💡 9. Sınıf Matematik: Bir Üçgenden Hareketle Ona Benzer Üçgenler Oluşturma Çözümlü Örnekler

• 📌 \(DE // BC\) olduğu için, \(ADE\) üçgeni ile \(ABC\) üçgeni benzerdir.
• 👉 Bunun sebebi şudur:
  • \(\angle A\) açısı hem \(ADE\) üçgeninin hem de \(ABC\) üçgeninin ortak açısıdır.
  • \(DE // BC\) olduğundan, yöndeş açılar birbirine eşittir: \(\angle ADE = \angle ABC\) ve \(\angle AED = \angle ACB\).
• ✅ Dolayısıyla, \(ADE \sim ABC\) benzerliği vardır.
• Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir: \[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \]
• Verilen değerleri yerine yazalım: \(AD = 4\) cm
  \(DB = 6\) cm, bu durumda \(AB = AD + DB = 4 + 6 = 10\) cm olur.
  \(AE = 5\) cm
• Benzerlik oranını kullanarak \(EC\) uzunluğunu bulalım: \[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \] \[ \frac{4}{10} = \frac{5}{AE + EC} \] \[ \frac{4}{10} = \frac{5}{5 + EC} \]
• İçler dışlar çarpımı yaparak denklemi çözelim: \(4 \times (5 + EC) = 10 \times 5\)
  \(20 + 4 \times EC = 50\)
  \(4 \times EC = 50 - 20\)
  \(4 \times EC = 30\)
  \(EC = \frac{30}{4}\)
  \(EC = 7.5\) cm

Sonuç olarak, \(EC\) uzunluğu \(7.5\) cm'dir. ✅

• 💡 \(DE // BC\) olduğu için, \(ADE\) üçgeni ile \(ABC\) üçgeni benzerdir.
• 👉 Bunun nedeni:
  • \(\angle A\) açısı her iki üçgen için de ortak açıdır. (Dış açı olarak düşünülse de, \(ADE\) ve \(ABC\) üçgenlerinin A köşesindeki açıları aynıdır.)
  • \(DE // BC\) olduğundan, yöndeş açılar (\(\angle ADE = \angle ABC\) ve \(\angle AED = \angle ACB\)) birbirine eşittir.
• ✅ Dolayısıyla, \(ADE \sim ABC\) benzerliği vardır.
• Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir: \[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \]
• Verilen değerleri yerine yazalım: \(AB = 6\) cm
  \(AD = 9\) cm
  \(BC = 10\) cm
• Benzerlik oranını kullanarak \(DE\) uzunluğunu bulalım: \[ \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \] \[ \frac{9}{6} = \frac{DE}{10} \]
• Oranı sadeleştirelim ve içler dışlar çarpımı yapalım: \[ \frac{3}{2} = \frac{DE}{10} \] \(2 \times DE = 3 \times 10\)
  \(2 \times DE = 30\)
  \(DE = \frac{30}{2}\)
  \(DE = 15\) cm

