🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Dik üçgen Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Dik üçgen Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC dik üçgeninde, dik açı C köşesindedir. AC kenarının uzunluğu 6 cm ve BC kenarının uzunluğu 8 cm olarak verilmiştir. Buna göre AB (hipotenüs) kenarının uzunluğunu bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor teoremini kullanacağız. 📌
- Pisagor teoremi, dik üçgenlerde dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.
- Formülümüz: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada 'a' ve 'b' dik kenarlar, 'c' ise hipotenüstür.
- Verilen değerleri formüle yerleştirelim: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 36 + 64 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 100 = c^2 \)
- Hipotenüs 'c'yi bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{100} \)
- Sonuç: \( c = 10 \) cm.
Örnek 2:
Bir dik üçgenin dik kenarlarından biri 5 cm ve hipotenüsü 13 cm'dir. Bu dik üçgenin diğer dik kenarının uzunluğunu bulunuz. 🤔
Çözüm:
Yine Pisagor teoremini kullanacağız. 💡
- Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Bu sefer bir dik kenarı (diyelim ki 'a') ve hipotenüsü ('c') biliyoruz. Diğer dik kenarı ('b') bulacağız.
- Verilen değerleri formüle yerleştirelim: \( 5^2 + b^2 = 13^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 25 + b^2 = 169 \)
- \( b^2 \) terimini yalnız bırakmak için 25'i karşıya atalım: \( b^2 = 169 - 25 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 144 \)
- Diğer dik kenarı 'b'yi bulmak için karekök alalım: \( b = \sqrt{144} \)
- Sonuç: \( b = 12 \) cm.
Örnek 3:
Bir inşaat işçisi, 15 metre yüksekliğindeki bir binanın tepesinden, binanın 20 metre uzağındaki bir noktaya gergin bir ip sarkıtacaktır. İpin uzunluğu kaç metredir? (İp, binanın tepesinden başlayıp yerdeki noktaya kadar dümdüz uzanmaktadır.) 🏗️
Çözüm:
Bu problemde bir dik üçgen modeli oluşturabiliriz. 👷
- Binanın yüksekliği bir dik kenarı (15 metre) temsil eder.
- Binanın yerdeki noktaya olan uzaklığı diğer dik kenarı (20 metre) temsil eder.
- Sarkıtılacak ip ise bu dik üçgenin hipotenüsüdür.
- Pisagor teoremini kullanalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 15^2 + 20^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 225 + 400 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 625 = c^2 \)
- İpin uzunluğunu (hipotenüsü) bulmak için karekök alalım: \( c = \sqrt{625} \)
- Sonuç: \( c = 25 \) metre.
Örnek 4:
Bir ABC dik üçgeninde, \( \angle C = 90^\circ \). Eğer \( AC = 12 \) birim ve \( BC = 5 \) birim ise, bu üçgenin çevresi kaç birimdir? 🌳
Çözüm:
Çevreyi bulmak için tüm kenar uzunluklarını bilmemiz gerekiyor. ➕
- İlk olarak hipotenüs AB'yi Pisagor teoremi ile bulalım: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \)
- \( 12^2 + 5^2 = AB^2 \)
- \( 144 + 25 = AB^2 \)
- \( 169 = AB^2 \)
- \( AB = \sqrt{169} = 13 \) birim.
- Şimdi çevreyi hesaplayabiliriz: Çevre = \( AC + BC + AB \)
- Çevre = \( 12 + 5 + 13 \)
- Çevre = \( 30 \) birim.
Örnek 5:
Bir merdiven, 8 metre yüksekliğindeki bir duvara dayanmıştır. Merdivenin duvara dayandığı noktanın, duvarın dibine olan uzaklığı 6 metredir. Merdivenin uzunluğu kaç metredir? 🪜
Çözüm:
Bu durumu bir dik üçgen olarak düşünebiliriz. 🏠
- Duvarın yüksekliği bir dik kenarı (8 metre) temsil eder.
- Duvarın dibinden merdivenin ucuna kadar olan mesafe diğer dik kenarı (6 metre) temsil eder.
- Merdivenin kendisi ise hipotenüstür.
- Pisagor teoremini uygulayalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- \( 8^2 + 6^2 = c^2 \)
- \( 64 + 36 = c^2 \)
- \( 100 = c^2 \)
- Merdivenin uzunluğunu bulmak için karekök alalım: \( c = \sqrt{100} \)
- \( c = 10 \) metre.
