💡 9. Sınıf Matematik: Çözümlü Öklid Teoremi Soruları Çözümlü Örnekler

Öklid Teoremi'nin yükseklik bağıntısını kullanarak bu soruyu çözebiliriz.

• 📌 Yükseklik Bağıntısı: Dik üçgende, dik açıdan hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir. Yani, \( h^2 = p \cdot k \) formülünü kullanırız.
• Verilen değerleri yerine yazalım: \( p = 4 \) cm ve \( k = 9 \) cm.
• Denklemi kuralım: \[ h^2 = 4 \cdot 9 \]
• Çarpma işlemini yapalım: \[ h^2 = 36 \]
• Her iki tarafın karekökünü alarak \( h \) değerini bulalım: \[ h = \sqrt{36} \]
• ✅ Sonuç: \( h = 6 \) cm'dir.

Demek ki, yüksekliğin uzunluğu 6 cm'dir. 💡

Bu soruyu Öklid Teoremi'nin dik kenar bağıntısını kullanarak çözebiliriz.

• 📌 Dik Kenar Bağıntısı: Dik üçgende bir dik kenarın karesi, hipotenüs üzerindeki kendi tarafındaki parçanın uzunluğu ile hipotenüsün tamamının uzunluğunun çarpımına eşittir. Yani, \( c^2 = p \cdot a \) formülünü kullanırız.
• Verilen değerleri belirleyelim: \( p = BD = 2 \) cm. Hipotenüsün tamamı \( a = BC = 8 \) cm.
• Denklemi kuralım: \[ c^2 = 2 \cdot 8 \]
• Çarpma işlemini yapalım: \[ c^2 = 16 \]
• Her iki tarafın karekökünü alarak \( c \) değerini bulalım: \[ c = \sqrt{16} \]
• ✅ Sonuç: \( c = 4 \) cm'dir.

AB kenarının uzunluğu 4 cm'dir. 👉

Öncelikle yükseklik bağıntısını kullanarak diğer parçayı bulalım, ardından hipotenüsün tamamını hesaplayalım.

• 📌 Adım 1: Diğer Parçayı Bulma
• Yükseklik Bağıntısı: \( h^2 = p \cdot k \)
• Verilen değerleri yerine yazalım: \( h = 6 \) cm ve \( p = 3 \) cm.
• Denklemi kuralım: \[ 6^2 = 3 \cdot k \]
• Karesini alalım: \[ 36 = 3 \cdot k \]
• Her iki tarafı 3'e bölelim: \[ k = \frac{36}{3} \]
• ✅ Sonuç: \( k = 12 \) cm'dir.

• 📌 Adım 2: Hipotenüsün Tamamını Bulma
• Hipotenüsün tamamı, parçaların toplamına eşittir: \( a = p + k \)
• Bulduğumuz değerleri yerine yazalım: \( a = 3 + 12 \)
• ✅ Sonuç: \( a = 15 \) cm'dir.

Diğer parça 12 cm, hipotenüsün tamamı ise 15 cm'dir. 🚀

Bu soruda Öklid Teoremi'nin dik kenar bağıntısını doğrudan uygulayabiliriz.

• 📌 Dik Kenar Bağıntısı: Bir dik kenarın karesi, kendi tarafındaki hipotenüs parçasının uzunluğu ile tüm hipotenüsün uzunluğunun çarpımına eşittir. Formül: \( c^2 = p \cdot a \)
• Verilen değerleri yerine yazalım: \( c = 10 \) cm ve \( p = 5 \) cm.
• Denklemi kuralım: \[ 10^2 = 5 \cdot a \]
• Karesini alalım: \[ 100 = 5 \cdot a \]
• Her iki tarafı 5'e bölelim: \[ a = \frac{100}{5} \]
• ✅ Sonuç: \( a = 20 \) cm'dir.

Hipotenüsün tamamının uzunluğu 20 cm'dir. 💡

Bu problemde, çatı makasının yapısı bir dik üçgen ve yüksekliği temsil ediyor. Öklid Teoremi'nin hem yükseklik hem de dik kenar bağıntısını kullanacağız.

