💡 9. Sınıf Matematik: Bölünebilme Çözümlü Örnekler

Bu sayının hangi sayılara tam bölündüğünü adım adım inceleyelim:

• 2 ile Bölünebilme: Sayının son rakamı çift olmalıdır. 4560'ın son rakamı 0'dır, bu yüzden 2'ye tam bölünür. ✅
• 5 ile Bölünebilme: Sayının son rakamı 0 veya 5 olmalıdır. 4560'ın son rakamı 0'dır, bu yüzden 5'e tam bölünür. ✅
• 10 ile Bölünebilme: Sayının son rakamı 0 olmalıdır. 4560'ın son rakamı 0'dır, bu yüzden 10'a tam bölünür. ✅
• 3 ile Bölünebilme: Sayının rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır. 4 + 5 + 6 + 0 = 15. 15, 3'ün katı olduğu için 4560 sayısı 3'e tam bölünür. ✅
• 9 ile Bölünebilme: Sayının rakamları toplamı 9'un katı olmalıdır. 4 + 5 + 6 + 0 = 15. 15, 9'un katı değildir, bu yüzden 4560 sayısı 9'a tam bölünmez. ❌
• 4 ile Bölünebilme: Sayının son iki rakamından oluşan sayı 4'ün katı olmalıdır. 4560'ın son iki rakamı 60'tır. 60, 4'ün katı olduğu için (60 = 4 * 15) 4560 sayısı 4'e tam bölünür. ✅
• 6 ile Bölünebilme: Sayı hem 2'ye hem de 3'e tam bölünüyorsa 6'ya da tam bölünür. 4560 sayısı 2'ye ve 3'e tam bölündüğü için 6'ya da tam bölünür. ✅

Sonuç olarak 4560 sayısı; 2, 3, 4, 5, 6 ve 10'a tam bölünürken, 9'a tam bölünmez. 👉

Bu soruyu adım adım çözelim:

• Rakamları Toplamı: Sayının rakamları toplamı 7 + a + 2 + b = 9 + a + b olur.
• 9 ile Bölünebilme Şartı: Bu toplamın 9'un katı olması gerekiyor. Yani 9 + a + b = 9k (k bir tam sayı).
• a ve b'nin Değerleri: a ve b birer rakam oldukları için en az 0, en fazla 9 olabilirler. Bu durumda a + b toplamının alabileceği en küçük değer 0 (a=0, b=0) ve en büyük değer 18 (a=9, b=9) olur.
• Toplamın Katı Olması: 9 + a + b ifadesinin 9'un katı olması için, a + b toplamı 0, 9, 18 gibi değerler alabilir.
• En Büyük Değer: a + b toplamının en büyük değeri 18'dir. Bu durumda 9 + 18 = 27 olur ki bu da 9'un bir katıdır (27 = 9 * 3).

Bu nedenle, a + b toplamının alabileceği en büyük değer 18'dir. ✨

Bu "Yeni Nesil" soruyu dikkatlice inceleyelim:

• Kalan 1 Durumu: Bir sayının belirli sayılara bölündüğünde hep 1 kalanını vermesi demek, o sayının bu bölenlerin ortak katlarından bir fazlası olması demektir.
• Bölenler: Sayımız 2, 3, 4, 5, 6, 9 ve 10'a bölündüğünde 1 kalanını veriyor.
• Ortak Katları Bulma: Bu sayılara tam bölünebilen en küçük sayı, bu sayıların En Küçük Ortak Katı (EKOK)'dır.
• EKOK Hesaplama: EKOK(2, 3, 4, 5, 6, 9, 10) değerini bulalım:
  
  • 2 = 2
  • 3 = 3
  • 4 = 2²
  • 5 = 5
  • 6 = 2 * 3
  • 9 = 3²
  • 10 = 2 * 5
  En yüksek üslü çarpanları alarak EKOK'u buluruz: 2² 3² 5 = 4 9 5 = 180.
• Sayının Değeri: Sayımız EKOK'un bir fazlası olmalı. Yani 180 + 1 = 181.
• 3 Basamaklı Olma Şartı: Bulduğumuz 181 sayısı 3 basamaklıdır ve sorudaki tüm şartları sağlar.