Sonuç olarak, \(DE\) uzunluğu \(15\) cm'dir. ✅

• 📌 \(ADE\) üçgeni ile \(ABC\) üçgenini inceleyelim.
  • \(\angle A\) açısı her iki üçgen için de ortak açıdır.
  • Soruda \(\angle ADE = \angle ABC\) olduğu verilmiştir.
• 👉 İki açısı eşit olan üçgenlerin üçüncü açıları da eşit olacağından, \(ADE\) üçgeni ile \(ABC\) üçgeni benzerdir.
• ✅ Dolayısıyla, \(ADE \sim ABC\) benzerliği vardır.
• Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir. Bu benzerliği yazarken açıların sırasına dikkat etmek önemlidir: \[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \]
• Verilen değerleri yerine yazalım: \(AD = 3\) cm
  \(AE = 4\) cm
  \(BC = 12\) cm
• Benzerlik oranını kullanarak \(AB\) uzunluğunu bulalım: \[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \] \[ \frac{3}{AB} = \frac{4}{AC} \] Bu oran bize doğrudan \(AB\) veya \(AC\) değerini vermez. Diğer orana bakalım: \[ \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \] Burada \(DE\) bilinmiyor.
• Hmm, dikkatli olalım. Benzerlik yazarken açıların karşısındaki kenarları eşleştirmeliyiz. \(\triangle ADE \sim \triangle ABC\) olduğunda: \(\angle A\) karşısı \(DE\) ve \(BC\) \(\angle ADE\) karşısı \(AE\) ve \(AC\) \(\angle AED\) karşısı \(AD\) ve \(AB\) Yani, doğru oranlar şöyledir: \[ \frac{DE}{BC} = \frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB} \]
• Şimdi verilen değerlerle \(AB\) uzunluğunu bulalım: \[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \] \[ \frac{3}{AB} = \frac{4}{AC} \] Bu, \(AC\) veya \(AB\) için yeterli değil. Sanırım soruda bir hata var veya eksik bilgi var.
• Tekrar kontrol edelim: \(\angle ADE = \angle ABC\). Ortak açı \(\angle A\). Yani \(\triangle ADE \sim \triangle ABC\) (Açı-Açı benzerliği) doğrudur. Karşılıklı kenarlar: \(\angle A\) karşısında \(DE\) ve \(BC\). \(\angle ADE\) (yani \(\angle B\)) karşısında \(AE\) ve \(AC\). \(\angle AED\) (yani \(\angle C\)) karşısında \(AD\) ve \(AB\). Benzerlik oranı: \[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \]
• Verilenler: \(AD=3\), \(AE=4\), \(BC=12\). \(AB\) isteniyor. \[ \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \] \[ \frac{3}{AB} = \frac{DE}{12} \] Bu da \(DE\) bilinmediği için işe yaramaz.
• Soruda bir bilgi eksikliği var gibi görünüyor. Eğer \(AC\) uzunluğu verilseydi veya \(DE\) uzunluğu verilseydi çözülebilirdi. Ancak, genellikle bu tür sorularda ortak açı (A) ve verilen açı eşitliği (\(\angle ADE = \angle ABC\)) ile benzerlik kurulur ve kenarların oranları kullanılır. Eğer soruyu "AC kenarı üzerinde D, AB kenarı üzerinde E noktası" olarak değiştirseydik, o zaman \(\angle A\) ortak ve \(\angle ADE = \angle ABC\) ile \(\triangle ADE \sim \triangle ABC\) benzerliği oluşurdu ve oranlar \(AD/AB = AE/AC = DE/BC\) olurdu.
• Mevcut haliyle, \(AD=3\), \(AE=4\), \(BC=12\) ve \(\angle ADE = \angle ABC\) bilgileriyle \(AB\) kenarını bulmak için yeterli bilgi yok. Eğer soruyu şu şekilde yorumlarsak: \(\triangle ADE\) ve \(\triangle ABC\) benzerdir ve \(\angle A\) ortak açıdır. O zaman \(AD\) kenarı \(AB\) kenarının karşılığı, \(AE\) kenarı \(AC\) kenarının karşılığıdır. Bu durumda: \[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \] Verilenler: \(AD=3\), \(AE=4\), \(BC=12\). \(AB\) isteniyor. Bu durumda, \(AD\) ve \(AE\) aynı üçgenin kenarları, \(AB\) ve \(AC\) de diğer üçgenin kenarları. Ancak, \(\angle ADE = \angle ABC\) verilmiş. Bu, \(\angle D\) açısının \(\angle B\) açısına eşit olduğu anlamına gelir. Yani, \(\triangle ADE\) ve \(\triangle ABC\) üçgenlerinde: \(\angle A\) (ortak açı) \(\angle ADE = \angle ABC\) (verilen) Bu durumda üçüncü açılar da eşit olur: \(\angle AED = \angle ACB\). Dolayısıyla, benzerlik yazımı \(\triangle ADE \sim \triangle ABC\) doğrudur. Kenarların oranları ise: \[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \] Bu durumda \(AD=3\), \(AE=4\), \(BC=12\). Bizden \(AB\) isteniyor. Eğer \(AC\) biliniyor olsaydı, \(AB = AD \times (AC/AE)\) ile bulunabilirdi. Eğer \(DE\) biliniyor olsaydı, \(AB = AD \times (BC/DE)\) ile bulunabilirdi. Bu haliyle çözülemez.
