🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Bir Üçgenden Hareketle Ona Benzer Üçgenler Oluşturma İle İlgili Yansıtma Yapabilme Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Bir Üçgenden Hareketle Ona Benzer Üçgenler Oluşturma İle İlgili Yansıtma Yapabilme Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde \( m(\widehat{A}) = 50^\circ \) ve \( m(\widehat{B}) = 70^\circ \) olarak veriliyor. Başka bir DEF üçgeninde ise \( m(\widehat{D}) = 50^\circ \) ve \( m(\widehat{E}) = 70^\circ \) olarak verilmiştir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını gerekçeleriyle açıklayınız. 🤔
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını gerekçeleriyle açıklayınız. 🤔
Çözüm:
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını anlamak için açılarına bakmamız yeterlidir. İşte adımlarımız:
- 👉 ABC Üçgeninin Açıları:
- \( m(\widehat{A}) = 50^\circ \)
- \( m(\widehat{B}) = 70^\circ \)
- Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, \( m(\widehat{C}) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \) olur.
- 👉 DEF Üçgeninin Açıları:
- \( m(\widehat{D}) = 50^\circ \)
- \( m(\widehat{E}) = 70^\circ \)
- Benzer şekilde, \( m(\widehat{F}) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \) olur.
- 💡 Benzerlik Kararı:
- Görüldüğü gibi, üçgenlerin karşılıklı açıları birbirine eşittir: \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) = 50^\circ \), \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) = 70^\circ \) ve \( m(\widehat{C}) = m(\widehat{F}) = 60^\circ \).
- Bu durum, Açı-Açı-Açı (AAA) Benzerlik Kuralı'na uyar.
- ✅ Sonuç olarak, ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir. Bu benzerliği \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) şeklinde gösterebiliriz.
Örnek 2:
Kenar uzunlukları 3 cm, 4 cm ve 5 cm olan bir ABC üçgeni ile kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 10 cm olan bir DEF üçgeni verilmiştir.
Bu iki üçgenin benzerlik oranını bulunuz. 📏
Bu iki üçgenin benzerlik oranını bulunuz. 📏
Çözüm:
İki üçgenin benzer olup olmadığını ve benzerlik oranını bulmak için karşılıklı kenarlarının oranına bakmamız gerekir.
- 📌 Kenar Uzunlukları:
- ABC üçgeni: \( |AB| = 3 \) cm, \( |BC| = 4 \) cm, \( |AC| = 5 \) cm.
- DEF üçgeni: \( |DE| = 6 \) cm, \( |EF| = 8 \) cm, \( |DF| = 10 \) cm.
- 👉 Karşılıklı Kenarların Oranları:
- En kısa kenarların oranı: \( \frac{|DE|}{|AB|} = \frac{6}{3} = 2 \)
- Orta uzunluktaki kenarların oranı: \( \frac{|EF|}{|BC|} = \frac{8}{4} = 2 \)
- En uzun kenarların oranı: \( \frac{|DF|}{|AC|} = \frac{10}{5} = 2 \)
- 💡 Benzerlik Oranı:
- Tüm karşılıklı kenar uzunlukları oranları birbirine eşit ve 2'dir. Bu durum, Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Kuralı'na uyar.
- ✅ Dolayısıyla, bu iki üçgen benzerdir ve benzerlik oranı \( k = 2 \)'dir. Eğer büyük üçgenin küçük üçgene benzerlik oranı sorulsaydı, oran \( \frac{1}{2} \) olurdu.
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 6 \) cm, \( |AC| = 8 \) cm ve \( m(\widehat{A}) = 60^\circ \) olarak verilmiştir. Bir DEF üçgeninde ise \( |DE| = 9 \) cm, \( |DF| = 12 \) cm ve \( m(\widehat{D}) = 60^\circ \) olarak verilmiştir.
Bu üçgenlerin benzer olup olmadığını ve benzerlik oranını inceleyiniz. 🧐
Bu üçgenlerin benzer olup olmadığını ve benzerlik oranını inceleyiniz. 🧐
Çözüm:
Bu üçgenlerin benzer olup olmadığını anlamak için Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Kuralı'nı kullanabiliriz.
- 📌 Verilenler:
- ABC Üçgeni: \( |AB| = 6 \) cm, \( |AC| = 8 \) cm, \( m(\widehat{A}) = 60^\circ \)
- DEF Üçgeni: \( |DE| = 9 \) cm, \( |DF| = 12 \) cm, \( m(\widehat{D}) = 60^\circ \)
- 👉 Açıların Karşılaştırılması:
- İki üçgende de aradaki açıların eşit olduğu görülüyor: \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) = 60^\circ \). Bu, KAK benzerliği için ilk şartı sağlar.
