🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 Aşağıdaki cebirsel ifadeyi ortak çarpan parantezine alma yöntemiyle çarpanlarına ayırınız:
\[ 6xy^2 - 9x^2y \]
\[ 6xy^2 - 9x^2y \]
Çözüm:
Bu ifadeyi çarpanlarına ayırmak için öncelikle her terimdeki ortak çarpanları belirlemeliyiz.
- 👉 Terimler: \( 6xy^2 \) ve \( -9x^2y \).
- 👉 Sayısal çarpanlar: 6 ve 9'un en büyük ortak böleni 3'tür.
- 👉 Değişken çarpanlar: Her iki terimde de \( x \) ve \( y \) değişkenleri bulunmaktadır.
- 👉 En küçük üslü \( x \) terimi \( x^1 \) (yani \( x \)), en küçük üslü \( y \) terimi \( y^1 \) (yani \( y \))'dir.
- ✅ Bu durumda ortak çarpanımız \( 3xy \) olur.
Böylece ifade çarpanlarına ayrılmış oldu! 🎉
Örnek 2:
📌 Aşağıdaki cebirsel ifadeyi iki kare farkı özdeşliği kullanarak çarpanlarına ayırınız:
\[ x^2 - 49 \]
\[ x^2 - 49 \]
Çözüm:
İki kare farkı özdeşliği, \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) şeklindedir. İfademizi bu özdeşlik yapısına uygun hale getirelim:
\[ x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7) \]
- 👉 Birinci terim \( x^2 \), yani \( a = x \) olarak düşünebiliriz.
- 👉 İkinci terim \( 49 \). Hangi sayının karesi 49'dur? \( 7^2 = 49 \). Yani \( b = 7 \) olarak düşünebiliriz.
- ✅ Şimdi özdeşliği uygulayalım: \( (x - 7)(x + 7) \).
\[ x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7) \]
Gördüğünüz gibi, iki kare farkı özdeşliği ile çarpanlara ayırma çok kolay! 😉
Örnek 3:
✨ Aşağıdaki tam kare ifadeyi açarak özdeşini bulunuz:
\[ (2x + 5)^2 \]
\[ (2x + 5)^2 \]
Çözüm:
Bu bir toplamın karesi özdeşliğidir. Genel formülü \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) şeklindedir.
\[ (2x + 5)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 5 + 5^2 \] \[ (2x + 5)^2 = 4x^2 + 20x + 25 \]
- 👉 İfadede \( a = 2x \) ve \( b = 5 \)'tir.
- 1. Adım: Birinci terimin karesini alalım: \( (2x)^2 = 4x^2 \).
- 2. Adım: Birinci ve ikinci terimin çarpımının iki katını alalım: \( 2 \cdot (2x) \cdot 5 = 20x \).
- 3. Adım: İkinci terimin karesini alalım: \( 5^2 = 25 \).
- ✅ Son olarak, bu terimleri toplayalım.
\[ (2x + 5)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 5 + 5^2 \] \[ (2x + 5)^2 = 4x^2 + 20x + 25 \]
İfadenin özdeşi \( 4x^2 + 20x + 25 \) olarak bulunur! 💯
Örnek 4:
📝 Aşağıdaki ifadeyi tam kare özdeşliği kullanarak çarpanlarına ayırınız:
\[ 9x^2 - 24xy + 16y^2 \]
\[ 9x^2 - 24xy + 16y^2 \]
Çözüm:
Bu ifade, farkın karesi özdeşliğine benzer. Genel formülü \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) şeklindedir.
\[ 9x^2 - 24xy + 16y^2 = (3x - 4y)^2 \]
- 👉 İfadedeki terimleri inceleyelim:
- Birinci terim \( 9x^2 \). Bu, \( (3x)^2 \)'nin açılımıdır, yani \( a = 3x \) olabilir.
