🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Birinci Dereceden Denklemler Ve Eşitsizlikler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Birinci Dereceden Denklemler Ve Eşitsizlikler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
📌 Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem Çözümü
Aşağıdaki denklemi çözerek \(x\) değerini bulunuz:
\[ 3x - 7 = 14 \]
Aşağıdaki denklemi çözerek \(x\) değerini bulunuz:
\[ 3x - 7 = 14 \]
Çözüm:
✅ Denklemi adım adım çözelim:
- 👉 İlk olarak, \(x\) yalnız bırakmak için sabit terimi denklemin diğer tarafına atalım. Bunun için her iki tarafa da \(7\) eklemeliyiz. \[ 3x - 7 + 7 = 14 + 7 \] \[ 3x = 21 \]
- 👉 Şimdi \(x\)'in katsayısı olan \(3\)'ten kurtulmak için denklemin her iki tarafını \(3\)'e bölelim. \[ \frac{3x}{3} = \frac{21}{3} \] \[ x = 7 \]
Örnek 2:
💡 Parantezli Denklemler ve Dağılma Özelliği
Aşağıdaki denklemi çözerek \(x\) değerini bulunuz:
\[ 2(x + 5) = 4x - 6 \]
Aşağıdaki denklemi çözerek \(x\) değerini bulunuz:
\[ 2(x + 5) = 4x - 6 \]
Çözüm:
✅ Denklemi adım adım çözelim:
- 👉 İlk olarak, parantezin dışındaki sayıyı parantezin içine dağıtarak denklemi düzenleyelim. \[ 2 \cdot x + 2 \cdot 5 = 4x - 6 \] \[ 2x + 10 = 4x - 6 \]
- 👉 Şimdi \(x\) terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım. \(2x\)'i sağa, \(-6\)'yı sola atalım. \[ 10 + 6 = 4x - 2x \] \[ 16 = 2x \]
- 👉 Son olarak, \(x\)'i yalnız bırakmak için her iki tarafı \(2\)'ye bölelim. \[ \frac{16}{2} = \frac{2x}{2} \] \[ 8 = x \]
Örnek 3:
📚 Kesirli Denklemlerin Çözümü
Aşağıdaki denklemi çözerek \(x\) değerini bulunuz:
\[ \frac{x}{3} + \frac{x}{2} = 10 \]
Aşağıdaki denklemi çözerek \(x\) değerini bulunuz:
\[ \frac{x}{3} + \frac{x}{2} = 10 \]
Çözüm:
✅ Denklemi adım adım çözelim:
- 👉 Kesirli denklemlerde ilk adım, tüm kesirlerin paydalarını eşitlemektir. \(3\) ve \(2\)'nin en küçük ortak katı \(6\)'dır. \[ \frac{x}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} = 10 \] \[ \frac{2x}{6} + \frac{3x}{6} = 10 \]
- 👉 Paydalar eşitlendikten sonra payları toplayabiliriz. \[ \frac{2x + 3x}{6} = 10 \] \[ \frac{5x}{6} = 10 \]
- 👉 Şimdi \(x\)'i yalnız bırakmak için her iki tarafı \(6\) ile çarpalım. \[ 6 \cdot \frac{5x}{6} = 10 \cdot 6 \] \[ 5x = 60 \]
- 👉 Son olarak, her iki tarafı \(5\)'e bölelim. \[ \frac{5x}{5} = \frac{60}{5} \] \[ x = 12 \]
Örnek 4:
📝 Basit Birinci Dereceden Eşitsizlik Çözümü
Aşağıdaki eşitsizliği çözerek \(x\) değer aralığını bulunuz:
\[ 4x - 5 < 11 \]
Aşağıdaki eşitsizliği çözerek \(x\) değer aralığını bulunuz:
\[ 4x - 5 < 11 \]
Çözüm:
✅ Eşitsizliği adım adım çözelim:
- 👉 Denklem çözer gibi, sabit terimi eşitsizliğin diğer tarafına atalım. Her iki tarafa da \(5\) ekleyelim. \[ 4x - 5 + 5 < 11 + 5 \] \[ 4x < 16 \]
- 👉 Şimdi \(x\)'in katsayısı olan \(4\)'ten kurtulmak için eşitsizliğin her iki tarafını \(4\)'e bölelim. Pozitif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirmez. \[ \frac{4x}{4} < \frac{16}{4} \] \[ x < 4 \]
Örnek 5:
📈 Bilinmeyeni Her İki Tarafta Olan Eşitsizlik
Aşağıdaki eşitsizliği çözerek \(x\) değer aralığını bulunuz:
\[ 3x + 8 \ge 5x - 2 \]
Aşağıdaki eşitsizliği çözerek \(x\) değer aralığını bulunuz:
\[ 3x + 8 \ge 5x - 2 \]
Çözüm:
✅ Eşitsizliği adım adım çözelim:
- 👉 \(x\) terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım. Genellikle \(x\)'li terimi pozitif kalacak şekilde taşımak işlemi kolaylaştırır. \(3x\)'i sağa, \(-2\)'yi sola atalım. \[ 8 + 2 \ge 5x - 3x \] \[ 10 \ge 2x \]
- 👉 Şimdi \(x\)'i yalnız bırakmak için her iki tarafı \(2\)'ye bölelim. Pozitif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirmez. \[ \frac{10}{2} \ge \frac{2x}{2} \] \[ 5 \ge x \]
Örnek 6:
🧠 Sayı Problemi - Denklem Kurma
Bir sayının \(3\) katının \(5\) eksiği, aynı sayının \(2\) katının \(7\) fazlasına eşittir. Bu sayı kaçtır? 🤔
Bir sayının \(3\) katının \(5\) eksiği, aynı sayının \(2\) katının \(7\) fazlasına eşittir. Bu sayı kaçtır? 🤔
Çözüm:
✅ Problemi adım adım çözelim:
- 👉 Bilinmeyen sayıyı \(x\) ile gösterelim.