• Düzeltme: Soruyu 9. sınıf müfredatına uygun ve çözülebilir hale getirelim. Varsayalım ki, \(AB = 9\) cm olarak verilmiş olsun ve \(AD\) isteniyor. Ya da \(AC\) verilsin. En yaygın haliyle, bu tür sorularda ya ortak açı ile birlikte iki kenarın oranı verilir (KAK) ya da iki açı eşitliği verilir (AA). Mevcut haliyle \(\angle ADE = \angle ABC\) ve \(\angle A\) ortak, bu AA benzerliği için yeterli. Ama verilen kenarlar \(AD=3\), \(AE=4\), \(BC=12\). Bu durumda \(AD\) kenarı \(\angle AED\) açısının karşısı, \(AE\) kenarı \(\angle ADE\) açısının karşısı. \(BC\) kenarı \(\angle BAC\) açısının karşısı. Yani: \[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \] Bu oranlar arasında \(AD\) ve \(AE\) küçük üçgenin kenarları, \(AB\) ve \(AC\) büyük üçgenin kenarları. Bu durumda, \(AD=3\), \(AE=4\), \(BC=12\). \(AB\) isteniyor. Eğer \(AC\) verilseydi, \(AB\) bulunabilirdi. Eğer \(DE\) verilseydi, \(AB\) bulunabilirdi. Bu soruda bir eksiklik var.
• Yeni Soru Metni ve Çözüm Yaklaşımı: Varsayalım ki soru şöyle olmalıydı: "Bir \(ABC\) üçgeninde, \(AC\) kenarı üzerinde bir \(D\) noktası ve \(BC\) kenarı üzerinde bir \(E\) noktası işaretlenmiştir. Eğer \(\angle ADE = \angle ABC\), \(AD = 3\) cm, \(AB = 9\) cm ve \(BC = 12\) cm ise, \(DE\) kenarının uzunluğu kaç cm'dir?" Bu durumda: \(\triangle ADE \sim \triangle ABC\) (AA Benzerliği) \[ \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \] \[ \frac{3}{9} = \frac{DE}{12} \] \[ \frac{1}{3} = \frac{DE}{12} \] \(3 \times DE = 12\)
  \(DE = 4\) cm. Bu daha mantıklı bir problem.
• Orijinal Soruya Dönelim ve Çözmeye Çalışalım: "Bir \(ABC\) üçgeninde, \(AC\) kenarı üzerinde bir \(D\) noktası ve \(BC\) kenarı üzerinde bir \(E\) noktası işaretlenmiştir. Eğer \(\angle ADE = \angle ABC\), \(AD = 3\) cm, \(AE = 4\) cm ve \(BC = 12\) cm ise, \(AB\) kenarının uzunluğu kaç cm'dir?" Bu haliyle çözülemez. Sanırım \(AE\) yerine \(AC\) veya \(DE\) verilmesi gerekiyordu. Ya da \(AD\) yerine \(AB\), \(AE\) yerine \(AC\) verilip \(DE\) istenebilir. Müfredat dahilinde çözülebilir bir örnek olması için, \(AC\) kenarı üzerinde \(D\) noktası ve \(AB\) kenarı üzerinde \(E\) noktası şeklinde bir hata payı ile soruyu yeniden kurgulayalım. Yeni metin: Bir \(ABC\) üçgeninde, \(AC\) kenarı üzerinde bir \(D\) noktası ve \(AB\) kenarı üzerinde bir \(E\) noktası işaretlenmiştir. Eğer \(\angle ADE = \angle ABC\), \(AD = 3\) cm, \(AE = 4\) cm ve \(BC = 12\) cm ise, \(DE\) uzunluğu kaç cm'dir? Bu durumda: \(\triangle ADE\) ve \(\triangle ABC\) üçgenlerinde: \(\angle A\) ortak açı.
  \(\angle ADE = \angle ABC\) (verilen).
  Bu durumda \(\triangle ADE \sim \triangle ABC\) (AA Benzerliği). Benzerlik oranı kenarlar arasında kurulur: \[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \] Verilenler: \(AD = 3\), \(AE = 4\), \(BC = 12\). \(DE\) isteniyor. Burada \(AD\) ve \(AE\) küçük üçgenin kenarları, \(AB\) ve \(AC\) büyük üçgenin kenarları. Yine bir eksiklik var. \(AD\) ve \(AE\) aynı üçgenin kenarları, ama \(AB\) ve \(AC\) büyük üçgenin. Bu durumda \(AD\) ve \(AE\) birbirine karşılık gelmez. \(\angle A\) karşısında \(DE\) ve \(BC\). \(\angle ADE\) karşısında \(AE\) ve \(AC\). \(\angle AED\) karşısında \(AD\) ve \(AB\). Yani, oranlar: \[ \frac{DE}{BC} = \frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB} \] Verilenler: \(AD=3\), \(AE=4\), \(BC=12\). \(AB\) isteniyor. Buradan \(AD/AB\) ve \(DE/BC\) oranlarını kullanmalıyız. Ancak \(DE\) bilinmiyor. Ya da \(AE/AC\) oranını kullanmalıyız. Ancak \(AC\) bilinmiyor. Sonuç olarak, orijinal soruda verilen bilgilerle \(AB\) uzunluğunu bulmak mümkün değil. Soruyu çözülebilir ve 9. sınıf seviyesine uygun hale getirmek için, bir kenar daha verilmesi veya \(AE\) yerine \(AC\) verilmesi gerekir. En basit çözüm için soruyu değiştiriyorum:

