Ana Sayfa
/
9. Sınıf
/
9. Sınıf Matematik
/
Bir Üçgenden Hareketle Ona Benzer Üçgenler Oluşturmak
/
Çözümlü Örnekler
🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Bir Üçgenden Hareketle Ona Benzer Üçgenler Oluşturmak Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Bir ABC üçgeninde A açısı \( 60^\circ \), B açısı \( 70^\circ \) ve AB kenarı \( 8 \) cm'dir.
Bir DEF üçgeninde D açısı \( 60^\circ \), E açısı \( 70^\circ \) ve DE kenarı \( 12 \) cm'dir.
Bu iki üçgenin benzerlik oranını bulun ve BC kenarı \( 10 \) cm ise EF kenarının uzunluğunu hesaplayın. 💡
Bir DEF üçgeninde D açısı \( 60^\circ \), E açısı \( 70^\circ \) ve DE kenarı \( 12 \) cm'dir.
Bu iki üçgenin benzerlik oranını bulun ve BC kenarı \( 10 \) cm ise EF kenarının uzunluğunu hesaplayın. 💡
Çözüm ve Açıklama
Bu problemi adım adım çözelim:
- 👉 Açıların Karşılaştırılması:
ABC üçgeninde A açısı \( 60^\circ \) ve B açısı \( 70^\circ \) ise, C açısı \( 180^\circ - (60^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \) olur.
DEF üçgeninde D açısı \( 60^\circ \) ve E açısı \( 70^\circ \) ise, F açısı \( 180^\circ - (60^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \) olur. - ✅ Benzerlik Tespiti:
Görüldüğü gibi, üçgenlerin tüm açıları birbirine eşittir: \( \angle A = \angle D = 60^\circ \), \( \angle B = \angle E = 70^\circ \), \( \angle C = \angle F = 50^\circ \).
Bu durumda, Açı-Açı-Açı (AAA) benzerlik kuralına göre \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) benzerdir. - 📏 Benzerlik Oranının Hesaplanması:
Karşılıklı kenarların oranları benzerlik oranını verir. Verilen kenarlar AB ve DE'dir.
AB kenarı \( 8 \) cm ve DE kenarı \( 12 \) cm olduğundan benzerlik oranı (k) şu şekildedir:
\[ k = \frac{AB}{DE} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \] Veya \( \triangle DEF \)'nin \( \triangle ABC \)'ye benzerlik oranı \( \frac{DE}{AB} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \) olarak da alınabilir. Soruda genellikle küçükten büyüğe oran sorulur, bu yüzden \( \frac{2}{3} \) kullanıyoruz. - 🔍 EF Kenarının Bulunması:
BC kenarı \( 10 \) cm'dir. BC kenarına karşılık gelen kenar EF kenarıdır.
Benzerlik oranını kullanarak EF'yi bulalım:
\[ \frac{BC}{EF} = k \] \[ \frac{10}{EF} = \frac{2}{3} \] İçler dışlar çarpımı yaparak EF'yi buluruz:
\[ 2 \times EF = 10 \times 3 \] \[ 2 \times EF = 30 \] \[ EF = \frac{30}{2} \] \[ EF = 15 \text{ cm} \]
Sonuç olarak, üçgenlerin benzerlik oranı \( \frac{2}{3} \) ve EF kenarının uzunluğu \( 15 \) cm'dir. ✅
2
Çözümlü Örnek
Bir KLM üçgeninde KL kenarı \( 6 \) cm, LM kenarı \( 9 \) cm ve L açısı \( 50^\circ \) 'dir.
Bir PRS üçgeninde PR kenarı \( 10 \) cm, RS kenarı \( 15 \) cm ve R açısı \( 50^\circ \) 'dir.
Buna göre, KLM üçgeninin KM kenarına karşılık gelen PRS üçgenindeki PS kenarının uzunluğunu bulun.
Bir PRS üçgeninde PR kenarı \( 10 \) cm, RS kenarı \( 15 \) cm ve R açısı \( 50^\circ \) 'dir.
Buna göre, KLM üçgeninin KM kenarına karşılık gelen PRS üçgenindeki PS kenarının uzunluğunu bulun.
Çözüm ve Açıklama
Bu problemi çözmek için Kenar-Açı-Kenar (KAK) benzerlik kuralını kullanacağız:
- 👉 Açıların Karşılaştırılması:
Verilen bilgilere göre, her iki üçgende de birer açı eşittir: \( \angle L = \angle R = 50^\circ \). - 📏 Kenar Oranlarının Kontrolü:
Eşit açıyı oluşturan kenarların oranlarına bakalım:
KL kenarı \( 6 \) cm, PR kenarı \( 10 \) cm.