• 📌 Adım 1: Yüksekliği (AD) Bulma
• İlk olarak, AD yüksekliğini bulmak için yükseklik bağıntısını kullanalım: \( h^2 = p \cdot k \)
• Burada \( h = AD \), \( p = BD = 8 \), \( k = DC = 18 \).
• Denklem: \[ AD^2 = 8 \cdot 18 \]
• Çarpma: \[ AD^2 = 144 \]
• Karekök alma: \[ AD = \sqrt{144} \]
• Yükseklik: \( AD = 12 \) birimdir.

• 📌 Adım 2: AB Kenarını Bulma
• AB kenarını bulmak için dik kenar bağıntısını kullanabiliriz: \( c^2 = p \cdot a \)
• Burada \( c = AB \), \( p = BD = 8 \), ve hipotenüsün tamamı \( a = BC = BD + DC = 8 + 18 = 26 \) birim.
• Denklem: \[ AB^2 = 8 \cdot 26 \]
• Çarpma: \[ AB^2 = 208 \]
• Karekök alma: \[ AB = \sqrt{208} \]
• 208'i çarpanlarına ayıralım: \( 208 = 16 \cdot 13 \)
• ✅ Sonuç: \( AB = \sqrt{16 \cdot 13} = 4\sqrt{13} \) birimdir.

Çatı makasının AB kenarının uzunluğu \( 4\sqrt{13} \) birimdir. Bu problemde hem yüksekliği hem de bir dik kenarı bulmak için Öklid'i kullandık. ✅

Bu senaryoda, merdiven, duvar ve zemin bir dik üçgen oluşturuyor. Öklid bağıntılarını kullanabilmek için öncelikle hipotenüs üzerindeki parçaları bulmalıyız. Ancak verilenler dik kenarlar. Bu yüzden önce Pisagor Teoremi'ni kullanacağız, ardından Öklid'i uygulayacağız.

• 📌 Adım 1: Merdivenin Uzunluğunu (Hipotenüs) Bulma
• Duvarın yüksekliği \( b = 120 \) cm, zemindeki uzaklık \( c = 90 \) cm. Merdivenin uzunluğu \( a \) hipotenüstür.
• Pisagor Teoremi: \( a^2 = b^2 + c^2 \)
• Denklem: \[ a^2 = 120^2 + 90^2 \]
• Karelerini alalım: \[ a^2 = 14400 + 8100 \]
• Toplayalım: \[ a^2 = 22500 \]
• Karekök alalım: \[ a = \sqrt{22500} \]
• Merdiven uzunluğu: \( a = 150 \) cm'dir.

• 📌 Adım 2: Hipotenüs Üzerindeki Parçaları Bulma
• Şimdi Öklid'in dik kenar bağıntılarını kullanarak hipotenüs üzerindeki parçaları bulabiliriz.
• Duvar tarafındaki dik kenarın (yükseklik 120 cm) hipotenüs üzerindeki izdüşümü \( k \) olsun: \( b^2 = k \cdot a \)
• \[ 120^2 = k \cdot 150 \]
• \[ 14400 = k \cdot 150 \]
• \[ k = \frac{14400}{150} = 96 \] cm.
• Zemin tarafındaki dik kenarın (uzunluk 90 cm) hipotenüs üzerindeki izdüşümü \( p \) olsun: \( c^2 = p \cdot a \)
• \[ 90^2 = p \cdot 150 \]
• \[ 8100 = p \cdot 150 \]
• \[ p = \frac{8100}{150} = 54 \] cm.
• Kontrol edelim: \( p + k = 54 + 96 = 150 \) cm, bu da merdiven uzunluğuna eşit. ✅

• 📌 Adım 3: İstenen Mesafeyi Bulma
• Soruda "destek noktası ile merdivenin duvara değdiği nokta arasındaki mesafe" isteniyor. Bu, aslında \( k \) parçasının uzunluğudur.
• ✅ Sonuç: İstenen mesafe 96 cm'dir.