- 👉 Kenarların Oranlanması:
- Açıları çevreleyen kenarların oranına bakalım:
- \( \frac{|DE|}{|AB|} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \)
- \( \frac{|DF|}{|AC|} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \)
- 💡 Benzerlik Kararı:
- Karşılıklı kenarların oranları eşit (\( \frac{3}{2} \)) ve bu kenarlar arasındaki açılar da eşit (\( 60^\circ \)) olduğu için, bu iki üçgen KAK Benzerlik Kuralı'na göre benzerdir.
- ✅ Benzerlik oranı \( k = \frac{3}{2} \)'dir. Yani \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) benzerliği için benzerlik oranı \( \frac{2}{3} \), \( \triangle DEF \sim \triangle ABC \) benzerliği için ise \( \frac{3}{2} \) olarak ifade edilebilir.
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde, BC kenarına paralel olan bir DE doğru parçası çizilmiştir. D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası ise AC kenarı üzerindedir.
Eğer \( |AD| = 4 \) cm, \( |DB| = 2 \) cm ve \( |AE| = 6 \) cm ise, \( |EC| \) uzunluğunu bulunuz. 📐
Eğer \( |AD| = 4 \) cm, \( |DB| = 2 \) cm ve \( |AE| = 6 \) cm ise, \( |EC| \) uzunluğunu bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu problemde Temel Orantı Teoremi'ni (veya Tales Teoremi'ni) kullanarak çözüm yapacağız.
- 📌 Şekil Betimlemesi:
- Bir ABC üçgenimiz var.
- DE doğru parçası BC'ye paralel (\( DE \parallel BC \)).
- D, AB üzerinde; E, AC üzerinde.
- 👉 Benzer Üçgenleri Belirleme:
- \( DE \parallel BC \) olduğu için, yöndeş açılar eşittir:
- \( m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ABC}) \)
- \( m(\widehat{AED}) = m(\widehat{ACB}) \)
- A açısı her iki üçgende de ortak açıdır.
- Bu durumda, Açı-Açı (AA) Benzerlik Kuralı'na göre \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) benzerdir.
- \( DE \parallel BC \) olduğu için, yöndeş açılar eşittir:
- 💡 Temel Orantı Teoremi Uygulaması:
- Temel Orantı Teoremi'ne göre, paralel doğru parçası diğer iki kenarı orantılı böler. Yani:
- \( \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \)
- Verilen değerleri yerine koyalım: \( \frac{4}{2} = \frac{6}{|EC|} \)
- Bu denklemi çözelim: \( 2 = \frac{6}{|EC|} \)
- \( 2 \cdot |EC| = 6 \)
- \( |EC| = \frac{6}{2} \)
- ✅ Sonuç olarak, \( |EC| = 3 \) cm bulunur.
Örnek 5:
İki benzer üçgen olan \( \triangle KLM \) ve \( \triangle PRS \) verilmiştir. Benzerlik oranı \( k = \frac{2}{3} \) ve \( |KL| = 10 \) cm'dir.
Buna göre, \( |PR| \) kenarının uzunluğunu bulunuz. 🤔
Buna göre, \( |PR| \) kenarının uzunluğunu bulunuz. 🤔
Çözüm:
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları benzerlik oranına eşittir.
- 📌 Verilenler:
- \( \triangle KLM \sim \triangle PRS \)
- Benzerlik oranı \( k = \frac{|KL|}{|PR|} = \frac{|LM|}{|RS|} = \frac{|KM|}{|PS|} = \frac{2}{3} \)
- \( |KL| = 10 \) cm
- 👉 Kenar Uzunluğunu Bulma:
- Benzerlik oranını kullanarak ilgili kenarları oranlayalım:
- \( \frac{|KL|}{|PR|} = k \)
- \( \frac{10}{|PR|} = \frac{2}{3} \)
- Şimdi bu denklemi \( |PR| \) için çözelim:
- \( 2 \cdot |PR| = 10 \times 3 \)
- \( 2 \cdot |PR| = 30 \)
- \( |PR| = \frac{30}{2} \)
- ✅ Sonuç olarak, \( |PR| = 15 \) cm bulunur.