- Üçüncü terim \( 16y^2 \). Bu, \( (4y)^2 \)'nin açılımıdır, yani \( b = 4y \) olabilir.
- İkinci terim \( -24xy \). Eğer \( a=3x \) ve \( b=4y \) ise, \( -2ab = -2 \cdot (3x) \cdot (4y) = -24xy \) olur. Bu da özdeşliğe uyduğunu gösterir!
- ✅ O halde, ifademiz \( (3x - 4y)^2 \) şeklindedir.
\[ 9x^2 - 24xy + 16y^2 = (3x - 4y)^2 \]
Harika! Bu da tam kare özdeşliği ile çözüldü. ✨
Örnek 5:
🧩 Aşağıdaki cebirsel ifadeyi gruplandırarak çarpanlara ayırma yöntemiyle çarpanlarına ayırınız:
\[ ax - ay + bx - by \]
\[ ax - ay + bx - by \]
Çözüm:
Bu yöntemde, terimleri ikişerli gruplara ayırıp her gruptan ortak çarpan parantezine alırız.
\[ ax - ay + bx - by = a(x - y) + b(x - y) = (x - y)(a + b) \]
- 1. Adım: İlk iki terimi gruplayalım: \( (ax - ay) \).
- 2. Adım: Son iki terimi gruplayalım: \( (bx - by) \).
- 3. Adım: İlk gruptan ortak çarpan olan \( a \)'yı paranteze alalım: \( a(x - y) \).
- 4. Adım: İkinci gruptan ortak çarpan olan \( b \)'yi paranteze alalım: \( b(x - y) \).
- ✅ Şimdi ifademiz \( a(x - y) + b(x - y) \) şeklini aldı. Gördüğümüz gibi, \( (x - y) \) ifadesi her iki terimin de ortak çarpanı oldu.
- 5. Adım: Ortak çarpan olan \( (x - y) \)'yi tekrar paranteze alalım: \( (x - y)(a + b) \).
\[ ax - ay + bx - by = a(x - y) + b(x - y) = (x - y)(a + b) \]
Gruplandırarak çarpanlara ayırma, kalabalık ifadeleri sadeleştirmek için çok işe yarar! 🚀
Örnek 6:
💡 Aşağıdaki üç terimli ifadeyi çarpanlarına ayırınız:
\[ x^2 + 8x + 15 \]
\[ x^2 + 8x + 15 \]
Çözüm:
Bu tür üç terimli ifadeleri çarpanlara ayırırken, çarpımları sabit terimi veren ve toplamları ortadaki terimin katsayısını veren iki sayı bulmaya çalışırız.
\[ x^2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5) \]
- 👉 Sabit terimimiz 15'tir. Çarpımları 15 olan sayı ikilileri:
- \( 1 \times 15 = 15 \)
- \( 3 \times 5 = 15 \)
- \( (-1) \times (-15) = 15 \)
- \( (-3) \times (-5) = 15 \)
- 👉 Ortadaki terimin katsayısı 8'dir. Bu sayı ikililerinden hangisinin toplamı 8'dir?
- \( 1 + 15 = 16 \) (Değil)
- \( 3 + 5 = 8 \) (Evet, bu doğru!)
- ✅ Bulduğumuz sayılar 3 ve 5'tir. O halde ifadeyi \( (x+3)(x+5) \) şeklinde çarpanlarına ayırabiliriz.
\[ x^2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5) \]
Bu yöntemle birçok ifadeyi kolayca çarpanlarına ayırabilirsin! 😉
Örnek 7:
🌳 Kenar uzunluğu \( (x+5) \) birim olan karesel bir bahçenin ortasına, kenar uzunluğu \( (x-1) \) birim olan karesel bir havuz yapılmıştır. Kalan çim alanın büyüklüğünü veren cebirsel ifadeyi bulunuz ve çarpanlarına ayrılmış şekilde yazınız. (Bahçe ve havuz kenarları paraleldir.)