Düzeltilmiş Soru Metni: Bir \(ABC\) üçgeninde, \(AC\) kenarı üzerinde bir \(D\) noktası ve \(AB\) kenarı üzerinde bir \(E\) noktası işaretlenmiştir. Eğer \(\angle ADE = \angle ABC\), \(AD = 4\) cm, \(AE = 5\) cm ve \(AB = 10\) cm ise, \(AC\) kenarının uzunluğu kaç cm'dir?

Çözüm:

• 📌 \(ADE\) üçgeni ile \(ABC\) üçgenini inceleyelim.
  • \(\angle A\) açısı hem \(ADE\) üçgeninin hem de \(ABC\) üçgeninin ortak açısıdır.
  • Soruda \(\angle ADE = \angle ABC\) olduğu verilmiştir.
• 👉 İki açısı eşit olan üçgenlerin üçüncü açıları da eşit olacağından, \(ADE\) üçgeni ile \(ABC\) üçgeni benzerdir.
• ✅ Dolayısıyla, \(\triangle ADE \sim \triangle ABC\) benzerliği vardır.
• Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir. Açıların karşısındaki kenarları eşleştirerek oranları yazalım: \(\angle A\) açısının karşısındaki kenarlar: \(DE\) ve \(BC\). \(\angle ADE\) (\(=\angle B\)) açısının karşısındaki kenarlar: \(AE\) ve \(AC\). \(\angle AED\) (\(=\angle C\)) açısının karşısındaki kenarlar: \(AD\) ve \(AB\). Bu durumda benzerlik oranı şöyledir: \[ \frac{DE}{BC} = \frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB} \]
• Verilen değerleri yerine yazalım: \(AD = 4\) cm
  \(AE = 5\) cm
  \(AB = 10\) cm
• \(AC\) uzunluğunu bulmak için uygun oranı seçelim: \[ \frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB} \] \[ \frac{5}{AC} = \frac{4}{10} \]
• İçler dışlar çarpımı yaparak denklemi çözelim: \(4 \times AC = 5 \times 10\)
  \(4 \times AC = 50\)
  \(AC = \frac{50}{4}\)
  \(AC = 12.5\) cm

Sonuç olarak, \(AC\) uzunluğu \(12.5\) cm'dir. ✅

• 📌 \(AB // DC\) olduğu için, \(ABE\) üçgeni ile \(CDE\) üçgeni benzerdir.
• 👉 Bunun nedeni:
  • \(\angle AEB\) ve \(\angle CED\) açıları ters açılar olduğu için birbirine eşittir.
  • \(AB // DC\) olduğundan, iç ters açılar birbirine eşittir: \(\angle BAE = \angle DCE\) ve \(\angle ABE = \angle CDE\).
• ✅ Dolayısıyla, \(\triangle ABE \sim \triangle CDE\) benzerliği vardır.
• Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir. Açıların sırasına dikkat ederek oranları yazalım: \[ \frac{AB}{CD} = \frac{AE}{CE} = \frac{BE}{DE} \]
• Verilen değerleri yerine yazalım: \(AB = 9\) cm
  \(DC = 6\) cm
  \(AE = 12\) cm
• \(EC\) uzunluğunu bulmak için uygun oranı kullanalım: \[ \frac{AB}{CD} = \frac{AE}{CE} \] \[ \frac{9}{6} = \frac{12}{CE} \]
• Oranı sadeleştirelim ve içler dışlar çarpımı yapalım: \[ \frac{3}{2} = \frac{12}{CE} \] \(3 \times CE = 2 \times 12\)
  \(3 \times CE = 24\)
  \(CE = \frac{24}{3}\)
  \(CE = 8\) cm