LM kenarı \( 9 \) cm, RS kenarı \( 15 \) cm.
Önce küçükten büyüğe doğru oranları yazalım:
\[ \frac{KL}{PR} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \] \[ \frac{LM}{RS} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} \] - ✅ Benzerlik Tespiti:
İki kenar oranı eşit ve bu kenarlar arasındaki açı da eşit olduğundan, Kenar-Açı-Kenar (KAK) benzerlik kuralına göre \( \triangle KLM \sim \triangle PRS \) benzerdir.
Benzerlik oranı \( k = \frac{3}{5} \) 'tir. - 🔍 PS Kenarının Bulunması:
KM kenarı, KLM üçgeninin üçüncü kenarıdır ve PS kenarı da PRS üçgeninin üçüncü kenarıdır. Bu kenarlar birbirine karşılık gelir.
Ancak, soruda KM kenarının uzunluğu verilmemiş. Soru, "KM kenarına karşılık gelen PS kenarının uzunluğunu bulun" diyor ve bu bir tuzak olabilir. Eğer KM'nin uzunluğu verilmediyse, PS'nin uzunluğunu bulamayız.
Varsayım: Eğer soru "KM kenarı \( x \) cm ise PS kenarı kaç cm'dir?" şeklinde olsaydı, o zaman \( \frac{KM}{PS} = \frac{3}{5} \) denklemini kullanırdık.
Düzeltme: Soruda aslında KM'nin uzunluğu verilmemiş, bu durumda PS'nin mutlak değerini bulmak mümkün değildir. Ancak, sorunun amacı benzerlik oranını bulup bunu kullanmayı öğretmek olmalı. Eğer KM uzunluğu olsaydı, örneğin KM = \( 7.5 \) cm olsaydı:
\[ \frac{KM}{PS} = \frac{3}{5} \] \[ \frac{7.5}{PS} = \frac{3}{5} \] \[ 3 \times PS = 7.5 \times 5 \] \[ 3 \times PS = 37.5 \] \[ PS = \frac{37.5}{3} \] \[ PS = 12.5 \text{ cm} \]
Önemli Not: Soruda KM kenarının uzunluğu belirtilmediği için, PS kenarının sayısal bir değerini bulmak mümkün değildir. Sadece KM cinsinden ifade edebiliriz:
\[ PS = \frac{5}{3} \times KM \]
Ancak, benzerlik oranını bulma kısmı yine de doğrudur. Genellikle bu tip sorularda KM'nin uzunluğu da verilir. Sorunun bu haliyle, PS'nin mutlak uzunluğunu bulamayız. Eğer soru "KM kenarı 7.5 cm ise PS kenarının uzunluğunu bulun" olsaydı cevabımız 12.5 cm olurdu. Bu örnekte, benzerlik oranını bulmaya odaklanalım.
Sonuç olarak, \( \triangle KLM \) ve \( \triangle PRS \) benzerdir ve benzerlik oranı \( \frac{3}{5} \) 'tir. Eğer KM'nin uzunluğu verilseydi, PS'nin uzunluğu da bu oran üzerinden bulunabilirdi. ✅
3
Çözümlü Örnek
Bir XYZ üçgeninin kenar uzunlukları \( 4 \) cm, \( 6 \) cm ve \( 8 \) cm'dir.
Bir GHI üçgeninin kenar uzunlukları \( 6 \) cm, \( 9 \) cm ve \( 12 \) cm'dir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyin ve benzerlik oranını bulun. 📌
Bir GHI üçgeninin kenar uzunlukları \( 6 \) cm, \( 9 \) cm ve \( 12 \) cm'dir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyin ve benzerlik oranını bulun. 📌
Çözüm ve Açıklama
Bu problemi Kenar-Kenar-Kenar (KKK) benzerlik kuralına göre çözelim:
- 👉 Kenar Uzunluklarının Sıralanması:
Öncelikle her iki üçgenin kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayalım:
\( \triangle XYZ \): \( 4, 6, 8 \) cm
\( \triangle GHI \): \( 6, 9, 12 \) cm - 📏 Karşılıklı Kenarların Oranlarının Hesaplanması:
Eğer üçgenler benzerse, karşılıklı kenarların oranları birbirine eşit olmalıdır. Küçükten büyüğe sıraladığımız kenarları oranlayalım:
Birinci kenarların oranı: \( \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
İkinci kenarların oranı: \( \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)
Üçüncü kenarların oranı: \( \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \) - ✅ Benzerlik Tespiti:
Tüm karşılıklı kenarların oranları birbirine eşit (hepsi \( \frac{2}{3} \)) olduğu için, Kenar-Kenar-Kenar (KKK) benzerlik kuralına göre \( \triangle XYZ \sim \triangle GHI \) benzerdir. - 🔢 Benzerlik Oranı:
Bulduğumuz oran, üçgenler arasındaki benzerlik oranıdır.
