💡 9. Sınıf Matematik: Birinci Dereceden Denklem Ve Eşitsizlikler Çözümlü Örnekler

Bu problemi çözmek için öncelikle verilen bilgileri matematiksel bir denkleme dökelim:

• 1. Adım: Bilinmeyen sayıyı bir değişkenle temsil edelim. Diyelim ki bu sayı \(x\) olsun.
• 2. Adım: Soruda verilen ifadeyi denkleme çevirelim. "Bir sayının 3 katı" demek \(3x\) demektir. "3 katının 5 fazlası" ise \(3x + 5\) olur.
• 3. Adım: Bu ifadenin 23'e eşit olduğunu biliyoruz. Yani denklemimiz: \(3x + 5 = 23\)
• 4. Adım: Denklemi \(x\) için çözelim. Önce her iki taraftan 5 çıkaralım: \(3x + 5 - 5 = 23 - 5\), bu da \(3x = 18\) eder.
• 5. Adım: Şimdi \(x\) 'i bulmak için her iki tarafı 3'e bölelim: \( \frac{3x}{3} = \frac{18}{3} \), sonuç olarak \(x = 6\) bulunur.

Yani, aradığımız sayı 6'dır. ✅

Bu bir oran-orantı ve kesir problemi gibi görünse de, aslında bir bilinmeyenli denklemle çözülebilir.

• 1. Adım: Manavın başlangıçtaki toplam limon sayısını bir değişkenle gösterelim. Diyelim ki \(L\) limon olsun.
• 2. Adım: İlk olarak limonların \( \frac{1}{3} \) 'ünü satıyor. Satılan miktar: \( \frac{1}{3}L \).
• 3. Adım: Kalan limon sayısı: \( L - \frac{1}{3}L = \frac{2}{3}L \).
• 4. Adım: Daha sonra kalan limonların \( \frac{1}{2} \) 'sini satıyor. Satılan ikinci miktar: \( \frac{1}{2} \times (\frac{2}{3}L) = \frac{1}{3}L \).
• 5. Adım: Toplam satılan limon sayısı: \( \frac{1}{3}L + \frac{1}{3}L = \frac{2}{3}L \).
• 6. Adım: Manavın elinde kalan limon sayısı: Başlangıçtaki limon sayısı - Toplam satılan limon sayısı = \( L - \frac{2}{3}L = \frac{1}{3}L \).

Sonuç olarak, manavın elinde başlangıçtaki limon sayısının \( \frac{1}{3} \) 'ü kalmıştır. 💯

Bu problemde iki bilinmeyenli bir denklem sistemi kurmamız gerekiyor.

• 1. Adım: Ayşe'nin yaşı \(A\) ve Mehmet'in yaşı \(M\) olsun.
• 2. Adım: Birinci ifadeyi denkleme çevirelim: "Ayşe'nin yaşının 2 katının 7 eksiği" \(2A - 7\) olur. "Mehmet'in yaşının 3 katına eşittir" ise \(3M\) olur. Denklemimiz: \(2A - 7 = 3M\).
• 3. Adım: İkinci ifadeyi denkleme çevirelim: "Ayşe Mehmet'ten 5 yaş büyük" demek \(A = M + 5\) demektir.
• 4. Adım: Şimdi \(A = M + 5\) ifadesini ilk denklemde yerine koyalım (yerine koyma metodu): \(2(M + 5) - 7 = 3M\).
• 5. Adım: Bu yeni denklemi \(M\) için çözelim:
• Dağılma özelliğini uygulayalım: \(2M + 10 - 7 = 3M\)
• Sadeleştirelim: \(2M + 3 = 3M\)
• Her iki taraftan \(2M\) çıkaralım: \(3 = 3M - 2M\)
• Sonuç: \(M = 3\)
• 6. Adım: Mehmet'in yaşı 3'tür. Ayşe'nin yaşını da bulalım: \(A = M + 5 = 3 + 5 = 8\).

