💡 9. Sınıf Matematik: Bir Üçgenden Ona Benzer Bir Üçgen Oluşturma Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Bir Üçgenden Ona Benzer Bir Üçgen Oluşturma Çözümlü Örnekler
Öncelikle üçgenlerin verilmeyen üçüncü açılarını bulalım:
- ABC üçgeni için: Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğu için, \( m(\angle C) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
- DEF üçgeni için: Benzer şekilde, \( m(\angle F) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
Şimdi açıları karşılaştıralım:
- \( m(\angle A) = m(\angle D) = 50^\circ \)
- \( m(\angle B) = m(\angle E) = 70^\circ \)
- \( m(\angle C) = m(\angle F) = 60^\circ \)
✅ Görüldüğü gibi, her iki üçgenin de tüm açıları birbirine eşittir. Bu durumda, Açı-Açı (AA) Benzerlik Teoremi'ne göre \( \triangle ABC \) ve \( \triangle DEF \) üçgenleri benzerdir. Bu durumu \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) şeklinde gösteririz.
📌 Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir. Bu orana benzerlik oranı \( k \) deriz.
\[ \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{|AC|}{|DF|} = k \]DEF üçgeninin kenar uzunlukları, ABC üçgeninin kenar uzunluklarının \( k \) katı olabilir (eğer \( k < 1 \) ise küçülmüş, \( k > 1 \) ise büyümüş bir üçgen). Örneğin, eğer benzerlik oranı \( k = \frac{1}{2} \) ise (yani DEF üçgeni ABC üçgeninin yarısı büyüklüğünde ise):
- \( |DE| = |AB| \times k = 6 \times \frac{1}{2} = 3 \) cm
- \( |EF| = |BC| \times k = 8 \times \frac{1}{2} = 4 \) cm
- \( |DF| = |AC| \times k = 10 \times \frac{1}{2} = 5 \) cm
👉 Veya benzerlik oranı \( k = 2 \) ise (yani DEF üçgeni ABC üçgeninin iki katı büyüklüğünde ise):
- \( |DE| = |AB| \times k = 6 \times 2 = 12 \) cm
- \( |EF| = |BC| \times k = 8 \times 2 = 16 \) cm
- \( |DF| = |AC| \times k = 10 \times 2 = 20 \) cm
Önemli olan, kenarların aynı oranda küçülmesi veya büyümesidir.
İki üçgenin benzerliğini kontrol etmek için Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Teoremi'ni kullanabiliriz. Bu teorem, iki üçgenin birer açısı eşit ve bu eşit açıları oluşturan kenarların oranları da birbirine eşitse, üçgenlerin benzer olduğunu söyler.
- Verilen açılar: \( m(\angle A) = 60^\circ \) ve \( m(\angle D) = 60^\circ \). Görüldüğü gibi açılar eşittir.
- Şimdi bu eşit açıları oluşturan kenarların oranlarına bakalım:
- ABC üçgeninde A açısını oluşturan kenarlar \( |AB| = 4 \) cm ve \( |AC| = 6 \) cm'dir.
- DEF üçgeninde D açısını oluşturan kenarlar \( |DE| = 6 \) cm ve \( |DF| = 9 \) cm'dir.
Kenarların oranlarını hesaplayalım:
- \( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
- \( \frac{|AC|}{|DF|} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)
✅ Görüldüğü gibi, eşit açının kolları olan kenarların oranları birbirine eşittir \( \left( \frac{2}{3} \right) \).
Bu durumda, Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Teoremi'ne göre \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) dir.
📌 Benzerlik oranı \( k = \frac{2}{3} \) tür.
İki üçgenin benzerliğini kontrol etmek için Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Teoremi'ni kullanabiliriz. Bu teorem, iki üçgenin tüm kenarlarının karşılıklı olarak orantılı olması durumunda üçgenlerin benzer olduğunu söyler.
Öncelikle, karşılıklı kenarları doğru bir şekilde eşleştirelim. Genellikle en kısa kenarı en kısa kenarla, ortanca kenarı ortanca kenarla ve en uzun kenarı en uzun kenarla eşleştiririz.
- ABC üçgeninin kenarları: 5 cm, 7 cm, 9 cm
- KLM üçgeninin kenarları: 10 cm, 14 cm, 18 cm
Şimdi karşılıklı kenarların oranlarını hesaplayalım:
- En kısa kenarların oranı: \( \frac{|AB|}{|KL|} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
- Ortanca kenarların oranı: \( \frac{|BC|}{|LM|} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \)
- En uzun kenarların oranı: \( \frac{|AC|}{|KM|} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} \)
✅ Görüldüğü gibi, tüm karşılıklı kenarların oranları birbirine eşit ve \( \frac{1}{2} \) dir.