Bu nedenle Ayşe'nin elindeki sayının alabileceği en küçük pozitif değer 181'dir. 🎉

Ali'nin bu işi yapabilmesi için, paketlediği kalem sayısının 120'nin bölenlerinden biri olması gerekir. Çünkü hiç kalem artmadığına göre, paket sayısı 120'yi tam bölmelidir.
Şimdi seçenekleri inceleyelim (bu örnekte seçenekler verilmediği için olası durumları açıklayacağız):

• 2 ile Bölünebilme: 120 sayısı çift olduğu için 2'ye tam bölünür. Yani 2'li paketler yapılabilir. ✅
• 3 ile Bölünebilme: 1 + 2 + 0 = 3. 3, 3'ün katı olduğu için 120 sayısı 3'e tam bölünür. Yani 3'lü paketler yapılabilir. ✅
• 4 ile Bölünebilme: 120'nin son iki rakamı 20'dir. 20, 4'ün katı olduğu için 120 sayısı 4'e tam bölünür. Yani 4'lü paketler yapılabilir. ✅
• 5 ile Bölünebilme: 120'nin son rakamı 0 olduğu için 5'e tam bölünür. Yani 5'li paketler yapılabilir. ✅
• 6 ile Bölünebilme: 120 sayısı hem 2'ye hem de 3'e tam bölündüğü için 6'ya da tam bölünür. Yani 6'lı paketler yapılabilir. ✅

Ali'nin elindeki 120 adet kalem, 2'li, 3'lü, 4'lü, 5'li ve 6'lı paketlere tam olarak ayrılabilir. Eğer bir seçenek verilseydi, bu sayılardan biri olacaktı. Örneğin, 4'lü paketler yapması bu şartları sağlar. 👍

Bu zorlu soruyu adım adım çözelim:

• ABC Sayısı İçin:
• ABC sayısı 9 ile tam bölünebiliyor ve rakamları toplamı 18. Bu bilgi zaten 9 ile bölünebilme kuralını doğruluyor (18, 9'un katı).
• A, B, C rakamlarıdır ve A ≠ 0 olmalıdır (üç basamaklı sayı).
• A + B + C = 18.
• DEF Sayısı İçin:
• DEF sayısı 4 ile tam bölünebiliyor. Bu, sayının son iki rakamından oluşan DE sayısının 4'ün katı olması gerektiği anlamına gelir.
• Rakamları toplamı 15. Yani D + E + F = 15.
• D, E, F rakamlarıdır ve D ≠ 0 olmalıdır (üç basamaklı sayı).
• Toplamı En Küçük Yapma:
• A + B + C = 18. Bu toplamın en küçük olması için rakamların kendilerinin en küçük değerler alması gerekmez, toplam zaten sabit.
• D + E + F = 15. Bu toplamın en küçük olması için de rakamların kendilerinin en küçük değerler alması gerekmez, toplam zaten sabit.
• Bizden istenen A + B + C + D + E + F toplamıdır.
• Bu toplamı (A + B + C) + (D + E + F) şeklinde yazabiliriz.
• Yani 18 + 15 = 33.
• Ek Şartları Sağlama:
• ABC sayısı için A ≠ 0. Örneğin A=1, B=8, C=9 gibi rakamlarla 18'i sağlayabiliriz.
• DEF sayısı için D ≠ 0 ve EF sayısı 4'ün katı olmalı. Örneğin D=1, E=2, F=12 (olamaz, F rakam olmalı). D=1, E=2, F=12 olamaz. D+E+F=15 olmalı.
• D+E+F = 15 ve EF, 4'ün katı olmalı.
• Eğer EF = 12 ise, D = 15 - (1+2) = 12 (olamaz).
• Eğer EF = 20 ise, D = 15 - (2+0) = 13 (olamaz).
• Eğer EF = 24 ise, D = 15 - (2+4) = 9. Sayı 924 olur. D+E+F = 9+2+4 = 15. EF=24, 4'ün katı. D≠0. Bu geçerli bir DEF sayısıdır.
• Eğer EF = 32 ise, D = 15 - (3+2) = 10 (olamaz).
• Eğer EF = 40 ise, D = 15 - (4+0) = 11 (olamaz).
• Eğer EF = 44 ise, D = 15 - (4+4) = 7. Sayı 744 olur. D+E+F = 7+4+4 = 15. EF=44, 4'ün katı. D≠0. Bu geçerli bir DEF sayısıdır.
• En küçük değer için, A, B, C, D, E, F rakamlarının kendilerini en küçük seçmeye çalışmak yerine, toplamların sabit olduğunu görmek önemlidir.