Örnek 6:
İki benzer üçgenin benzerlik oranı \( k = \frac{1}{2} \) olarak verilmiştir. Küçük üçgenin çevresi 15 cm ise, büyük üçgenin çevresini bulunuz. Ayrıca, küçük üçgenin alanı 20 \( \text{cm}^2 \) ise, büyük üçgenin alanını bulunuz. 🏞️
Çözüm:
Benzer üçgenlerde çevrelerin oranı benzerlik oranına, alanların oranı ise benzerlik oranının karesine eşittir.
- 📌 Verilenler:
- Benzerlik oranı \( k = \frac{1}{2} \) (Küçük üçgenin kenarının büyük üçgenin kenarına oranı).
- Küçük üçgenin çevresi (\( Ç_{küçük} \)) = 15 cm.
- Küçük üçgenin alanı (\( A_{küçük} \)) = 20 \( \text{cm}^2 \).
- 👉 Büyük Üçgenin Çevresini Bulma:
- Benzer üçgenlerde çevrelerin oranı benzerlik oranına eşittir:
- \( \frac{Ç_{küçük}}{Ç_{büyük}} = k \)
- \( \frac{15}{Ç_{büyük}} = \frac{1}{2} \)
- Denklemi çözelim: \( 1 \times Ç_{büyük} = 15 \times 2 \)
- ✅ Büyük üçgenin çevresi \( Ç_{büyük} = 30 \) cm'dir.
- 👉 Büyük Üçgenin Alanını Bulma:
- Benzer üçgenlerde alanların oranı benzerlik oranının karesine eşittir:
- \( \frac{A_{küçük}}{A_{büyük}} = k^2 \)
- \( \frac{A_{küçük}}{A_{büyük}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \)
- Verilen alanı yerine koyalım: \( \frac{20}{A_{büyük}} = \frac{1}{4} \)
- Denklemi çözelim: \( 1 \times A_{büyük} = 20 \times 4 \)
- ✅ Büyük üçgenin alanı \( A_{büyük} = 80 \) \( \text{cm}^2 \)'dir.
Örnek 7:
Güneşli bir günde, 1.8 metre boyundaki Ali'nin gölgesinin uzunluğu 2.4 metre olarak ölçülmüştür. Aynı anda, Ali'den biraz uzakta bulunan bir ağacın gölgesinin uzunluğu ise 12 metre olarak ölçülmüştür.
Buna göre, ağacın boyu kaç metredir? ☀️🌳
Buna göre, ağacın boyu kaç metredir? ☀️🌳
Çözüm:
Bu tür gölge problemleri, benzer üçgenler prensibi kullanılarak çözülür. Güneş ışınları aynı açıyla geldiği için, Ali ve ağacın oluşturduğu dik üçgenler benzer olacaktır.
- 📌 Şekil ve Benzer Üçgenlerin Tanımlanması:
- Ali'nin boyu, gölgesi ve güneş ışınları bir dik üçgen oluşturur.
- Ağacın boyu, gölgesi ve güneş ışınları da başka bir dik üçgen oluşturur.
- Güneş ışınlarının yere düşme açısı aynı olduğundan, bu iki dik üçgenin birer açısı (güneş açısı) eşittir. Ayrıca, hem Ali hem de ağaç yere dik durduğu için diğer bir açıları da (yerle yaptıkları açı) \( 90^\circ \) 'dir.
- Bu durumda, Açı-Açı (AA) Benzerlik Kuralı'na göre bu iki üçgen benzerdir.
- 👉 Verilenler:
- Ali'nin boyu = 1.8 m
- Ali'nin gölge boyu = 2.4 m
- Ağacın gölge boyu = 12 m
- Ağacın boyu = \( x \) (bulmak istediğimiz değer)
- 💡 Orantı Kurma:
- Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar orantılıdır. Yani, boyların oranı gölge boylarının oranına eşit olacaktır:
- \( \frac{\text{Ali'nin boyu}}{\text{Ağacın boyu}} = \frac{\text{Ali'nin gölge boyu}}{\text{Ağacın gölge boyu}} \)
- \( \frac{1.8}{x} = \frac{2.4}{12} \)
- 👉 Denklemi Çözme:
- Çapraz çarpım yaparak \( x \)'i bulalım:
- \( 2.4 \times x = 1.8 \times 12 \)
- \( 2.4x = 21.6 \)
- \( x = \frac{21.6}{2.4} \)
- \( x = \frac{216}{24} \)
- ✅ Sonuç olarak, ağacın boyu \( x = 9 \) metre'dir.
