💡 9. Sınıf Matematik: Bir bilinmeyenli denklemler Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Aşağıdaki denklemi çözerek x değerini bulunuz:
\( 3x + 5 = 17 \)
Çözüm ve Açıklama
Bu tür denklemleri çözerken amacımız bilinmeyeni (x) yalnız bırakmaktır. İşte adım adım çözüm:
Adım 1: Sabit terimi (5) eşitliğin diğer tarafına atın. Karşıya geçerken işareti değişir.
\( 3x = 17 - 5 \)
Adım 2: Sağ tarafı hesaplayın.
\( 3x = 12 \)
Adım 3: x'in katsayısı olan 3'e her iki tarafı bölün.
\( x = \frac{12}{3} \)
Adım 4: Bölme işlemini yapın.
\( x = 4 \)
✅ Sonuç: Denklemin çözümü \( x = 4 \) 'tür.
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Verilen denklemde y'nin değerini bulunuz:
\( 5(y - 2) = 2y + 8 \)
Çözüm ve Açıklama
Bu denklemde parantezli ifade olduğu için önce dağılma özelliğini kullanmalıyız.
Adım 1: Parantezin içini sol taraftaki 5 ile çarpın (dağılma özelliği).
\( 5y - 10 = 2y + 8 \)
Adım 2: y'li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayın. Küçük olan y'li terimi diğer tarafa atalım.
\( 5y - 2y = 8 + 10 \)
Adım 3: Her iki tarafı sadeleştirin.
\( 3y = 18 \)
Adım 4: y'yi yalnız bırakmak için her iki tarafı 3'e bölün.
\( y = \frac{18}{3} \)
Adım 5: Bölme işlemini yapın.
\( y = 6 \)
💡 İpucu: Denklem çözümlerinde bilinmeyeni ve sabit terimleri doğru taraflara toplamak önemlidir.
✅ Sonuç: Denklemin çözümü \( y = 6 \) 'dır.
3
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir manav, elindeki limonların 3 fazlasının 2 katının 10 TL'ye satıldığını biliyor. Buna göre manavın elinde kaç limon olduğunu bulalım. Limonların tanesi 1 TL'den satılıyor olsun.
Çözüm ve Açıklama
Bu problemi bir bilinmeyenli denklem kurarak çözebiliriz. Limon sayısını \( x \) ile gösterelim.
Adım 1: Problemi matematiksel bir ifadeye dökelim. Limonların 3 fazlası \( x + 3 \) olur.
Adım 2: Bunun 2 katı \( 2(x + 3) \) olur.
Adım 3: Bu ifadenin 10 TL'ye satıldığı söyleniyor, yani denklemimiz şu şekilde kurulur:
\( 2(x + 3) = 10 \)
Adım 4: Şimdi bu denklemi çözelim. Önce parantezi dağıtalım.
\( 2x + 6 = 10 \)
Adım 5: Sabit terimi karşıya atalım.
\( 2x = 10 - 6 \)
\( 2x = 4 \)
Adım 6: x'i yalnız bırakmak için her iki tarafı 2'ye bölelim.
\( x = \frac{4}{2} \)
\( x = 2 \)
✅ Sonuç: Manavın elinde başlangıçta 2 limon varmış.
4
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir sınıftaki kız öğrenci sayısı, erkek öğrenci sayısının 2 katından 5 eksiktir. Sınıfta toplam 25 öğrenci olduğuna göre, bu sınıftaki erkek öğrenci sayısı kaçtır?
Çözüm ve Açıklama
Bu soruyu çözmek için denklem kurmalıyız. Erkek öğrenci sayısını \( e \) ile gösterelim.
Adım 1: Kız öğrenci sayısı, erkek öğrenci sayısının 2 katından 5 eksik olduğuna göre, kız öğrenci sayısı \( 2e - 5 \) olur.
Adım 2: Sınıftaki toplam öğrenci sayısı, erkek öğrenci sayısı ile kız öğrenci sayısının toplamıdır. Bu toplam 25'tir.
\( e + (2e - 5) = 25 \)
Adım 3: Denklemi sadeleştirelim.
\( 3e - 5 = 25 \)
Adım 4: Sabit terimi karşıya atalım.
\( 3e = 25 + 5 \)
\( 3e = 30 \)
Adım 5: e'yi bulmak için her iki tarafı 3'e bölelim.
\( e = \frac{30}{3} \)
\( e = 10 \)
👉 Kontrol edelim: Erkek öğrenci sayısı 10 ise, kız öğrenci sayısı \( 2 \times 10 - 5 = 20 - 5 = 15 \) olur. Toplam öğrenci sayısı \( 10 + 15 = 25 \). Doğru!
✅ Sonuç: Sınıftaki erkek öğrenci sayısı 10'dur.
5
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Aşağıdaki denklemde bilinmeyen \( z \) değerini bulunuz:
\( \frac{z}{4} - 3 = 1 \)
Çözüm ve Açıklama
Kesirli ifadeler içeren denklemleri çözerken adımları dikkatli takip etmek önemlidir.
Adım 1: Sabit terimi \( -3 \) eşitliğin sağ tarafına atın. İşareti değişecektir.
\( \frac{z}{4} = 1 + 3 \)
Adım 2: Sağ tarafı hesaplayın.
\( \frac{z}{4} = 4 \)
Adım 3: z'yi yalnız bırakmak için her iki tarafı 4 ile çarpın.
\( z = 4 \times 4 \)
Adım 4: Çarpma işlemini yapın.
\( z = 16 \)
✅ Sonuç: Denklemin çözümü \( z = 16 \) 'dır.