Sonuç olarak, \(EC\) uzunluğu \(8\) cm'dir. ✅

• 📌 Merdiven, duvar ve yer bir dik üçgen oluşturur. Bu üçgene \(\triangle ABC\) diyelim.
  • \(A\) merdivenin tepesi (pencere hizası), \(B\) merdivenin ayağının yerdeki noktası, \(C\) ise duvarın yerle birleştiği nokta olsun.
  • Bu durumda \(\angle C = 90^\circ\) olur.
  • \(AC\) (duvardaki yükseklik) = \(6\) metre.
  • \(BC\) (duvardan uzaklık) = \(3\) metre.
• 👉 Güvenlik bandı merdivenin tam ortasına yapıştırıldığına göre, merdivenin uzunluğunun yarısı kadar uzaktadır. Merdivenin ayağından güvenlik bandına kadar olan kısım, büyük üçgenin hipotenüsünün yarısıdır.
• Bu noktaya \(D\) diyelim. \(D\) noktasından yere dik inen doğru parçasının yerle kesiştiği nokta \(E\) olsun. Bu durumda \(\triangle DBE\) üçgeni oluşur. Bu \(\triangle DBE\) üçgeni ile \(\triangle ABC\) üçgeni benzerdir.
  • \(\angle B\) açısı her iki üçgenin ortak açısıdır.
  • \(\angle DEB = \angle ACB = 90^\circ\) (Yöndeş açılar veya diklik).
• ✅ Dolayısıyla, \(\triangle DBE \sim \triangle ABC\) benzerliği vardır.
• Güvenlik bandı merdivenin tam ortasında olduğu için, merdivenin ayağından bandın bulunduğu noktaya kadar olan uzaklık (yani \(BD\)) merdivenin toplam uzunluğunun (\(BA\)) yarısıdır. Yani, benzerlik oranı \(k = \frac{BD}{BA} = \frac{1}{2}\) dir.
• Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları benzerlik oranına eşittir. Güvenlik bandının yerden yüksekliği \(DE\) uzunluğudur. Bu, \(AC\) kenarının karşılığıdır. \[ \frac{DE}{AC} = \frac{BD}{BA} \] \[ \frac{DE}{6} = \frac{1}{2} \]
• Denklemi çözelim: \(2 \times DE = 6 \times 1\)
  \(2 \times DE = 6\)
  \(DE = \frac{6}{2}\)
  \(DE = 3\) metre

Sonuç olarak, güvenlik bandının yerden yüksekliği \(3\) metredir. ✅

• 📌 Ayşe'nin boyu, gölge boyu ve güneş ışınları bir dik üçgen oluşturur. Bu üçgene \(\triangle A_1B_1C_1\) diyelim.
  • \(A_1\) Ayşe'nin başı, \(B_1\) Ayşe'nin ayaklarının yeri, \(C_1\) gölgenin bittiği nokta olsun.
  • Ayşe'nin boyu (\(A_1B_1\)) = \(1.8\) m.
  • Ayşe'nin gölge boyu (\(B_1C_1\)) = \(2.7\) m.
  • \(\angle B_1 = 90^\circ\) (Ayşe yere dik duruyor).
• 👉 Ağacın boyu, gölge boyu ve güneş ışınları da başka bir dik üçgen oluşturur. Bu üçgene \(\triangle A_2B_2C_2\) diyelim.
  • \(A_2\) ağacın tepesi, \(B_2\) ağacın kökünün yeri, \(C_2\) ağacın gölgesinin bittiği nokta olsun.
  • Ağacın gölge boyu (\(B_2C_2\)) = \(9\) m.
  • \(\angle B_2 = 90^\circ\) (Ağaç yere dik duruyor).
• Güneş ışınlarının geliş açısı aynı olduğu için, \(\angle C_1 = \angle C_2\) olacaktır.
• ✅ Dolayısıyla, \(\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle A_2B_2C_2\) (Açı-Açı Benzerliği) benzerliği vardır.
• Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir: \[ \frac{\text{Ayşe'nin boyu}}{\text{Ağacın boyu}} = \frac{\text{Ayşe'nin gölge boyu}}{\text{Ağacın gölge boyu}} \] \[ \frac{1.8}{\text{Ağacın boyu}} = \frac{2.7}{9} \]
• Denklemi çözelim: \(2.7 \times \text{Ağacın boyu} = 1.8 \times 9\)
  \(2.7 \times \text{Ağacın boyu} = 16.2\)
  \(\text{Ağacın boyu} = \frac{16.2}{2.7}\)
  \(\text{Ağacın boyu} = 6\) metre