A + B + C = 18 ve D + E + F = 15 olduğundan, A + B + C + D + E + F = 18 + 15 = 33'tür. Bu toplamın alabileceği en küçük değer 33'tür. 🌟

Bu soruyu basitçe yanıtlayalım:

• 10 ile Bölünebilme Kuralı: Bir doğal sayının 10 ile tam bölünebilmesi için sayının birler basamağındaki rakamın 0 olması gerekir.
• Sayıyı İnceleme: Verilen sayı 3450'dir.
• Son Rakam: Bu sayının son rakamı 0'dır.
• Sonuç: Bu nedenle, 3450 sayısı 10 ile tam bölünebilir. ✅

Evet, 3450 sayısı 10 ile tam bölünebilir çünkü son rakamı 0'dır. 👍

Bu soruyu adım adım çözelim:

• Ortak Katları Bulma: Bir sayının 2, 3 ve 5'e tam bölünebilmesi için, bu sayıların En Küçük Ortak Katı (EKOK)'nın katı olması gerekir.
• EKOK Hesaplama: EKOK(2, 3, 5) değerini bulalım. Bu sayılar asal sayılar olduğu için EKOK'ları çarpımlarıdır: 2 3 5 = 30.
• En Küçük Üç Basamaklı Sayı: Bizden en küçük üç basamaklı doğal sayı isteniyor. 30'un katlarına bakalım: 30, 60, 90, 120, 150, ...
• Seçim: Bu katlar arasında en küçük üç basamaklı sayı 120'dir.

Bu nedenle, 2, 3 ve 5 ile tam bölünebilen en küçük üç basamaklı doğal sayı 120'dir.
120'nin Bölünebildiği Sayılar:

• 2 ile: Son rakamı 0 (çift) olduğu için. ✅
• 3 ile: Rakamları toplamı 1 + 2 + 0 = 3, 3'ün katı olduğu için. ✅
• 5 ile: Son rakamı 0 olduğu için. ✅
• 6 ile: Hem 2 hem de 3'e bölündüğü için. ✅
• 10 ile: Son rakamı 0 olduğu için. ✅

120 sayısı bu sayılara tam bölünür. 🚀

Bu tür soruları çözmek için kalanların bölenlerden bir eksik olmasına dikkat etmeliyiz. 🤔

• Kalanları İnceleme:
• 4 ile bölündüğünde 3 kalanını veriyor. (4 - 3 = 1)
• 5 ile bölündüğünde 4 kalanını veriyor. (5 - 4 = 1)
• 6 ile bölündüğünde 5 kalanını veriyor. (6 - 5 = 1)
• Ortak Bir Eksik: Her durumda kalan, bölenin 1 eksiğidir. Bu demektir ki, öğrenci sayısının 1 fazlası, bu bölenlerin (4, 5, 6) hepsine tam bölünür.
• EKOK Bulma: Bu bölenlerin En Küçük Ortak Katı (EKOK)'nı bulalım: EKOK(4, 5, 6).
  
  • 4 = 2²
  • 5 = 5
  • 6 = 2 * 3
  EKOK(4, 5, 6) = 2² 3 5 = 4 3 5 = 60.
• Öğrenci Sayısı: Öğrenci sayısının 1 fazlası 60'ın katı olmalıdır. Yani öğrenci sayısı = 60k - 1 (k bir tam sayı).
• 100'den Az Olma Şartı: Öğrenci sayısı 100'den az olmalı.
• k = 1 için: 60 * 1 - 1 = 59. (100'den az ve şartları sağlar)
• k = 2 için: 60 * 2 - 1 = 119. (100'den fazla)

Bu nedenle, sınıftaki olası öğrenci sayısı 59'dur. ✅

Bu problem, bir önceki "Yeni Nesil" sorusuna benzer bir mantıkla çözülür. Kalanların bölenlerden bir eksik olmasına dikkat edelim. 💡

• Kalanları İnceleme:
• 3'erli grupladığında 2 elma artıyor. (3 - 2 = 1)
• 4'erli grupladığında 3 elma artıyor. (4 - 3 = 1)
• 5'erli grupladığında 4 elma artıyor. (5 - 4 = 1)
• Ortak Bir Eksik: Her durumda artan elma sayısı, gruplama sayısının 1 eksiğidir. Bu demektir ki, elma ağacı sayısının 1 fazlası, bu gruplama sayılarının (3, 4, 5) hepsine tam bölünür.
• EKOK Bulma: Bu gruplama sayılarının En Küçük Ortak Katı (EKOK)'nı bulalım: EKOK(3, 4, 5).
• 3 = 3
• 4 = 2²
• 5 = 5
EKOK(3, 4, 5) = 2² 3 5 = 4 3 5 = 60.
• Elma Ağacı Sayısı: Elma ağacı sayısının 1 fazlası 60'ın katı olmalıdır. Yani elma ağacı sayısı = 60k - 1 (k bir tam sayı).
• 100'den Az Olma Şartı: Elma ağacı sayısı 100'den az olmalı ve en fazla değeri soruluyor.
• k = 1 için: 60 * 1 - 1 = 59. (100'den az)
• k = 2 için: 60 * 2 - 1 = 119. (100'den fazla)

Bu nedenle, çiftçinin tarlasındaki elma ağacı sayısının 100'den az olabilen en fazla değeri 59'dur. 🍎🌳