Bu durumda, Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Teoremi'ne göre \( \triangle ABC \sim \triangle KLM \) dir.
📌 Benzerlik oranı \( k = \frac{1}{2} \) tür.
💡 Bu problemde Temel Orantı Teoremi (Thales Teoremi)'ni kullanacağız. Bu teorem, bir üçgenin bir kenarına paralel çizilen bir doğrunun, diğer iki kenarı orantılı parçalara ayırdığını belirtir. Ayrıca, bu durum küçük bir üçgenin (ADE) büyük bir üçgene (ABC) benzer olduğunu gösterir.
Verilenler:
- \( |AD| = 3 \) cm
- \( |DB| = 6 \) cm
- \( |AE| = 4 \) cm
- DE // BC
Adım 1: \( |AB| \) uzunluğunu bulalım.
- \( |AB| = |AD| + |DB| = 3 + 6 = 9 \) cm.
Adım 2: Benzerlik oranını kullanarak \( |AC| \) uzunluğunu bulalım.
DE // BC olduğu için \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) dir. Bu durumda karşılıklı kenarların oranları eşittir:
\[ \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} \]Verilen değerleri yerine yazalım:
\[ \frac{3}{9} = \frac{4}{|AC|} \]Oranı sadeleştirelim:
\[ \frac{1}{3} = \frac{4}{|AC|} \]İçler dışlar çarpımı yaparak \( |AC| \) değerini bulalım:
\[ 1 \times |AC| = 3 \times 4 \] \[ |AC| = 12 \text{ cm} \]Adım 3: \( |EC| \) uzunluğunu bulalım.
- \( |EC| = |AC| - |AE| = 12 - 4 = 8 \) cm.
✅ Yani, \( |EC| = 8 \) cm'dir.
📌 Benzer üçgenlerde çevre uzunluklarının oranı, benzerlik oranına eşittir. Bu, kenar uzunlukları hangi oranda değişiyorsa, tüm kenarların toplamı olan çevrenin de aynı oranda değişeceği anlamına gelir.
Verilenler:
- Benzerlik oranı \( k = \frac{3}{5} \). (Bu oran, küçük üçgenin kenarlarının büyük üçgenin karşılıklı kenarlarına oranıdır.)
- Küçük üçgenin çevresi \( Ç_K = 24 \) cm.
Büyük üçgenin çevresini \( Ç_B \) ile gösterelim.
Formülü uygulayalım:
\[ \frac{Ç_K}{Ç_B} = k \]Verilen değerleri formülde yerine koyalım:
\[ \frac{24}{Ç_B} = \frac{3}{5} \]Şimdi içler dışlar çarpımı yaparak \( Ç_B \) değerini bulalım:
\[ 3 \times Ç_B = 24 \times 5 \] \[ 3 \times Ç_B = 120 \]Her iki tarafı 3'e bölelim:
\[ Ç_B = \frac{120}{3} \] \[ Ç_B = 40 \text{ cm} \]✅ Büyük üçgenin çevresi 40 cm'dir.
💡 Bu problemde, paralel doğruların oluşturduğu iç ters açılar ve kesişen doğruların oluşturduğu ters açılar sayesinde üçgenlerin benzer olduğunu göreceğiz.
Verilenler:
- AB // DE (AB doğru parçası DE doğru parçasına paraleldir)
- \( |AB| = 9 \) cm
- \( |DE| = 6 \) cm
- \( |BC| = 12 \) cm
Adım 1: Üçgenlerin benzerliğini belirleyelim.
- AB // DE olduğu için (Z kuralı):
- \( m(\angle BAC) = m(\angle CDE) \) (iç ters açılar)
- \( m(\angle ABC) = m(\angle CED) \) (iç ters açılar)
- C noktasında kesişen AD ve BE doğrularının oluşturduğu açılar:
- \( m(\angle ACB) = m(\angle ECD) \) (ters açılar)
✅ Tüm açılarının eşit olması nedeniyle, Açı-Açı (AA) Benzerlik Teoremi'ne göre \( \triangle ABC \sim \triangle EDC \) dir. (Köşe sıralaması önemlidir: A açısı D'ye, B açısı E'ye ve C açısı C'ye karşılık gelir).
Adım 2: Benzerlik oranını bulalım.
Karşılıklı kenarların oranları benzerlik oranını verir:
\[ k = \frac{|AB|}{|ED|} \]Verilen değerleri yerine yazalım:
\[ k = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \]Adım 3: \( |CE| \) uzunluğunu bulalım.
