💡 9. Sınıf Matematik: Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma Çözümlü Örnekler

• 👉 Terimler: \( 6xy^2 \) ve \( -9x^2y \).
• 👉 Sayısal çarpanlar: 6 ve 9'un en büyük ortak böleni 3'tür.
• 👉 Değişken çarpanlar: Her iki terimde de \( x \) ve \( y \) değişkenleri bulunmaktadır.
• 👉 En küçük üslü \( x \) terimi \( x^1 \) (yani \( x \)), en küçük üslü \( y \) terimi \( y^1 \) (yani \( y \))'dir.
• ✅ Bu durumda ortak çarpanımız \( 3xy \) olur.

Böylece ifade çarpanlarına ayrılmış oldu! 🎉

• 👉 Birinci terim \( x^2 \), yani \( a = x \) olarak düşünebiliriz.
• 👉 İkinci terim \( 49 \). Hangi sayının karesi 49'dur? \( 7^2 = 49 \). Yani \( b = 7 \) olarak düşünebiliriz.
• ✅ Şimdi özdeşliği uygulayalım: \( (x - 7)(x + 7) \).

Gördüğünüz gibi, iki kare farkı özdeşliği ile çarpanlara ayırma çok kolay! 😉

• 👉 İfadede \( a = 2x \) ve \( b = 5 \)'tir.
• 1. Adım: Birinci terimin karesini alalım: \( (2x)^2 = 4x^2 \).
• 2. Adım: Birinci ve ikinci terimin çarpımının iki katını alalım: \( 2 \cdot (2x) \cdot 5 = 20x \).
• 3. Adım: İkinci terimin karesini alalım: \( 5^2 = 25 \).
• ✅ Son olarak, bu terimleri toplayalım.

İfadenin özdeşi \( 4x^2 + 20x + 25 \) olarak bulunur! 💯

• 👉 İfadedeki terimleri inceleyelim:
• Birinci terim \( 9x^2 \). Bu, \( (3x)^2 \)'nin açılımıdır, yani \( a = 3x \) olabilir.
• Üçüncü terim \( 16y^2 \). Bu, \( (4y)^2 \)'nin açılımıdır, yani \( b = 4y \) olabilir.
• İkinci terim \( -24xy \). Eğer \( a=3x \) ve \( b=4y \) ise, \( -2ab = -2 \cdot (3x) \cdot (4y) = -24xy \) olur. Bu da özdeşliğe uyduğunu gösterir!
• ✅ O halde, ifademiz \( (3x - 4y)^2 \) şeklindedir.

Harika! Bu da tam kare özdeşliği ile çözüldü. ✨

• 1. Adım: İlk iki terimi gruplayalım: \( (ax - ay) \).
• 2. Adım: Son iki terimi gruplayalım: \( (bx - by) \).
• 3. Adım: İlk gruptan ortak çarpan olan \( a \)'yı paranteze alalım: \( a(x - y) \).
• 4. Adım: İkinci gruptan ortak çarpan olan \( b \)'yi paranteze alalım: \( b(x - y) \).
• ✅ Şimdi ifademiz \( a(x - y) + b(x - y) \) şeklini aldı. Gördüğümüz gibi, \( (x - y) \) ifadesi her iki terimin de ortak çarpanı oldu.
• 5. Adım: Ortak çarpan olan \( (x - y) \)'yi tekrar paranteze alalım: \( (x - y)(a + b) \).

Gruplandırarak çarpanlara ayırma, kalabalık ifadeleri sadeleştirmek için çok işe yarar! 🚀

• 👉 Sabit terimimiz 15'tir. Çarpımları 15 olan sayı ikilileri:
• \( 1 \times 15 = 15 \)
• \( 3 \times 5 = 15 \)
• \( (-1) \times (-15) = 15 \)
• \( (-3) \times (-5) = 15 \)
• 👉 Ortadaki terimin katsayısı 8'dir. Bu sayı ikililerinden hangisinin toplamı 8'dir?
• \( 1 + 15 = 16 \) (Değil)
• \( 3 + 5 = 8 \) (Evet, bu doğru!)
• ✅ Bulduğumuz sayılar 3 ve 5'tir. O halde ifadeyi \( (x+3)(x+5) \) şeklinde çarpanlarına ayırabiliriz.

Bu yöntemle birçok ifadeyi kolayca çarpanlarına ayırabilirsin! 😉

• 1. Adım: Büyük bahçenin kenar uzunluğu \( a = (x+5) \) birimdir. Alanı \( A_{bahçe} = (x+5)^2 \).
• 2. Adım: Havuzun kenar uzunluğu \( b = (x-1) \) birimdir. Alanı \( A_{havuz} = (x-1)^2 \).
• 3. Adım: Kalan çim alan \( A_{çim} = A_{bahçe} - A_{havuz} \) olacaktır.
\[ A_{çim} = (x+5)^2 - (x-1)^2 \]
• 4. Adım: İki kare farkı özdeşliğini uygulayalım: \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \).
• Burada \( a = (x+5) \) ve \( b = (x-1) \).
\[ A_{çim} = [(x+5) - (x-1)][(x+5) + (x-1)] \]
• 5. Adım: Parantez içindeki işlemleri yapalım:
• Birinci köşeli parantez: \( (x+5) - (x-1) = x+5-x+1 = 6 \)
• İkinci köşeli parantez: \( (x+5) + (x-1) = x+5+x-1 = 2x+4 \)
• ✅ Sonuç olarak, kalan çim alanın cebirsel ifadesi:
\[ A_{çim} = 6(2x+4) \]
• 6. Adım: İfadeyi daha da çarpanlarına ayırabiliriz, \( (2x+4) \) ifadesinde 2 ortak çarpanı vardır:
\[ A_{çim} = 6 \cdot 2(x+2) = 12(x+2) \]

Kalan çim alanın büyüklüğünü veren çarpanlarına ayrılmış cebirsel ifade \( 12(x+2) \) birimkaredir. 🌿

• 1. Adım: Kalem satışından elde edilen gelir:

Birim fiyat \( = (a+b) \) TL

Satış adedi \( = (a+b) \) adet

Kalem geliri \( = (a+b) \times (a+b) = (a+b)^2 \)

• 2. Adım: Defter satışından elde edilen gelir:

Birim fiyat \( = (a-b) \) TL

Satış adedi \( = (a-b) \) adet

Defter geliri \( = (a-b) \times (a-b) = (a-b)^2 \)

• 3. Adım: Toplam satış tutarı, kalem ve defter gelirlerinin toplamıdır:
\[ \text{Toplam Satış} = (a+b)^2 + (a-b)^2 \]
• 4. Adım: Şimdi tam kare özdeşliklerini kullanarak bu ifadeyi açalım:
• \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
• \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
• 5. Adım: Bu açılımları toplayalım:
\[ (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2) \]
• Ortadaki \( +2ab \) ve \( -2ab \) terimleri birbirini götürür.
\[ a^2 + b^2 + a^2 + b^2 \]
• ✅ Sonuç olarak, ifadeyi en sade haline getirelim:
\[ 2a^2 + 2b^2 \]

Kırtasiyenin yaptığı toplam satış tutarı \( 2a^2 + 2b^2 \) TL'dir. 💰