- 👉 "Bir sayının \(3\) katının \(5\) eksiği" ifadesini matematiksel olarak yazalım: \( 3x - 5 \)
- 👉 "Aynı sayının \(2\) katının \(7\) fazlası" ifadesini matematiksel olarak yazalım: \( 2x + 7 \)
- 👉 Bu iki ifadenin birbirine eşit olduğu belirtildiğine göre denklemi kuralım: \[ 3x - 5 = 2x + 7 \]
- 👉 Şimdi bu denklemi çözelim. \(2x\)'i sola, \(-5\)'i sağa atalım. \[ 3x - 2x = 7 + 5 \] \[ x = 12 \]
Örnek 7:
🚌 Otobüs Bileti Fiyatlandırması
Bir şehirde otobüs bileti fiyatı sabit \(8\) TL'dir. Eğer aylık abonelik kartı alırsanız, kart ücreti \(30\) TL'dir ve her biniş \(5\) TL'ye düşer. Aylık abonelik kartı almak, en az kaç biniş yapıldığında daha ekonomik olur? 💰
Bir şehirde otobüs bileti fiyatı sabit \(8\) TL'dir. Eğer aylık abonelik kartı alırsanız, kart ücreti \(30\) TL'dir ve her biniş \(5\) TL'ye düşer. Aylık abonelik kartı almak, en az kaç biniş yapıldığında daha ekonomik olur? 💰
Çözüm:
✅ Problemi adım adım çözelim:
- 👉 Yapılan biniş sayısına \(x\) diyelim.
- 👉 Normal biletle ödenen toplam tutar: Her biniş \(8\) TL olduğu için \(8x\) TL olur.
- 👉 Abonelik kartıyla ödenen toplam tutar: Kart ücreti \(30\) TL ve her biniş \(5\) TL olduğu için \(30 + 5x\) TL olur.
- 👉 Abonelik kartının daha ekonomik olması için, abonelik kartıyla ödenen tutarın normal biletten daha az olması gerekir. \[ 30 + 5x < 8x \]
- 👉 Şimdi bu eşitsizliği çözelim. \(5x\)'i sağ tarafa atalım. \[ 30 < 8x - 5x \] \[ 30 < 3x \]
- 👉 Her iki tarafı \(3\)'e bölelim. \[ \frac{30}{3} < \frac{3x}{3} \] \[ 10 < x \]
Örnek 8:
👨👩👦 Yaş Problemi - Denklem Kurma
Bir babanın yaşı, oğlunun yaşının \(3\) katından \(5\) fazladır. \(5\) yıl sonra babanın yaşı, oğlunun yaşının \(2\) katı olacağına göre, baba bugün kaç yaşındadır?
Bir babanın yaşı, oğlunun yaşının \(3\) katından \(5\) fazladır. \(5\) yıl sonra babanın yaşı, oğlunun yaşının \(2\) katı olacağına göre, baba bugün kaç yaşındadır?
Çözüm:
✅ Problemi adım adım çözelim:
- 👉 Öncelikle oğlunun bugünkü yaşına \(x\) diyelim.
- 👉 Babanın bugünkü yaşı, oğlunun yaşının \(3\) katından \(5\) fazlası olduğuna göre: Baba = \(3x + 5\).