Örnek 6:
Bir dik üçgenin hipotenüsü 17 cm'dir. Dik kenarlarının uzunlukları arasındaki fark 7 cm'dir. Bu dik üçgenin dik kenar uzunluklarını bulunuz. 🧮
Çözüm:
Bu soruda iki bilinmeyenimiz var ve iki denklem kuracağız. ✍️
- Dik kenarları 'a' ve 'b' olarak adlandıralım. Hipotenüs 'c' = 17 cm.
- Pisagor teoremine göre: \( a^2 + b^2 = 17^2 \) yani \( a^2 + b^2 = 289 \).
- Dik kenarlar arasındaki fark 7 cm olduğuna göre, örneğin \( a - b = 7 \) diyebiliriz.
- Buradan 'a'yı çekelim: \( a = b + 7 \).
- Şimdi bu 'a' değerini Pisagor denkleminde yerine koyalım: \( (b+7)^2 + b^2 = 289 \)
- Parantezi açalım: \( (b^2 + 14b + 49) + b^2 = 289 \)
- Benzer terimleri birleştirelim: \( 2b^2 + 14b + 49 = 289 \)
- Denklemi sıfıra eşitleyelim: \( 2b^2 + 14b + 49 - 289 = 0 \)
- \( 2b^2 + 14b - 240 = 0 \)
- Denklemi sadeleştirmek için her tarafı 2'ye bölelim: \( b^2 + 7b - 120 = 0 \)
- Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak veya kuadratik formülle çözebiliriz. Çarpanlara ayırma ile: \( (b+15)(b-8) = 0 \)
- Buradan \( b = -15 \) veya \( b = 8 \) çıkar. Uzunluk negatif olamayacağı için \( b = 8 \) cm'dir.
- Şimdi 'a'yı bulalım: \( a = b + 7 = 8 + 7 = 15 \) cm.
Örnek 7:
Bir parkta, 12 metre yüksekliğinde bir direğin tepesinden, direğin 5 metre uzağındaki bir banka doğru düz bir hat üzerinde bir ip gerilmiştir. Bu ipin uzunluğu kaç metredir? 🏞️
Çözüm:
Bu problemi bir dik üçgen olarak modelleyebiliriz. 🌳
- Direğin yüksekliği dik kenarlardan birini (12 metre) oluşturur.
- Direğin banka olan uzaklığı diğer dik kenarı (5 metre) oluşturur.
- Gerilen ip ise bu dik üçgenin hipotenüsüdür.
- Pisagor teoremini kullanalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 12^2 + 5^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 144 + 25 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 169 = c^2 \)
- İpin uzunluğunu (hipotenüsü) bulmak için karekök alalım: \( c = \sqrt{169} \)
- Sonuç: \( c = 13 \) metre.
Örnek 8:
Bir dik üçgenin dik kenarları \( x \) cm ve \( 2x \) cm'dir. Hipotenüsü ise 10 cm'dir. Buna göre \( x \) kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor teoremini kullanacağız. 📌
- Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Dik kenarlarımız \( x \) ve \( 2x \), hipotenüsümüz 10 cm.
- Formüle yerleştirelim: \( x^2 + (2x)^2 = 10^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( x^2 + 4x^2 = 100 \)
- Benzer terimleri birleştirelim: \( 5x^2 = 100 \)
- \( x^2 \) terimini yalnız bırakalım: \( x^2 = \frac{100}{5} \)
- \( x^2 = 20 \)
- \( x \) değerini bulmak için karekök alalım: \( x = \sqrt{20} \)
- \( x = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5} \) cm.
Örnek 9:
Bir çiftçi, tarlasının bir köşesinden karşı köşesine çapraz bir yol yapacaktır. Tarlasının kenar uzunlukları 90 metre ve 120 metredir. Yapılacak yol kaç metre olur? 🚜
Çözüm:
Bu durum, tarlanın kendisinin bir dik üçgen oluşturduğu ve çapraz yolun hipotenüs olduğu anlamına gelir. 🌾
- Dik kenarlarımız 90 metre ve 120 metredir.
- Çapraz yolun uzunluğunu (hipotenüs) Pisagor teoremi ile bulacağız: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- \( 90^2 + 120^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 8100 + 14400 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 22500 = c^2 \)
- Yolun uzunluğunu bulmak için karekök alalım: \( c = \sqrt{22500} \)
- \( c = 150 \) metre.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-dik-ucgen/sorular