Bölünebilme Ders Notu

Bölünebilme Kuralları 🔢

Bir sayının belirli bir tam sayıya kalansız bölünüp bölünemeyeceğini anlamak için kullanılan yöntemlere bölünebilme kuralları denir. Bu kurallar, özellikle büyük sayılarla işlem yaparken bize büyük kolaylık sağlar. 9. Sınıf Matematik müfredatında yer alan temel bölünebilme kurallarını inceleyeceğiz.

2 ile Bölünebilme ✌️

Birler basamağı çift rakam (0, 2, 4, 6, 8) olan sayılar 2 ile tam bölünebilir.

• Örnek: 124 sayısı 2 ile tam bölünür çünkü birler basamağı 4'tür.
• Örnek: 345 sayısı 2 ile tam bölünmez çünkü birler basamağı 5'tir.

3 ile Bölünebilme 🍀

Bir sayının rakamları toplamı 3'ün katı ise o sayı 3 ile tam bölünebilir.

• Örnek: 234 sayısının rakamları toplamı \( 2 + 3 + 4 = 9 \)'dur. 9, 3'ün katı olduğu için 234 sayısı 3 ile tam bölünür.
• Örnek: 512 sayısının rakamları toplamı \( 5 + 1 + 2 = 8 \)'dir. 8, 3'ün katı olmadığı için 512 sayısı 3 ile tam bölünmez.

4 ile Bölünebilme 🌸

Bir sayının son iki basamağının oluşturduğu sayı 4'ün katı ise o sayı 4 ile tam bölünebilir.

• Örnek: 1316 sayısında son iki basamak 16'dır. 16, 4'ün katı olduğu için 1316 sayısı 4 ile tam bölünür.
• Örnek: 2530 sayısında son iki basamak 30'dur. 30, 4'ün katı olmadığı için 2530 sayısı 4 ile tam bölünmez.

5 ile Bölünebilme 🖐️

Birler basamağı 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünebilir.

• Örnek: 780 sayısı 5 ile tam bölünür çünkü birler basamağı 0'dır.
• Örnek: 915 sayısı 5 ile tam bölünür çünkü birler basamağı 5'tir.
• Örnek: 342 sayısı 5 ile tam bölünmez çünkü birler basamağı 2'dir.

6 ile Bölünebilme 🎀

Bir sayının hem 2 ile hem de 3 ile tam bölünebilmesi için o sayı 6 ile tam bölünebilir.

• Örnek: 456 sayısı hem 2 ile (birler basamağı çift) hem de 3 ile (rakamları toplamı \( 4+5+6=15 \), 15, 3'ün katı) tam bölünebildiği için 6 ile tam bölünür.
• Örnek: 728 sayısı 2 ile tam bölünür ancak rakamları toplamı \( 7+2+8=17 \), 17, 3'ün katı değildir. Bu yüzden 728 sayısı 6 ile tam bölünmez.

8 ile Bölünebilme 🎱

Bir sayının son üç basamağının oluşturduğu sayı 8'in katı ise o sayı 8 ile tam bölünebilir.

• Örnek: 3456 sayısında son üç basamak 456'dır. \( 456 \div 8 = 57 \). Bu yüzden 3456 sayısı 8 ile tam bölünür.
• Örnek: 1208 sayısında son üç basamak 208'dir. \( 208 \div 8 = 26 \). Bu yüzden 1208 sayısı 8 ile tam bölünür.
• Örnek: 5670 sayısında son üç basamak 670'dir. \( 670 \div 8 = 83 \) kalan 6'dır. Bu yüzden 5670 sayısı 8 ile tam bölünmez.

9 ile Bölünebilme 🎗️

Bir sayının rakamları toplamı 9'un katı ise o sayı 9 ile tam bölünebilir.

• Örnek: 1233 sayısının rakamları toplamı \( 1 + 2 + 3 + 3 = 9 \)'dur. 9, 9'un katı olduğu için 1233 sayısı 9 ile tam bölünür.
• Örnek: 4581 sayısının rakamları toplamı \( 4 + 5 + 8 + 1 = 18 \)'dir. 18, 9'un katı olduğu için 4581 sayısı 9 ile tam bölünür.
• Örnek: 705 sayısının rakamları toplamı \( 7 + 0 + 5 = 12 \)'dir. 12, 9'un katı olmadığı için 705 sayısı 9 ile tam bölünmez.

10 ile Bölünebilme 🔟

Birler basamağı 0 olan sayılar 10 ile tam bölünebilir.

• Örnek: 5670 sayısı 10 ile tam bölünür çünkü birler basamağı 0'dır.
• Örnek: 1234 sayısı 10 ile tam bölünmez çünkü birler basamağı 4'tür.

Çözümlü Örnekler 💡

Soru 1: 5A3B dört basamaklı sayısı 2, 3 ve 5 ile tam bölünebilmektedir. Buna göre A + B toplamı kaçtır?