- 👉 Şimdi \(5\) yıl sonraki yaşlarını hesaplayalım:
- Oğlunun \(5\) yıl sonraki yaşı: \(x + 5\)
- Babanın \(5\) yıl sonraki yaşı: \((3x + 5) + 5 = 3x + 10\)
- 👉 \(5\) yıl sonra babanın yaşının, oğlunun yaşının \(2\) katı olacağı bilgisiyle denklemi kuralım: \[ 3x + 10 = 2(x + 5) \]
- 👉 Denklemi çözelim: \[ 3x + 10 = 2x + 10 \]
- 👉 \(2x\)'i sola, \(10\)'u sağa atalım. \[ 3x - 2x = 10 - 10 \] \[ x = 0 \]
- 👉 Bu sonuç, oğlunun bugünkü yaşının \(0\) olduğunu gösterir ki bu mantıklı değildir. Problemi tekrar kontrol edelim. "Oğlunun yaşının 2 katı" ifadesi doğru bir şekilde denkleme aktarıldı mı? Evet. Peki nerede hata olabilir? Ha, dikkat! "Babanın yaşı oğlunun yaşının 3 katından 5 fazladır." ifadesi doğru. "5 yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 2 katı olacak." ifadesi de doğru.
- 🤔 Tekrar bakalım: \(3x + 10 = 2(x + 5)\) -> \(3x + 10 = 2x + 10\). Bu durumda \(x = 0\) çıkar. Bu bir yaş problemi için imkansızdır. Bu tarz bir problemde genellikle \(x\) pozitif bir tam sayı çıkar. Bu durum, ya sorunun kendisinin hatalı olduğunu ya da benim bir şeyi yanlış anladığımı gösterir.
- Let's re-evaluate the problem statement: "Bir babanın yaşı, oğlunun yaşının 3 katından 5 fazladır. 5 yıl sonra babanın yaşı, oğlunun yaşının 2 katı olacağına göre, baba bugün kaç yaşındadır?"
- Baba bugün: \(B\), Oğul bugün: \(O\).
- \(B = 3O + 5\)
- \(5\) yıl sonra: Baba \(B+5\), Oğul \(O+5\).
- \(B+5 = 2(O+5)\)
- \(B+5 = 2O + 10\)
- Şimdi ilk denklemi ikinciye yerine koyalım: \((3O+5)+5 = 2O+10\)
- \(3O+10 = 2O+10\)
- \(3O - 2O = 10 - 10\)
- \(O = 0\).
- Gerçekten de oğlunun yaşı \(0\) çıkıyor. Bu tarz bir problem 9. sınıf için "zor" kategorisine girse de, matematiksel olarak çözümü \(x=0\) olan bir denkleme yol açıyor. Bu da gerçek hayatta bir yaş problemi için anlamsızdır. Bu durum, sorunun kendisinin hatalı kurgulandığını gösterir.
- Soruyu değiştirelim ki anlamlı bir sonuç çıksın. Örneğin, "5 yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 3 katı olacak." deseydik?
- Yeni senaryo: \(B+5 = 3(O+5)\)
- \((3O+5)+5 = 3O+15\)
- \(3O+10 = 3O+15\)
- \(10 = 15\). Bu da imkansız bir durum.
- Peki, "5 yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 2 katından 10 fazla olacak." deseydik?
- Yeni senaryo: \(B+5 = 2(O+5) + 10\)
- \((3O+5)+5 = 2O+10+10\)
- \(3O+10 = 2O+20\)
- \(O = 10\). Bu mantıklı bir sonuç!
- O zaman baba bugün \(B = 3(10)+5 = 35\) yaşında.
- Bu soruyu bu şekilde güncelleyelim. Güncellenmiş Soru Metni: Bir babanın yaşı, oğlunun yaşının \(3\) katından \(5\) fazladır. \(5\) yıl sonra babanın yaşı, oğlunun yaşının \(2\) katından \(10\) fazla olacağına göre, baba bugün kaç yaşındadır?
- 👉 Öncelikle oğlunun bugünkü yaşına \(x\) diyelim.
- 👉 Babanın bugünkü yaşı, oğlunun yaşının \(3\) katından \(5\) fazlası olduğuna göre: Baba = \(3x + 5\).
- 👉 Şimdi \(5\) yıl sonraki yaşlarını hesaplayalım:
- Oğlunun \(5\) yıl sonraki yaşı: \(x + 5\)
- Babanın \(5\) yıl sonraki yaşı: \((3x + 5) + 5 = 3x + 10\)
- 👉 \(5\) yıl sonra babanın yaşının, oğlunun yaşının \(2\) katından \(10\) fazla olacağı bilgisiyle denklemi kuralım: \[ 3x + 10 = 2(x + 5) + 10 \]
- 👉 Denklemi adım adım çözelim: \[ 3x + 10 = 2x + 10 + 10 \] \[ 3x + 10 = 2x + 20 \]
- 👉 \(x\) terimlerini sola, sabit terimleri sağa toplayalım: \[ 3x - 2x = 20 - 10 \] \[ x = 10 \]
- 👉 Bu bulduğumuz \(x\) değeri oğlunun bugünkü yaşıdır. Bize babanın bugünkü yaşı soruluyor.
- 👉 Babanın bugünkü yaşı \(3x + 5\) idi. \(x = 10\) değerini yerine koyalım: \[ 3 \cdot 10 + 5 = 30 + 5 = 35 \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-birinci-dereceden-denklemler-ve-esitsizlikler/sorular