( |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 8^2 + 15^2 = |AC|^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 64 + 225 = |AC|^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 289 = |AC|^2 \)
- Karekök alalım: \( |AC| = \sqrt{289} = 17 \) birimdir.
- Bir dik üçgende çevrel çemberin merkezi, hipotenüsün orta noktasıdır.
- Çevrel çemberin yarıçapı, hipotenüsün uzunluğunun yarısına eşittir.
- Yarıçap \( r = \frac{|AC|}{2} \)
- \( r = \frac{17}{2} = 8.5 \) birimdir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-dik-ucgende-baglantilar/sorular