🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Denklem Ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Denklem Ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir sayının 3 katının 5 fazlası, aynı sayının 2 katının 12 eksiğine eşittir. Bu sayı kaçtır? 🤔
Çözüm:
Bu problemi çözmek için öncelikle verilen bilgileri matematiksel bir denkleme dönüştürmemiz gerekiyor.
- 👉 Bilinmeyen sayıya \(x\) diyelim.
- 👉 Sayının 3 katının 5 fazlası ifadesi: \(3x + 5\)
- 👉 Sayının 2 katının 12 eksiği ifadesi: \(2x - 12\)
- 👉 Bu iki ifade birbirine eşit olduğuna göre denklemi kuralım: \[ 3x + 5 = 2x - 12 \]
- 👉 Şimdi \(x\)'li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım: \[ 3x - 2x = -12 - 5 \]
- 👉 Denklemi çözelim: \[ x = -17 \]
Örnek 2:
Ayşe'nin yaşı, babasının yaşının üçte birinden 5 eksiktir. Babası 45 yaşında olduğuna göre Ayşe kaç yaşındadır? 👨👧
Çözüm:
Bu bir yaş problemidir ve denklem kurarak çözebiliriz.
- 👉 Babasının yaşı zaten verilmiş: 45
- 👉 Ayşe'nin yaşını bulmak için babasının yaşının üçte birini hesaplayalım: \[ \frac{45}{3} = 15 \]
- 👉 Ayşe'nin yaşı, babasının yaşının üçte birinden 5 eksik olduğuna göre: \[ 15 - 5 = 10 \]
Örnek 3:
Bir otobüsteki yolcuların \( \frac{2}{5} \)'i erkektir. Geriye kalan yolcuların \( \frac{1}{3} \)'ü çocuktur. Otobüste 12 kadın yolcu olduğuna göre toplam yolcu sayısı kaçtır? 🚌
Çözüm:
Bu kesir problemini adım adım çözerek toplam yolcu sayısını bulalım.
- 👉 Toplam yolcu sayısına \(x\) diyelim.
- 👉 Erkek yolcu sayısı: \( \frac{2x}{5} \)
- 👉 Kalan yolcuları bulmak için toplamdan erkek yolcuları çıkaralım: \[ x - \frac{2x}{5} = \frac{5x - 2x}{5} = \frac{3x}{5} \] Bu kalan yolcular kadınlar ve çocuklardır.
- 👉 Kalan yolcuların \( \frac{1}{3} \)'ü çocuk olduğuna göre, çocuk yolcu sayısı: \[ \frac{3x}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{x}{5} \]
- 👉 Geriye kalanlar kadın olduğuna göre, kadın yolcu sayısı: \[ \frac{3x}{5} - \frac{x}{5} = \frac{2x}{5} \]
- 👉 Soruda 12 kadın yolcu olduğu belirtilmiş. O zaman denklemi kuralım: \[ \frac{2x}{5} = 12 \]
- 👉 Denklemi çözerek \(x\)'i bulalım: \[ 2x = 12 \times 5 \] \[ 2x = 60 \] \[ x = \frac{60}{2} \] \[ x = 30 \]
Örnek 4:
Bir ürünün fiyatına %20 zam yapıldıktan sonra ürünün yeni fiyatı 180 TL olmuştur. Ürünün zam yapılmadan önceki orijinal fiyatı kaç TL'dir? 💰
Çözüm:
Yüzde problemini çözmek için orijinal fiyatı bilinmeyen olarak alıp denklemi kuralım.
- 👉 Ürünün orijinal fiyatına \(x\) diyelim.
- 👉 %20 zam yapılması demek, fiyatın %100'üne %20 eklenmesi, yani fiyatın %120'si olması demektir. Bu da \(1.20\) katına çıkması anlamına gelir.