Kontrol edelim: Ayşe 8, Mehmet 3 yaşında. Ayşe'nin yaşının 2 katının 7 eksiği: \(2 \times 8 - 7 = 16 - 7 = 9\). Mehmet'in yaşının 3 katı: \(3 \times 3 = 9\). Eşitlik sağlandı. ✅ Mehmet 3 yaşındadır. 👶

Bu problem, yüzdeler ve ardışık işlemler içerdiği için dikkatli çözülmelidir.

• 1. Adım: Ürünün başlangıçtaki etiket fiyatını \(x\) TL olarak kabul edelim.
• 2. Adım: Önce %20 indirim uygulanıyor. İndirim miktarı \(x \times \frac{20}{100} = 0.2x\) TL'dir.
• 3. Adım: İndirimli fiyat: \(x - 0.2x = 0.8x\) TL olur.
• 4. Adım: Ardından indirimli fiyat üzerinden %10 ek vergi uygulanıyor. Vergi miktarı: \(0.8x \times \frac{10}{100} = 0.8x \times 0.1 = 0.08x\) TL'dir.
• 5. Adım: Son satış fiyatı, indirimli fiyat artı vergi miktarıdır: \(0.8x + 0.08x = 0.88x\) TL.
• 6. Adım: Son satış fiyatının 108 TL olduğu verilmiş. Yani denklemimiz: \(0.88x = 108\).
• 7. Adım: \(x\) 'i bulmak için her iki tarafı 0.88'e bölelim: \(x = \frac{108}{0.88}\).
• 8. Adım: Bölme işlemini yapalım: \(x = \frac{10800}{88}\). Sadeleştirerek veya doğrudan bölerek sonuca ulaşabiliriz. \(10800 \div 88 = 122.7272...\) Bu tam bir sayı çıkmadı. Soruyu tekrar kontrol edelim. Ah, evet, 108 TL'ye denk gelmesi için sayılar ayarlansaydı daha kolay olurdu. Ancak verilen sayılarla devam edelim. Eğer soruda bir tam sayı olması hedefleniyorsa, sayılar farklı olmalıydı. Ancak verilenlerle devam edersek: \(x = 122.73\) TL (yaklaşık).

Düzeltme: Sorunun orijinalinde tam sayı çıkması hedeflenmiş olabileceğini düşünerek, eğer son satış fiyatı 108 TL ise, etiket fiyatının bu hesaplamaya göre yaklaşık 122.73 TL olduğunu görüyoruz. Eğer soru tam sayı sonuç verecek şekilde olsaydı, örneğin son fiyat 88 TL olsaydı, etiket fiyatı 100 TL olurdu. Verilen 108 TL ile devam edelim. Alternatif Yaklaşım (Tam Sayı Çıkması Hedefleniyorsa): Eğer sorunun tam sayı çıkması hedefleniyorsa, son fiyat 108 TL yerine başka bir değer olmalıydı. Ancak, verilen 108 TL ile devam edelim ve işlemi doğru yapalım.
\(x = \frac{108}{0.88} = \frac{10800}{88} = \frac{1350}{11}\) TL. Bu da yaklaşık 122.73 TL'dir. Önemli Not: Genellikle bu tür sorularda tam sayılarla çalışılır. Eğer bir sınavda böyle bir soruyla karşılaşırsanız, hesap makinesi kullanma imkanınız varsa kullanın, yoksa sadeleştirme yaparak devam edin.

Bu, günlük hayattan basit bir denklem kurma örneğidir.

• 1. Adım: Sinema bileti fiyatı kişi başı 40 TL'dir.
• 2. Adım: Sinemaya giden kişi sayısı \(x\) olarak verilmiş.
• 3. Adım: Toplam ödenmesi gereken ücret, kişi sayısı ile bilet fiyatının çarpımına eşittir. Bu durumu bir denklemle ifade edersek: Toplam Ücret = \(40 \times x\).
• 4. Adım: Eğer toplam ödenen ücret 200 TL ise, denklemimiz şu şekilde olur: \(40x = 200\).
• 5. Adım: Bu denklemi \(x\) için çözelim. Her iki tarafı 40'a bölelim: \( \frac{40x}{40} = \frac{200}{40} \).
• 6. Adım: Sonuç olarak \(x = 5\) bulunur.