Benzerlik oranı \( k = \frac{2}{3} \) 'tür.
Sonuç olarak, XYZ ve GHI üçgenleri benzerdir ve benzerlik oranı \( \frac{2}{3} \) 'tür. ✅
4
Çözümlü Örnek
Bir ABC üçgeninde, BC kenarına paralel olan bir DE doğru parçası, AB kenarını D noktasında, AC kenarını E noktasında kesmektedir.
AD uzunluğu \( 4 \) cm, DB uzunluğu \( 6 \) cm ve DE uzunluğu \( 5 \) cm ise BC uzunluğu kaç cm'dir? 📐
AD uzunluğu \( 4 \) cm, DB uzunluğu \( 6 \) cm ve DE uzunluğu \( 5 \) cm ise BC uzunluğu kaç cm'dir? 📐
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde iç içe benzer üçgenler ve paralel doğruların oluşturduğu benzerlik prensibini kullanacağız:
- 👉 Benzer Üçgenleri Belirleme:
DE doğru parçası BC kenarına paralel olduğu için, yöndeş açılar birbirine eşit olacaktır:
\( \angle ADE = \angle ABC \) (Yöndeş açılar)
\( \angle AED = \angle ACB \) (Yöndeş açılar)
Ayrıca, A açısı her iki üçgen için de ortak açıdır (\( \angle DAE = \angle BAC \)).
Bu durumda, Açı-Açı-Açı (AAA) benzerlik kuralına göre \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) benzerdir. - 📏 Kenar Uzunluklarını Belirleme:
AD uzunluğu \( 4 \) cm'dir.
DB uzunluğu \( 6 \) cm'dir.
AB kenarının tamamı \( AD + DB = 4 + 6 = 10 \) cm'dir.
DE uzunluğu \( 5 \) cm'dir. - 🔢 Benzerlik Oranını Kullanma:
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir. AB kenarı ADE üçgenindeki AD kenarına karşılık gelirken, BC kenarı DE kenarına karşılık gelir.
Benzerlik oranı \( k = \frac{AD}{AB} \) olarak yazılabilir.
\[ k = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \] Aynı benzerlik oranı diğer karşılıklı kenarlar için de geçerlidir:
\[ \frac{DE}{BC} = k \] \[ \frac{5}{BC} = \frac{2}{5} \] - 🔍 BC Uzunluğunu Hesaplama:
Denklemimizi içler dışlar çarpımı yaparak çözelim:
\[ 2 \times BC = 5 \times 5 \] \[ 2 \times BC = 25 \] \[ BC = \frac{25}{2} \] \[ BC = 12.5 \text{ cm} \]
Sonuç olarak, BC uzunluğu \( 12.5 \) cm'dir. ✅
5
Çözümlü Örnek
Bir sokak lambasının direği \( 4 \) metre yüksekliğindedir. Lambanın altında duran \( 1.6 \) metre boyundaki bir kişinin gölgesi \( 2 \) metre uzunluğundadır. Bu kişinin lambadan uzaklığı kaç metredir? 🚶♂️💡
Çözüm ve Açıklama
Bu bir günlük hayattan benzerlik problemidir. Işık kaynağı, nesne ve gölge, benzer üçgenler oluşturur.
- 👉 Durumu Anlama ve Üçgenleri Belirleme:
Bu senaryoda iki adet dik üçgen oluşur:
- Küçük üçgen: Kişinin boyu, gölgesinin uzunluğu ve lambadan kişiye uzanan hayali ışık çizgisi.
- Büyük üçgen: Lamba direğinin yüksekliği, lambanın dibinden gölgenin ucuna kadar olan toplam mesafe ve lambadan gölgenin ucuna uzanan ışık çizgisi.
- 📏 Verileri Yerleştirme:
Kişinin boyu: \( 1.6 \) m
Kişinin gölgesinin uzunluğu: \( 2 \) m
Sokak lambasının yüksekliği: \( 4 \) m
Kişinin lambadan uzaklığına \( x \) diyelim. - 🔢 Benzerlik Oranını Kurma:
Küçük üçgenin dik kenarları (kişinin boyu ve gölgesi) ile büyük üçgenin dik kenarları (lamba direği ve toplam gölge uzunluğu) arasında oran kuracağız.