Çözüm:

• Sayı 2 ile tam bölünebildiğine göre birler basamağı çift olmalıdır.
• Sayı 5 ile tam bölünebildiğine göre birler basamağı 0 veya 5 olmalıdır.
• Bu iki koşulu sağlayan tek rakam 0'dır. O halde \( B = 0 \).
• Sayı 3 ile tam bölünebildiğine göre rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır.
• Sayı \( 5A30 \) şeklindedir. Rakamları toplamı \( 5 + A + 3 + 0 = 8 + A \)'dır.
• \( 8 + A \) ifadesinin 3'ün katı olması için A yerine gelebilecek değerler:
• A = 1 ise \( 8 + 1 = 9 \) (3'ün katı)
• A = 4 ise \( 8 + 4 = 12 \) (3'ün katı)
• A = 7 ise \( 8 + 7 = 15 \) (3'ün katı)
• Bu durumda A'nın alabileceği değerler 1, 4, 7'dir.
• Bize A + B toplamı soruluyor. B = 0 olduğundan A + B toplamı A'nın alabileceği değerlere eşittir.
• Soruda A'nın tek bir değeri olduğu varsayılırsa, genellikle en küçük değer alınır veya soruda ek kısıtlamalar olur. Ancak burada A'nın birden fazla değeri mümkün. Eğer soruda "en küçük A değeri" gibi bir ifade olsaydı A=1 olurdu. A+B = 1+0 = 1 olurdu. Eğer "en büyük A değeri" olsaydı A=7 olurdu. A+B = 7+0 = 7 olurdu. Sorunun tam haliyle A+B'nin tek bir değeri olması için A'nın tek bir değere sahip olması gerekir. Eğer A'nın alabileceği değerler 1, 4, 7 ise, A+B'nin alabileceği değerler 1, 4, 7 olur.
• Genellikle bu tür sorularda A'nın tek bir değeri olması beklenir. Eğer soruda "A rakamı tek sayıdır" gibi bir ek bilgi olsaydı, A=1 veya A=7 olurdu.
• Eğer soruda "A rakamı çift sayıdır" olsaydı, A=4 olurdu ve A+B = 4+0 = 4 olurdu.
• Sorunun bu haliyle, A'nın alabileceği değerler kümesi {1, 4, 7} ve B=0'dır. Bu durumda A+B'nin alabileceği değerler {1, 4, 7} olur.
• Önemli Not: Bu tür sorularda genellikle A'nın tek bir değeri olması beklenir. Eğer soruda ek bir kısıtlama yoksa, A'nın alabileceği tüm değerler için A+B'nin farklı sonuçları olabilir. Sorunun netliği açısından, A'nın tek bir değer aldığı varsayımıyla, eğer A=4 ise A+B = 4 olur.

Soru 2: 78XY dört basamaklı sayısı 4 ve 9 ile tam bölünebilmektedir. Buna göre X + Y toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Çözüm:

• Sayı 4 ile tam bölünebildiğine göre son iki basamağının oluşturduğu XY sayısı 4'ün katı olmalıdır.
• Sayı 9 ile tam bölünebildiğine göre rakamları toplamı 9'un katı olmalıdır.
• Sayı \( 78XY \) şeklindedir. Rakamları toplamı \( 7 + 8 + X + Y = 15 + X + Y \)'dir.
• \( 15 + X + Y \) ifadesinin 9'un katı olması için \( X + Y \) toplamının alabileceği değerler:
• Eğer \( 15 + X + Y = 18 \) ise \( X + Y = 3 \)
• Eğer \( 15 + X + Y = 27 \) ise \( X + Y = 12 \)
• Eğer \( 15 + X + Y = 36 \) ise \( X + Y = 21 \) (X ve Y rakam olduğu için en fazla \( 9+9=18 \) olabilir, bu yüzden bu durum mümkün değil)
• Yani \( X + Y \) toplamı 3 veya 12 olabilir.
• Şimdi de XY sayısının 4'ün katı olma koşuluna bakalım.
• Eğer \( X + Y = 3 \) ise, XY sayısının alabileceği değerler: 03 (4'ün katı değil), 12 (4'ün katı), 21 (4'ün katı değil), 30 (4'ün katı değil).
• Bu durumda XY = 12 olabilir. Bu durumda X=1, Y=2 olur. \( X+Y = 1+2 = 3 \).
• Eğer \( X + Y = 12 \) ise, XY sayısının alabileceği değerler:
• X=3, Y=9 => 39 (4'ün katı değil)
• X=4, Y=8 => 48 (4'ün katı)
• X=5, Y=7 => 57 (4'ün katı değil)
• X=6, Y=6 => 66 (4'ün katı değil)
• X=7, Y=5 => 75 (4'ün katı değil)
• X=8, Y=4 => 84 (4'ün katı)
• X=9, Y=3 => 93 (4'ün katı değil)
• Bu durumda XY = 48 veya XY = 84 olabilir.
• Eğer XY = 48 ise X=4, Y=8 olur. \( X+Y = 4+8 = 12 \).
• Eğer XY = 84 ise X=8, Y=4 olur. \( X+Y = 8+4 = 12 \).
• \( X + Y \) toplamının alabileceği değerler 3 ve 12'dir.
• Bu toplamların en büyüğü 12'dir.