Yani, sinemaya 5 kişi gitmiştir. 👨‍👩‍👧‍👦

Bu problemde kesirlerle işlem yaparak ekilmeyen alanı bulacağız.

• 1. Adım: Tarlanın tamamını 1 bütün olarak kabul edelim.
• 2. Adım: Çiftçi tarlanın \( \frac{2}{5} \) 'ini buğday ekmiştir.
• 3. Adım: Geriye kalan kısım: \( 1 - \frac{2}{5} = \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} \).
• 4. Adım: Kalan kısmın (yani \( \frac{3}{5} \) 'in) \( \frac{1}{3} \) 'ünü arpa ekmiştir. Arpa ekilen kısım: \( \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} \).
• 5. Adım: Toplam ekilen kısım (buğday + arpa): \( \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5} \).
• 6. Adım: Ekilmeyen kısım ise tarlanın tamamından ekilen kısmı çıkararak bulunur: \( 1 - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} \).

Sonuç olarak, çiftçinin tarlasının ekilmeyen kısmı, tarlanın tamamının \( \frac{2}{5} \) 'idir. 🌳

Bu problemde iki bilinmeyenli bir denklem sistemi kurup çözeceğiz.

• 1. Adım: Kırmızı bilyelerin sayısını \(k\), mavi bilyelerin sayısını \(m\) ile gösterelim.
• 2. Adım: Birinci ifadeyi denkleme çevirelim: "Kırmızı bilyelerin sayısının 2 katı" \(2k\) olur. "Mavi bilyelerin sayısının 3 katından 5 fazladır" ise \(3m + 5\) olur. Denklemimiz: \(2k = 3m + 5\).
• 3. Adım: İkinci ifadeyi denkleme çevirelim: "Toplam 55 bilye varsa" demek \(k + m = 55\) demektir.
• 4. Adım: İkinci denklemden \(k\) 'yı çekelim: \(k = 55 - m\).
• 5. Adım: Bu \(k\) değerini birinci denklemde yerine koyalım (yerine koyma metodu): \(2(55 - m) = 3m + 5\).
• 6. Adım: Bu yeni denklemi \(m\) için çözelim:
• Dağılma özelliğini uygulayalım: \(110 - 2m = 3m + 5\)
• \(2m\) 'yi sağ tarafa, 5'i sol tarafa atalım: \(110 - 5 = 3m + 2m\)
• Sadeleştirelim: \(105 = 5m\)
• Her iki tarafı 5'e bölelim: \( \frac{105}{5} = \frac{5m}{5} \)
• Sonuç: \(m = 21\)
• 7. Adım: Kutuda 21 tane mavi bilye vardır. Kırmızı bilye sayısını da bulalım: \(k = 55 - m = 55 - 21 = 34\).

Kontrol edelim: Kırmızı bilye sayısı 34, mavi bilye sayısı 21. Toplam: \(34 + 21 = 55\). Kırmızıların 2 katı: \(2 \times 34 = 68\). Mavilerin 3 katından 5 fazlası: \(3 \times 21 + 5 = 63 + 5 = 68\). Eşitlik sağlandı. ✅

Bu problemde yolun bir kısmının kesirleri ile çalışacağız.

• 1. Adım: Toplam yol uzunluğu 120 km'dir.
• 2. Adım: Araç yolun önce \( \frac{1}{4} \) 'ünü gitmiştir. Gidilen ilk kısım: \( \frac{1}{4} \times 120 \text{ km} = 30 \text{ km} \).
• 3. Adım: Kalan yol uzunluğu: \( 120 \text{ km} - 30 \text{ km} = 90 \text{ km} \).
• 4. Adım: Sonra kalan yolun \( \frac{1}{3} \) 'ünü gitmiştir. Gidilen ikinci kısım: \( \frac{1}{3} \times 90 \text{ km} = 30 \text{ km} \).
• 5. Adım: Aracın toplam gittiği yol, ilk ve ikinci gidilen kısımların toplamıdır: \( 30 \text{ km} + 30 \text{ km} = 60 \text{ km} \).

Yani, araç toplamda 60 km yol gitmiştir. 🛣️