Büyük üçgenin taban uzunluğu (toplam gölge) kişinin lambadan uzaklığı (\( x \)) ile kişinin gölge uzunluğunun toplamıdır: \( x + 2 \).
\[ \frac{\text{Kişinin boyu}}{\text{Lamba direğinin yüksekliği}} = \frac{\text{Kişinin gölge uzunluğu}}{\text{Toplam gölge uzunluğu}} \] \[ \frac{1.6}{4} = \frac{2}{x + 2} \] - 🔍 Denklemi Çözme:
İçler dışlar çarpımı yapalım:
\[ 1.6 \times (x + 2) = 4 \times 2 \] \[ 1.6x + 1.6 \times 2 = 8 \] \[ 1.6x + 3.2 = 8 \] \[ 1.6x = 8 - 3.2 \] \[ 1.6x = 4.8 \] \[ x = \frac{4.8}{1.6} \] \[ x = 3 \text{ metre} \]
Sonuç olarak, kişinin lambadan uzaklığı \( 3 \) metredir. ✅
6
Çözümlü Örnek
Güneşli bir günde, \( 1.5 \) metre boyundaki Ali'nin gölgesi \( 2 \) metre uzunluğundadır.
Aynı anda, bir ağacın gölgesi \( 10 \) metre uzunluğundadır.
Buna göre ağacın yüksekliği kaç metredir? 🌳☀️
Aynı anda, bir ağacın gölgesi \( 10 \) metre uzunluğundadır.
Buna göre ağacın yüksekliği kaç metredir? 🌳☀️
Çözüm ve Açıklama
Bu, benzer üçgenlerin günlük hayattaki en klasik uygulamalarından biridir. Güneş ışınlarının paralel geldiği kabul edilir, bu da benzer dik üçgenler oluşmasını sağlar.
- 👉 Benzer Üçgenleri Oluşturma:
Ali ve ağaç, yere dik durdukları için dikey kenarları oluşturur. Gölgeleri ise yatay kenarları oluşturur. Güneş ışınları da hipotenüsleri oluşturur.
Aynı anda ve aynı yerde oldukları için güneşin geliş açısı hem Ali hem de ağaç için aynıdır. Bu durumda, Ali'nin boyu ve gölgesi ile ağacın boyu ve gölgesi Açı-Açı (AA) benzerlik kuralına göre benzer iki dik üçgen oluşturur. - 📏 Verilen Uzunluklar:
Ali'nin boyu: \( H_{Ali} = 1.5 \) m
Ali'nin gölgesi: \( G_{Ali} = 2 \) m
Ağacın gölgesi: \( G_{Ağaç} = 10 \) m
Ağacın yüksekliği: \( H_{Ağaç} \) (Bunu bulacağız.) - 🔢 Benzerlik Oranını Kurma:
Karşılıklı kenarların oranları birbirine eşit olacaktır:
\[ \frac{H_{Ali}}{H_{Ağaç}} = \frac{G_{Ali}}{G_{Ağaç}} \] Değerleri yerine yazalım:
\[ \frac{1.5}{H_{Ağaç}} = \frac{2}{10} \] - 🔍 Ağacın Yüksekliğini Hesaplama:
Denklemi içler dışlar çarpımı yaparak çözelim:
\[ 1.5 \times 10 = 2 \times H_{Ağaç} \] \[ 15 = 2 \times H_{Ağaç} \] \[ H_{Ağaç} = \frac{15}{2} \] \[ H_{Ağaç} = 7.5 \text{ metre} \]
Sonuç olarak, ağacın yüksekliği \( 7.5 \) metredir. ✅ Bu yöntem, ölçülmesi zor olan yükseklikleri pratik bir şekilde bulmak için kullanılabilir.
7
Çözümlü Örnek
İki benzer üçgenin benzerlik oranı \( \frac{2}{3} \) 'tür.
Küçük üçgenin alanı \( 24 \text{ cm}^2 \) olduğuna göre, büyük üçgenin alanı kaç \( \text{cm}^2 \) 'dir? 💡📏
Küçük üçgenin alanı \( 24 \text{ cm}^2 \) olduğuna göre, büyük üçgenin alanı kaç \( \text{cm}^2 \) 'dir? 💡📏
Çözüm ve Açıklama
Benzer üçgenlerde alanlar arasındaki ilişki önemli bir konudur:
- 👉 Benzerlik Oranı ve Alan Oranı İlişkisi:
İki benzer üçgenin benzerlik oranı \( k \) ise, bu üçgenlerin alanlarının oranı \( k^2 \) 'ye eşittir.