- 👉 Zamlı fiyatı veren denklem: \[ x \times 1.20 = 180 \] veya \[ x + \frac{20}{100}x = 180 \] \[ \frac{100x + 20x}{100} = 180 \] \[ \frac{120x}{100} = 180 \]
- 👉 Şimdi \(x\)'i bulmak için denklemi çözelim: \[ 120x = 180 \times 100 \] \[ 120x = 18000 \] \[ x = \frac{18000}{120} \] \[ x = 150 \]
Örnek 5:
Bir satıcı, tanesi 50 TL'ye aldığı bir ürünü %30 kârla satmaktadır. Bu ürünün satış fiyatı kaç TL'dir? 📈
Çözüm:
Kâr-zarar problemlerinde genellikle yüzde hesaplamaları kullanılır.
- 👉 Ürünün alış fiyatı: 50 TL
- 👉 Satıcının elde etmek istediği kâr oranı: %30
- 👉 50 TL'nin %30'unu hesaplayalım: \[ 50 \times \frac{30}{100} = 50 \times 0.30 = 15 \]
- 👉 Bu ürünün satış fiyatı, alış fiyatına kâr miktarının eklenmesiyle bulunur: \[ \text{Satış Fiyatı} = \text{Alış Fiyatı} + \text{Kâr Miktarı} \] \[ \text{Satış Fiyatı} = 50 + 15 \] \[ \text{Satış Fiyatı} = 65 \]
Örnek 6:
Bir markette bir paket çikolatanın fiyatı \(2x - 3\) TL'dir. Bu çikolatanın fiyatı 15 TL'den az olmadığına göre, \(x\)'in alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? 🍫
Çözüm:
Bu bir eşitsizlik problemidir. Fiyatın 15 TL'den az olmaması demek, 15 TL'ye eşit veya 15 TL'den fazla olması demektir.
- 👉 Çikolatanın fiyatı: \(2x - 3\) TL
- 👉 Fiyatın 15 TL'den az olmadığı bilgisi bize şu eşitsizliği verir: \[ 2x - 3 \ge 15 \]
- 👉 Şimdi bu eşitsizliği çözerek \(x\)'in değer aralığını bulalım: \[ 2x \ge 15 + 3 \] \[ 2x \ge 18 \] \[ x \ge \frac{18}{2} \] \[ x \ge 9 \]
Örnek 7:
Bir bilgi yarışmasında doğru cevaplanan her soru için 5 puan kazanılmakta, yanlış cevaplanan her soru için ise 2 puan kaybedilmektedir. Yarışmaya katılan Ali, toplam 20 soruya cevap vermiş ve 55 puan almıştır. Buna göre Ali kaç soruyu doğru cevaplamıştır? 🏆
Çözüm:
Bu tür yeni nesil problemler, birden fazla bilinmeyeni tek bir denklemde ifade etme becerisi gerektirir.
- 👉 Ali'nin doğru cevapladığı soru sayısına \(D\) diyelim.
- 👉 Ali'nin yanlış cevapladığı soru sayısına \(Y\) diyelim.
- 👉 Toplam 20 soruya cevap verdiğine göre: \[ D + Y = 20 \]
- 👉 Bu denklemden yanlış cevap sayısını \(D\) cinsinden yazabiliriz: \[ Y = 20 - D \]
- 👉 Puanlama sistemine göre, Ali'nin aldığı toplam puanı ifade eden denklem: \[ 5D - 2Y = 55 \]
- 👉 Şimdi \(Y\) yerine \(20 - D\) yazarak tek bilinmeyenli bir denklem elde edelim: \[ 5D - 2(20 - D) = 55 \]
- 👉 Denklemi çözelim: \[ 5D - 40 + 2D = 55 \] \[ 7D - 40 = 55 \] \[ 7D = 55 + 40 \] \[ 7D = 95 \] \[ D = \frac{95}{7} \]
- 💡 Durun! Bu sonuç bir tam sayı değil. Soruda veya verilen değerlerde bir hata olabilir mi? Bir daha kontrol edelim.