Marangozun yerleştirdiği destek noktası ile merdivenin duvara değdiği nokta arasındaki mesafe 96 cm'dir. 🛠️

Bu problemde, dik kenarlar arasındaki ilişkiyi ve yüksekliği kullanarak hipotenüsü bulacağız. Hem Pisagor hem de Öklid'in alan bağıntısını kullanabiliriz.

• 📌 Adım 1: Dik Kenarları Temsil Etme
• Dik kenarlar \( b \) ve \( c \) olsun. Biri diğerinin 2 katı olduğuna göre, \( c = x \) dersek, \( b = 2x \) olur.
• Yüksekliğin uzunluğu \( h = 4\sqrt{5} \) cm olarak verilmiş.

• 📌 Adım 2: Hipotenüsü x Cinsinden Bulma (Pisagor)
• Pisagor Teoremi'ni kullanarak hipotenüsü (\( a \)) bulalım: \( a^2 = b^2 + c^2 \)
• \[ a^2 = (2x)^2 + x^2 \]
• \[ a^2 = 4x^2 + x^2 \]
• \[ a^2 = 5x^2 \]
• \[ a = \sqrt{5x^2} = x\sqrt{5} \] cm.

• 📌 Adım 3: x Değerini Bulma (Öklid Alan Bağıntısı)
• Dik üçgenin alanı iki farklı şekilde ifade edilebilir: \( \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \) veya \( \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \).
• Bu iki ifadeyi eşitleyerek Öklid'in alan bağıntısını elde ederiz: \( b \cdot c = a \cdot h \)
• Değerleri yerine yazalım: \( (2x) \cdot x = (x\sqrt{5}) \cdot (4\sqrt{5}) \)
• \[ 2x^2 = x \cdot 4 \cdot 5 \]
• \[ 2x^2 = 20x \]
• Her iki tarafı \( x \) ( \( x \neq 0 \) ) ile bölelim: \[ 2x = 20 \]
• \[ x = \frac{20}{2} \]
• \( x = 10 \) cm.

• 📌 Adım 4: Hipotenüsün Uzunluğunu Bulma
• Hipotenüsü \( a = x\sqrt{5} \) olarak bulmuştuk. \( x = 10 \) değerini yerine yazalım.
• ✅ Sonuç: \( a = 10\sqrt{5} \) cm'dir.

Bu dik üçgenin hipotenüsünün uzunluğu \( 10\sqrt{5} \) cm'dir. 🚀

Bu problemde, dik üçgende hem yüksekliği (bankın uzunluğu) hem de bir dik kenarı (AB yolu) bulmak için Öklid Teoremi'ni kullanacağız.

• 📌 Adım 1: Bankın (AD) Uzunluğunu Bulma
• AD, dik açıdan hipotenüse inen yüksekliktir. Yükseklik bağıntısını kullanalım: \( h^2 = p \cdot k \)
• Burada \( h = AD \), \( p = BD = 5 \) metre, \( k = DC = 15 \) metre.
• Denklem: \[ AD^2 = 5 \cdot 15 \]
• Çarpma: \[ AD^2 = 75 \]
• Karekök alma: \[ AD = \sqrt{75} \]
• 75'i çarpanlarına ayıralım: \( 75 = 25 \cdot 3 \)
• ✅ Bankın uzunluğu: \( AD = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \) metredir.

• 📌 Adım 2: AB Kenarının Uzunluğunu Bulma
• AB kenarı, dik üçgenin bir dik kenarıdır. Dik kenar bağıntısını kullanalım: \( c^2 = p \cdot a \)
• Burada \( c = AB \), \( p = BD = 5 \) metre.
• Hipotenüsün tamamı \( a = BC = BD + DC = 5 + 15 = 20 \) metredir.
• Denklem: \[ AB^2 = 5 \cdot 20 \]
• Çarpma: \[ AB^2 = 100 \]
• Karekök alma: \[ AB = \sqrt{100} \]
• ✅ AB kenarının uzunluğu: \( AB = 10 \) metredir.

Bankın uzunluğu \( 5\sqrt{3} \) metre ve AB yürüyüş yolunun uzunluğu 10 metredir. ✅