Yani, \( \frac{\text{Küçük Üçgenin Alanı}}{\text{Büyük Üçgenin Alanı}} = (\text{Benzerlik Oranı})^2 \). - 📏 Verilenler:
Benzerlik oranı \( k = \frac{2}{3} \). (Burada küçük üçgenin kenarlarının büyük üçgenin kenarlarına oranı verilmiş.)
Küçük üçgenin alanı \( A_{küçük} = 24 \text{ cm}^2 \).
Büyük üçgenin alanı \( A_{büyük} \) (Bunu bulacağız.) - 🔢 Alan Oranını Hesaplama:
Benzerlik oranının karesini alalım:
\[ k^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} \] Bu oran, küçük üçgenin alanının büyük üçgenin alanına oranıdır. - 🔍 Büyük Üçgenin Alanını Bulma:
Şimdi bu oranı kullanarak büyük üçgenin alanını hesaplayalım:
\[ \frac{A_{küçük}}{A_{büyük}} = k^2 \] \[ \frac{24}{A_{büyük}} = \frac{4}{9} \] İçler dışlar çarpımı yapalım:
\[ 4 \times A_{büyük} = 24 \times 9 \] \[ 4 \times A_{büyük} = 216 \] \[ A_{büyük} = \frac{216}{4} \] \[ A_{büyük} = 54 \text{ cm}^2 \]
Sonuç olarak, büyük üçgenin alanı \( 54 \text{ cm}^2 \) 'dir. ✅
8
Çözümlü Örnek
ABCD dörtgeninde, AB kenarı DC kenarına paraleldir.
AC ve BD köşegenleri E noktasında kesişmektedir.
AE uzunluğu \( 6 \) cm, EC uzunluğu \( 9 \) cm ve AB uzunluğu \( 8 \) cm ise DC uzunluğu kaç cm'dir? 📌
AC ve BD köşegenleri E noktasında kesişmektedir.
AE uzunluğu \( 6 \) cm, EC uzunluğu \( 9 \) cm ve AB uzunluğu \( 8 \) cm ise DC uzunluğu kaç cm'dir? 📌
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde kelebek benzerliği olarak da bilinen, paralel doğrular ve kesişen doğruların oluşturduğu benzerlik durumunu inceleyeceğiz:
- 👉 Benzer Üçgenleri Belirleme:
AB kenarı DC kenarına paralel olduğu için, Z kuralından (iç ters açılar) ve ters açılardan benzer üçgenler oluşur.
- \( \angle BAE = \angle DCE \) (İç ters açılar, AB // DC olduğundan)
- \( \angle ABE = \angle CDE \) (İç ters açılar, AB // DC olduğundan)
- \( \angle AEB = \angle CED \) (Ters açılar)
- 📏 Verilen Uzunluklar:
AE uzunluğu \( 6 \) cm
EC uzunluğu \( 9 \) cm
AB uzunluğu \( 8 \) cm
DC uzunluğu (Bunu bulacağız.) - 🔢 Benzerlik Oranını Kurma:
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir. Karşılıklı kenarlar, eşit açıların karşısındaki kenarlardır:
\( \angle BAE \) karşısında BE, \( \angle DCE \) karşısında DE.
\( \angle ABE \) karşısında AE, \( \angle CDE \) karşısında CE.
\( \angle AEB \) karşısında AB, \( \angle CED \) karşısında CD.
Bu oranları kullanarak benzerlik oranını bulalım:
\[ \frac{AE}{CE} = \frac{AB}{CD} = \frac{BE}{DE} \] Verilen uzunlukları kullanalım:
\[ \frac{6}{9} = \frac{8}{DC} \] - 🔍 DC Uzunluğunu Hesaplama:
Öncelikle \( \frac{6}{9} \) oranını sadeleştirelim:
\[ \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \] Şimdi denklemi çözelim:
\[ \frac{2}{3} = \frac{8}{DC} \] İçler dışlar çarpımı yapalım:
\[ 2 \times DC = 3 \times 8 \] \[ 2 \times DC = 24 \] \[ DC = \frac{24}{2} \] \[ DC = 12 \text{ cm} \]
Sonuç olarak, DC uzunluğu \( 12 \) cm'dir. ✅