Sonuç olarak, ağacın boyu \(6\) metredir. ✅

• 📌 \(\triangle ADE\) ve \(\triangle ABC\) üçgenlerini inceleyelim.
  • \(\angle A\) açısı her iki üçgen için de ortak açıdır ve \(60^\circ\) olarak verilmiştir.
  • Kenar oranlarını kontrol edelim: \[ \frac{AD}{AB} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \] \[ \frac{AE}{AC} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \]
• 👉 Görüldüğü gibi, iki kenar uzunluğu orantılıdır (\(1/2\)) ve bu kenarlar arasındaki açı (\(\angle A\)) ortaktır (eşit).
• ✅ Dolayısıyla, \(\triangle ADE \sim \triangle ABC\) (KAK Benzerliği) benzerliği vardır ve benzerlik oranı \(k = \frac{1}{2}\) dir.
• Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları benzerlik oranına eşittir. \(\angle A\) açısının karşısındaki kenarlar \(DE\) ve \(BC\) olduğu için, bu kenarların oranı da benzerlik oranına eşit olacaktır: \[ \frac{DE}{BC} = k \] \[ \frac{DE}{BC} = \frac{1}{2} \]
• Bu durumda, \(DE\) uzunluğu, \(BC\) uzunluğunun yarısıdır. \(DE = \frac{1}{2} \times BC\)

Sonuç olarak, \(DE\) uzunluğu \(BC\) uzunluğunun \(\frac{1}{2}\) katıdır. ✅

• 📌 \(DE // AB\) olduğu için, \(\triangle CDE\) üçgeni ile \(\triangle CAB\) üçgeni benzerdir.
• 👉 Bunun nedeni:
  • \(\angle C\) açısı hem \(\triangle CDE\) üçgeninin hem de \(\triangle CAB\) üçgeninin ortak açısıdır.
  • \(DE // AB\) olduğundan, yöndeş açılar birbirine eşittir: \(\angle CDE = \angle CBA\) ve \(\angle CED = \angle CAB\).
• ✅ Dolayısıyla, \(\triangle CDE \sim \triangle CAB\) benzerliği vardır.
• Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir. Açıların sırasına dikkat ederek oranları yazalım: \[ \frac{CD}{CB} = \frac{CE}{CA} = \frac{DE}{AB} \]
• Verilen değerleri yerine yazalım: \(CD = 4\) cm
  \(DB = 6\) cm, bu durumda \(CB = CD + DB = 4 + 6 = 10\) cm olur.
  \(AE = 5\) cm
• \(EC\) uzunluğunu bulmak için uygun oranı kullanalım: \[ \frac{CD}{CB} = \frac{CE}{CA} \] \[ \frac{4}{10} = \frac{CE}{CE + AE} \] \[ \frac{4}{10} = \frac{CE}{CE + 5} \]
• İçler dışlar çarpımı yaparak denklemi çözelim: \(4 \times (CE + 5) = 10 \times CE\)
  \(4 \times CE + 20 = 10 \times CE\)
  \(20 = 10 \times CE - 4 \times CE\)
  \(20 = 6 \times CE\)
  \(CE = \frac{20}{6}\)
  \(CE = \frac{10}{3}\) cm

Sonuç olarak, \(EC\) uzunluğu \(\frac{10}{3}\) cm'dir. ✅