- Öğrenci seviyesine uygun, tam sayı çıkan bir örnek verelim. Diyelim ki Ali 15 soruya cevap verdi ve 40 puan aldı.
- Yeni senaryo: Toplam 15 soru, 40 puan. \[ D + Y = 15 \implies Y = 15 - D \] \[ 5D - 2Y = 40 \] \[ 5D - 2(15 - D) = 40 \] \[ 5D - 30 + 2D = 40 \] \[ 7D - 30 = 40 \] \[ 7D = 70 \] \[ D = 10 \]
- ✅ Orjinal soruyu tekrar kontrol edelim: 20 soru, 55 puan.
\[ 5D - 2(20 - D) = 55 \]
\[ 5D - 40 + 2D = 55 \]
\[ 7D = 95 \]
Bu durumda Ali'nin doğru cevap sayısı tam sayı çıkmıyor, bu da sorunun bu haliyle 9. sınıf düzeyinde hatalı olduğunu gösterir (ya da kasten tam sayı çıkmaması hedeflenmiştir ki bu da 9. sınıf için kafa karıştırıcı olabilir).
Ancak sorunun çözüm mantığı bu şekildedir. Eğer bu bir test sorusu olsaydı, şıklarda tam sayı olmayan bir cevap olmazdı.
Müfredat uyumu ve pedagojik yaklaşım gereği, tam sayı çıkan bir örnek vermek daha doğru olacaktır.
Düzeltilmiş Senaryo (Tam sayı çıkan bir örnek olması için):
Bir bilgi yarışmasında doğru cevaplanan her soru için 5 puan kazanılmakta, yanlış cevaplanan her soru için ise 2 puan kaybedilmektedir. Yarışmaya katılan Ali, toplam 15 soruya cevap vermiş ve 40 puan almıştır. Buna göre Ali kaç soruyu doğru cevaplamıştır?
- 👉 Doğru soru sayısı \(D\), yanlış soru sayısı \(Y\).
- 👉 Toplam 15 soru: \(D + Y = 15 \implies Y = 15 - D\)
- 👉 Toplam 40 puan: \(5D - 2Y = 40\)
- 👉 \(Y\) yerine \(15 - D\) yazalım: \[ 5D - 2(15 - D) = 40 \] \[ 5D - 30 + 2D = 40 \] \[ 7D - 30 = 40 \] \[ 7D = 70 \] \[ D = 10 \]
Örnek 8:
Bir markette elmanın kilogram fiyatı \(x\) TL, portakalın kilogram fiyatı ise elmanın kilogram fiyatından 2 TL fazladır. Ayşe Hanım, 3 kg elma ve 2 kg portakal alarak toplam 29 TL ödemiştir. Buna göre elmanın kilogram fiyatı kaç TL'dir? 🍎🍊
Çözüm:
Günlük hayatta sıkça karşılaştığımız bu problemi denklem kurarak çözebiliriz.
- 👉 Elmanın kilogram fiyatı: \(x\) TL
- 👉 Portakalın kilogram fiyatı: \(x + 2\) TL (elmadan 2 TL fazla)
- 👉 Ayşe Hanım 3 kg elma almış. Ödediği miktar: \(3 \times x = 3x\) TL
- 👉 Ayşe Hanım 2 kg portakal almış. Ödediği miktar: \(2 \times (x + 2) = 2x + 4\) TL
- 👉 Toplam ödediği miktar 29 TL olduğuna göre denklemi kuralım: \[ 3x + (2x + 4) = 29 \]
- 👉 Denklemi çözelim: \[ 5x + 4 = 29 \] \[ 5x = 29 - 4 \] \[ 5x = 25 \] \[ x = \frac{25}{5} \] \[ x = 5 \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-denklem-ve-esitsizliklerle-ilgili-uygulamalar/sorular