Çözüm:
Bu problemde, büyük bir kareden küçük bir kare çıkarılması durumu söz konusudur. Kalan çim alanı bulmak için büyük karenin alanından küçük karenin alanını çıkarmalıyız. Bu, iki kare farkı özdeşliği uygulamasıdır.
- 1. Adım: Büyük bahçenin kenar uzunluğu \( a = (x+5) \) birimdir. Alanı \( A_{bahçe} = (x+5)^2 \).
- 2. Adım: Havuzun kenar uzunluğu \( b = (x-1) \) birimdir. Alanı \( A_{havuz} = (x-1)^2 \).
- 3. Adım: Kalan çim alan \( A_{çim} = A_{bahçe} - A_{havuz} \) olacaktır. \[ A_{çim} = (x+5)^2 - (x-1)^2 \]
- 4. Adım: İki kare farkı özdeşliğini uygulayalım: \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \).
- Burada \( a = (x+5) \) ve \( b = (x-1) \). \[ A_{çim} = [(x+5) - (x-1)][(x+5) + (x-1)] \]
- 5. Adım: Parantez içindeki işlemleri yapalım:
- Birinci köşeli parantez: \( (x+5) - (x-1) = x+5-x+1 = 6 \)
- İkinci köşeli parantez: \( (x+5) + (x-1) = x+5+x-1 = 2x+4 \)
- ✅ Sonuç olarak, kalan çim alanın cebirsel ifadesi: \[ A_{çim} = 6(2x+4) \]
- 6. Adım: İfadeyi daha da çarpanlarına ayırabiliriz, \( (2x+4) \) ifadesinde 2 ortak çarpanı vardır: \[ A_{çim} = 6 \cdot 2(x+2) = 12(x+2) \]
Kalan çim alanın büyüklüğünü veren çarpanlarına ayrılmış cebirsel ifade \( 12(x+2) \) birimkaredir. 🌿
Örnek 8:
🛍️ Bir kırtasiye, tanesi \( (a+b) \) TL olan kalemlerden \( (a+b) \) adet satmıştır. Ertesi gün, tanesi \( (a-b) \) TL olan defterlerden \( (a-b) \) adet daha satmıştır. Bu iki günde yapılan toplam satış tutarını veren cebirsel ifadeyi bulunuz ve en sade haline getiriniz.
Çözüm:
Bu problemde, iki farklı ürünün satışından elde edilen toplam geliri bulmamız gerekiyor. Her ürünün birim fiyatı ve satış adedi aynı cebirsel ifadeyle verilmiştir.
- 1. Adım: Kalem satışından elde edilen gelir:
- 2. Adım: Defter satışından elde edilen gelir:
- 3. Adım: Toplam satış tutarı, kalem ve defter gelirlerinin toplamıdır: \[ \text{Toplam Satış} = (a+b)^2 + (a-b)^2 \]
- 4. Adım: Şimdi tam kare özdeşliklerini kullanarak bu ifadeyi açalım:
- \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
- \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
- 5. Adım: Bu açılımları toplayalım: \[ (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2) \]
- Ortadaki \( +2ab \) ve \( -2ab \) terimleri birbirini götürür. \[ a^2 + b^2 + a^2 + b^2 \]
- ✅ Sonuç olarak, ifadeyi en sade haline getirelim: \[ 2a^2 + 2b^2 \]
Birim fiyat \( = (a+b) \) TL
Satış adedi \( = (a+b) \) adet
Kalem geliri \( = (a+b) \times (a+b) = (a+b)^2 \)
Birim fiyat \( = (a-b) \) TL
Satış adedi \( = (a-b) \) adet
Defter geliri \( = (a-b) \times (a-b) = (a-b)^2 \)
Kırtasiyenin yaptığı toplam satış tutarı \( 2a^2 + 2b^2 \) TL'dir. 💰
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-carpanlara-ayirma/sorular