💡 9. Sınıf Matematik: Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Çözümlü Örnekler

• Birinci denklem: \(x + y = 7\)
• İkinci denklem: \(x - y = 3\)
• İki denklemi taraf tarafa toplayalım:
\[ (x + y) + (x - y) = 7 + 3 \\ x + y + x - y = 10 \\ 2x = 10 \]
• Şimdi x değerini bulalım:
\[ 2x = 10 \\ x = \frac{10}{2} \\ x = 5 \]
• Bulduğumuz \(x = 5\) değerini denklemlerden birinde yerine yazarak y değerini bulalım. Birinci denklemi kullanalım:
\[ x + y = 7 \\ 5 + y = 7 \\ y = 7 - 5 \\ y = 2 \]
• ✅ Çözüm kümesi \((x, y)\) ikilisi şeklinde yazılır.

Sonuç: Çözüm kümesi \((5, 2)\) olarak bulunur. 💡

• Birinci denklemden y'yi yalnız bırakalım:
\[ 2x + y = 10 \\ y = 10 - 2x \]
• Bulduğumuz bu y ifadesini ikinci denklemde yerine yazalım:
\[ 3x - 2y = 1 \\ 3x - 2(10 - 2x) = 1 \]
• Denklemi çözelim:
\[ 3x - 20 + 4x = 1 \\ 7x - 20 = 1 \\ 7x = 1 + 20 \\ 7x = 21 \\ x = \frac{21}{7} \\ x = 3 \]
• Şimdi bulduğumuz \(x = 3\) değerini \(y = 10 - 2x\) denkleminde yerine yazarak y değerini bulalım:
\[ y = 10 - 2(3) \\ y = 10 - 6 \\ y = 4 \]
• ✅ Çözüm kümesi \((x, y)\) ikilisi şeklinde yazılır.

Sonuç: Çözüm kümesi \((3, 4)\) olarak bulunur. 🎉

• Önce y'leri yok edelim. Birinci denklemi 3 ile, ikinci denklemi 4 ile çarpalım:
\[ 3(3x - 4y) = 3(11) \Rightarrow 9x - 12y = 33 \\ 4(2x + 3y) = 4(-4) \Rightarrow 8x + 12y = -16 \]
• Yeni denklemleri taraf tarafa toplayalım:
\[ (9x - 12y) + (8x + 12y) = 33 + (-16) \\ 9x - 12y + 8x + 12y = 17 \\ 17x = 17 \\ x = \frac{17}{17} \\ x = 1 \]
• Bulduğumuz \(x = 1\) değerini orijinal denklemlerden birinde yerine yazalım. İkinci denklemi kullanalım:
\[ 2x + 3y = -4 \\ 2(1) + 3y = -4 \\ 2 + 3y = -4 \\ 3y = -4 - 2 \\ 3y = -6 \\ y = \frac{-6}{3} \\ y = -2 \]
• ✅ Çözüm kümesi \((x, y)\) ikilisi şeklinde yazılır.

Sonuç: Çözüm kümesi \((1, -2)\) olarak bulunur. 🚀

• Birinci denklemi paydaların EKOK'u olan 6 ile çarpalım:
\[ 6 \left( \frac{x}{2} + \frac{y}{3} ight) = 6(4) \\ 3x + 2y = 24 \quad \text{(Denklem 1')} \]
• İkinci denklemi paydaların EKOK'u olan 2 ile çarpalım:
\[ 2 \left( x - \frac{y}{2} ight) = 2(1) \\ 2x - y = 2 \quad \text{(Denklem 2')} \]
• Şimdi yeni denklem sistemimiz şu şekilde:
\[ 3x + 2y = 24 \\ 2x - y = 2 \]
• Bu sistemi Yok Etme Metodu ile çözelim. İkinci denklemi 2 ile çarpıp taraf tarafa toplayalım:
\[ 3x + 2y = 24 \\ 2(2x - y) = 2(2) \Rightarrow 4x - 2y = 4 \]
• Taraf tarafa toplarsak:
\[ (3x + 2y) + (4x - 2y) = 24 + 4 \\ 7x = 28 \\ x = \frac{28}{7} \\ x = 4 \]
• Bulduğumuz \(x = 4\) değerini \(2x - y = 2\) denkleminde yerine yazalım:
\[ 2(4) - y = 2 \\ 8 - y = 2 \\ -y = 2 - 8 \\ -y = -6 \\ y = 6 \]
• ✅ Çözüm kümesi \((x, y)\) ikilisi şeklinde yazılır.