Benzerlik oranını kullanarak \( |BC| \) ve \( |CE| \) kenarları arasındaki ilişkiyi yazalım:
\[ \frac{|BC|}{|CE|} = k \]Verilen değerleri ve bulduğumuz benzerlik oranını yerine yazalım:
\[ \frac{12}{|CE|} = \frac{3}{2} \]İçler dışlar çarpımı yapalım:
\[ 3 \times |CE| = 12 \times 2 \] \[ 3 \times |CE| = 24 \]Her iki tarafı 3'e bölelim:
\[ |CE| = \frac{24}{3} \] \[ |CE| = 8 \text{ cm} \]✅ \( |CE| \) uzunluğu 8 cm'dir.
💡 Bu tür problemler, benzer üçgenlerin günlük hayattaki en yaygın uygulamalarından biridir. Güneş ışınları paralel geldiği için, cisimlerin (Ali ve ağaç) boyları ile gölge boyları arasında oluşan dik üçgenler benzerdir.
Her iki durumda da:
- Cisim (Ali veya ağaç) yer ile dik açı yapar (\( 90^\circ \)).
- Güneş ışınlarının yere düşme açısı her iki üçgende de aynıdır (paralel geldikleri için).
Bu iki açı eşit olduğundan, Açı-Açı (AA) Benzerlik Teoremi'ne göre Ali'nin oluşturduğu üçgen ile ağacın oluşturduğu üçgen benzerdir.
Verilenler:
- Ali'nin boyu (\( H_A \)) = 1.8 m
- Ali'nin gölge boyu (\( G_A \)) = 2.7 m
- Ağacın gölge boyu (\( G_B \)) = 15 m
- Ağacın boyu (\( H_B \)) = ?
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir. Bu durumda, boyların oranı gölge boylarının oranına eşit olacaktır:
\[ \frac{\text{Ali'nin boyu}}{\text{Ağacın boyu}} = \frac{\text{Ali'nin gölge boyu}}{\text{Ağacın gölge boyu}} \] \[ \frac{H_A}{H_B} = \frac{G_A}{G_B} \]Verilen değerleri yerine yazalım:
\[ \frac{1.8}{H_B} = \frac{2.7}{15} \]Şimdi içler dışlar çarpımı yaparak \( H_B \) değerini bulalım:
\[ 2.7 \times H_B = 1.8 \times 15 \] \[ 2.7 \times H_B = 27 \]Her iki tarafı 2.7'ye bölelim:
\[ H_B = \frac{27}{2.7} \]Ondalıklı sayılardan kurtulmak için pay ve paydayı 10 ile çarpalım:
\[ H_B = \frac{270}{27} \] \[ H_B = 10 \text{ m} \]✅ Ağacın boyu 10 metredir.
💡 Haritalar, planlar ve modeller, gerçek dünyadaki nesnelerin belirli bir oranda küçültülmüş veya büyütülmüş benzerleridir. Bu orana ölçek denir ve benzerlik oranını ifade eder.
Ölçek 1:2000 ifadesi, harita üzerindeki 1 birim uzunluğun gerçekte 2000 birim uzunluğa karşılık geldiği anlamına gelir. Yani, benzerlik oranı \( \frac{1}{2000} \) dir.
Verilenler:
- Harita üzerindeki mesafe = 5 cm
- Ölçek = \( \frac{1}{2000} \)
Gerçek mesafeyi \( G \) ile gösterelim.
Ölçek formülü şöyledir:
\[ \text{Ölçek} = \frac{\text{Harita uzunluğu}}{\text{Gerçek uzunluk}} \]Verilen değerleri formülde yerine yazalım:
\[ \frac{1}{2000} = \frac{5 \text{ cm}}{G} \]Şimdi içler dışlar çarpımı yaparak \( G \) değerini bulalım:
\[ 1 \times G = 2000 \times 5 \text{ cm} \] \[ G = 10000 \text{ cm} \]Soruda gerçek mesafeyi metre cinsinden istediği için santimetreyi metreye çevirmemiz gerekiyor.
📌 Bilgi: 1 metre = 100 santimetre.
Bu durumda, santimetre değerini 100'e bölerek metreye çevirebiliriz:
\[ G = \frac{10000}{100} \text{ m} \] \[ G = 100 \text{ m} \]✅ İki bina arasındaki gerçek mesafe 100 metredir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-bir-ucgenden-ona-benzer-bir-ucgen-olusturma/sorular