Örnek 8:
Bir mimar, yapacağı bir binanın maketini, gerçek boyutlarının \( \frac{1}{50} \)'i oranında küçülterek hazırlamıştır. Maket üzerindeki binanın yüksekliği 40 cm olarak ölçülmüştür.
Buna göre, inşa edilecek gerçek binanın yüksekliği kaç metredir? 🏢📏
Buna göre, inşa edilecek gerçek binanın yüksekliği kaç metredir? 🏢📏
Çözüm:
Mimarlık ve mühendislikte maketler, gerçek yapıların küçültülmüş benzerleridir. Buradaki küçültme oranı, aslında bir benzerlik oranıdır.
- 📌 Benzerlik Oranı ve Ölçek:
- Maket ile gerçek bina arasındaki benzerlik oranı (ölçek) \( k = \frac{1}{50} \) olarak verilmiştir.
- Bu oran, maket üzerindeki bir uzunluğun gerçekteki karşılığına oranıdır.
- 👉 Verilenler:
- Benzerlik oranı \( k = \frac{\text{Maket yüksekliği}}{\text{Gerçek yükseklik}} = \frac{1}{50} \)
- Maket üzerindeki binanın yüksekliği = 40 cm
- Gerçek binanın yüksekliği = \( x \) (bulmak istediğimiz değer)
- 💡 Orantı Kurma:
- Verilenleri benzerlik oranına yerleştirelim:
- \( \frac{40 \text{ cm}}{x} = \frac{1}{50} \)
- 👉 Denklemi Çözme:
- Çapraz çarpım yaparak \( x \)'i bulalım:
- \( 1 \times x = 40 \times 50 \)
- \( x = 2000 \) cm
- 👉 Birim Dönüşümü:
- Soruda gerçek yüksekliğin metre cinsinden istendiğine dikkat edelim.
- 1 metre = 100 cm olduğundan, 2000 cm'yi metreye çevirelim:
- \( 2000 \text{ cm} = \frac{2000}{100} \text{ metre} = 20 \text{ metre} \)
- ✅ Sonuç olarak, inşa edilecek gerçek binanın yüksekliği 20 metredir.
Örnek 9:
Fotoğrafçılıkta, bir nesnenin fotoğraf makinesi sensörü üzerindeki görüntüsü ile gerçek nesne arasında bir benzerlik ilişkisi vardır. Bir fotoğrafçı, 3 metre yüksekliğindeki bir anıtın fotoğrafını çekiyor.
Eğer anıtın fotoğraf makinesi sensörü üzerindeki görüntüsünün yüksekliği 6 cm ise, bu fotoğraf makinesinin ölçeklendirme oranı (benzerlik oranı) nedir? 📸
Eğer anıtın fotoğraf makinesi sensörü üzerindeki görüntüsünün yüksekliği 6 cm ise, bu fotoğraf makinesinin ölçeklendirme oranı (benzerlik oranı) nedir? 📸
Çözüm:
Fotoğrafçılıkta objektifler, gerçek dünyadaki nesnelerin küçültülmüş ve benzer görüntülerini sensör üzerine düşürür. Bu durum, benzer üçgenler prensibiyle açıklanabilir.
- 📌 Verilenler:
- Gerçek anıtın yüksekliği = 3 metre
- Sensördeki görüntünün yüksekliği = 6 cm
- 👉 Birimleri Eşitleme:
- Ölçeklendirme oranını bulmak için her iki değeri de aynı birime çevirmemiz gerekir. Metreyi santimetreye çevirelim:
- 1 metre = 100 cm olduğundan, 3 metre = \( 3 \times 100 = 300 \) cm.
- 💡 Ölçeklendirme Oranını Bulma:
- Ölçeklendirme oranı (benzerlik oranı), görüntünün boyutunun gerçek nesnenin boyutuna oranıdır:
- \( k = \frac{\text{Görüntü yüksekliği}}{\text{Gerçek anıt yüksekliği}} \)
- \( k = \frac{6 \text{ cm}}{300 \text{ cm}} \)
- Bu kesri sadeleştirelim:
- \( k = \frac{6 \div 6}{300 \div 6} = \frac{1}{50} \)
- ✅ Sonuç olarak, bu fotoğraf makinesinin ölçeklendirme oranı (benzerlik oranı) \( \frac{1}{50} \)'dir. Yani, gerçek anıtın her 50 cm'si sensörde 1 cm olarak görüntülenir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-bir-ucgenden-hareketle-ona-benzer-ucgenler-olusturma-ile-ilgili-yansitma-yapabilme/sorular