Sonuç: Çözüm kümesi \((4, 6)\) olarak bulunur. 💪

• 1 kg elmanın fiyatına x TL diyelim.
• 1 kg portakalın fiyatına y TL diyelim.
• İlk cümleden denklem oluşturalım: "2 kg elma ve 3 kg portakalın toplam fiyatı 32 TL'dir."
\[ 2x + 3y = 32 \quad \text{(Denklem 1)} \]
• İkinci cümleden denklem oluşturalım: "3 kg elma ve 2 kg portakalın toplam fiyatı 38 TL'dir."
\[ 3x + 2y = 38 \quad \text{(Denklem 2)} \]
• Denklem sistemini Yok Etme Metodu ile çözelim. x'leri yok etmek için birinci denklemi 3 ile, ikinci denklemi -2 ile çarpalım:
\[ 3(2x + 3y) = 3(32) \Rightarrow 6x + 9y = 96 \\ -2(3x + 2y) = -2(38) \Rightarrow -6x - 4y = -76 \]
• Yeni denklemleri taraf tarafa toplayalım:
\[ (6x + 9y) + (-6x - 4y) = 96 + (-76) \\ 5y = 20 \\ y = \frac{20}{5} \\ y = 4 \]
• Portakalın kilogram fiyatı 4 TL'dir. Şimdi \(y = 4\) değerini ilk denklemde yerine yazarak x'i bulalım:
\[ 2x + 3y = 32 \\ 2x + 3(4) = 32 \\ 2x + 12 = 32 \\ 2x = 32 - 12 \\ 2x = 20 \\ x = \frac{20}{2} \\ x = 10 \]
• Elmanın kilogram fiyatı 10 TL'dir.

Sonuç: 1 kg elma 10 TL ve 1 kg portakal 4 TL'dir. ✅

• Yetişkin yolcu sayısına x diyelim.
• Öğrenci yolcu sayısına y diyelim.
• Toplam yolcu sayısı 30 olduğuna göre ilk denklem:
\[ x + y = 30 \quad \text{(Denklem 1)} \]
• Toplam gelir 180 TL olduğuna göre ikinci denklem (yetişkin bileti 7 TL, öğrenci bileti 4 TL):
\[ 7x + 4y = 180 \quad \text{(Denklem 2)} \]
• Bu denklem sistemini Yok Etme Metodu ile çözelim. y'leri yok etmek için birinci denklemi -4 ile çarpalım:
\[ -4(x + y) = -4(30) \Rightarrow -4x - 4y = -120 \\ 7x + 4y = 180 \]
• Yeni denklemleri taraf tarafa toplayalım:
\[ (-4x - 4y) + (7x + 4y) = -120 + 180 \\ 3x = 60 \\ x = \frac{60}{3} \\ x = 20 \]
• Yetişkin yolcu sayısı 20'dir. Şimdi \(x = 20\) değerini ilk denklemde yerine yazarak y'yi bulalım:
\[ x + y = 30 \\ 20 + y = 30 \\ y = 30 - 20 \\ y = 10 \]
• Öğrenci yolcu sayısı 10'dur.

Sonuç: Otobüste 20 yetişkin ve 10 öğrenci yolcu bulunmaktadır. ✅

• Birinci denklemi -2 ile çarpalım:
\[ -2(2x - y) = -2(5) \Rightarrow -4x + 2y = -10 \]
• Şimdi bu yeni denklem ile ikinci denklemi taraf tarafa toplayalım:
\[ (-4x + 2y) + (4x - 2y) = -10 + 12 \\ 0x + 0y = 2 \\ 0 = 2 \]
• Elde ettiğimiz sonuç \(0 = 2\) gibi yanlış bir önermedir. 🚫
• Bu durum, denklem sisteminin çözüm kümesinin boş küme olduğunu gösterir. Yani bu denklemleri aynı anda sağlayan hiçbir \(x, y\) değeri yoktur.

Sonuç: Çözüm kümesi \(\emptyset\) (boş küme) olarak bulunur. ⚠️

• Birinci denklemi -2 ile çarpalım:
\[ -2(x + 3y) = -2(6) \Rightarrow -2x - 6y = -12 \]
• Şimdi bu yeni denklem ile ikinci denklemi taraf tarafa toplayalım:
\[ (-2x - 6y) + (2x + 6y) = -12 + 12 \\ 0x + 0y = 0 \\ 0 = 0 \]
• Elde ettiğimiz sonuç \(0 = 0\) gibi doğru bir önermedir. 👍
• Bu durum, denklem sistemini sağlayan sonsuz sayıda \((x, y)\) ikilisi olduğunu gösterir. Aslında ikinci denklem, birinci denklemin 2 katıdır. Yani bu iki denklem aynı doğruyu temsil eder.
• Çözüm kümesini genellikle bir bilinmeyen cinsinden ifade ederiz. Birinci denklemden x'i y cinsinden yazalım:
\[ x + 3y = 6 \\ x = 6 - 3y \]
• ✅ Çözüm kümesi \((x, y)\) ikilisi şeklinde yazılır.

Sonuç: Çözüm kümesi \(\{(x, y) \mid x = 6 - 3y, y \in \mathbb{R} \}\) veya \(\{(6 - 3y, y) \mid y \in \mathbb{R} \}\) olarak bulunur. Sonsuz çözümü vardır. ✨