6
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir mağaza, bir gömleğin fiyatı üzerinden önce %20 indirim yapıyor, ardından indirimli fiyat üzerinden 15 TL daha indirim uyguluyor. Gömleğin son satış fiyatı 85 TL olduğuna göre, ilk fiyatı kaç TL idi?
Çözüm ve Açıklama
Bu problemi tersten giderek ve denklem kurarak çözebiliriz. Gömleğin ilk fiyatını \( F \) ile gösterelim.
Adım 1: Son satış fiyatı 85 TL. Bu fiyat, ilk indirimli fiyattan 15 TL düşüldükten sonra elde edilmiştir.
(İlk İndirimli Fiyat) - 15 = 85
Adım 2: İlk indirimli fiyatı bulalım.
İlk İndirimli Fiyat = 85 + 15
İlk İndirimli Fiyat = 100 TL
Adım 3: Bu 100 TL, gömleğin ilk fiyatı \( F \) üzerinden %20 indirim yapıldıktan sonraki fiyattır. Yani, ilk fiyatın %80'ine denk gelir.
\( F \times \frac{80}{100} = 100 \)
\( F \times \frac{4}{5} = 100 \)
Adım 4: F'yi bulmak için her iki tarafı \( \frac{5}{4} \) ile çarpalım.
\( F = 100 \times \frac{5}{4} \)
\( F = \frac{500}{4} \)
\( F = 125 \)
💡 İpucu: Yüzdelerle ilgili sorularda, indirim yapıldıktan sonraki kalan yüzeyi (örneğin %20 indirim sonrası %80) kullanmak işleri kolaylaştırır.
✅ Sonuç: Gömleğin ilk fiyatı 125 TL idi.
7
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir baba, yaşının 3 katından 4 eksik olduğunu söyleyen oğluna, oğlunun yaşını soruyor. Eğer babanın yaşı 50 ise, oğlunun yaşı kaçtır?
Çözüm ve Açıklama
Bu durumu bir denklemle ifade edebiliriz. Oğlunun yaşını \( o \) ile gösterelim.
Adım 1: Babanın yaşı \( 3o - 4 \) olarak ifade edilir.
Adım 2: Babanın yaşının 50 olduğu biliniyor. O halde denklemimiz şudur:
\( 3o - 4 = 50 \)
Adım 3: Sabit terimi eşitliğin diğer tarafına atalım.
\( 3o = 50 + 4 \)
\( 3o = 54 \)
Adım 4: o'yu bulmak için her iki tarafı 3'e bölelim.
\( o = \frac{54}{3} \)
\( o = 18 \)
✅ Sonuç: Oğlunun yaşı 18'dir.
8
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir çiftçi, tarlasının önce \( \frac{1}{3} \) 'ünü domates, kalan kısmının ise \( \frac{1}{2} \) 'sini biber ekmiştir. Geriye 20 dönümlük boş alanı kaldığına göre, çiftçinin tarlasının toplam alanı kaç dönümdür?
Çözüm ve Açıklama
Bu problemi de adım adım denklem kurarak çözebiliriz. Tarlanın toplam alanını \( T \) ile gösterelim.
Adım 1: Domates ekilen alan: \( \frac{1}{3}T \)
Adım 2: Kalan alan: \( T - \frac{1}{3}T = \frac{2}{3}T \)
Adım 3: Kalan kısmın yarısı biber ekildiğine göre, biber ekilen alan: \( \frac{1}{2} \times \frac{2}{3}T = \frac{1}{3}T \)
Adım 4: Tarlanın ekilmeyen (boş kalan) kısmı: Toplam Alan - Domates Ekilen Alan - Biber Ekilen Alan
Boş Kalan Alan = \( T - \frac{1}{3}T - \frac{1}{3}T \)
Boş Kalan Alan = \( T - \frac{2}{3}T \)
Boş Kalan Alan = \( \frac{1}{3}T \)
Adım 5: Geriye 20 dönümlük boş alan kaldığı bilgisi verilmiş.
\( \frac{1}{3}T = 20 \)
Adım 6: T'yi bulmak için her iki tarafı 3 ile çarpalım.
\( T = 20 \times 3 \)
\( T = 60 \)
👉 Kontrol edelim: Toplam alan 60 dönüm. Domates ekilen: \( \frac{1}{3} \times 60 = 20 \) dönüm. Kalan: \( 60 - 20 = 40 \) dönüm. Biber ekilen: \( \frac{1}{2} \times 40 = 20 \) dönüm. Boş kalan: \( 40 - 20 = 20 \) dönüm. Doğru!
✅ Sonuç: Çiftçinin tarlasının toplam alanı 60 dönümdür.
9
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Aşağıdaki denklemde x'in değerini bulunuz:
\( \frac{x+1}{2} + \frac{x-1}{3} = \frac{5}{6} \)
Çözüm ve Açıklama
Kesirli ifadeler içeren bu tür denklemlerde, paydaları eşitleyerek çözüme ulaşabiliriz.
Adım 1: Denklemin paydaları 2, 3 ve 6'dır. Bu paydaların en küçük ortak katı (EKOK) 6'dır. Tüm terimleri 6 ile genişleterek paydaları eşitleyeceğiz.
Adım 3: Parantez içlerini dağılma özelliğini kullanarak çarpın.
\( 3x + 3 + 2x - 2 = 5 \)
Adım 4: x'li terimleri ve sabit terimleri kendi aralarında toplayın.
\( 5x + 1 = 5 \)
Adım 5: Sabit terimi karşıya atın.
\( 5x = 5 - 1 \)
\( 5x = 4 \)
Adım 6: x'i yalnız bırakmak için her iki tarafı 5'e bölün.
\( x = \frac{4}{5} \)
✅ Sonuç: Denklemin çözümü \( x = \frac{4}{5} \) 'tir.
9. Sınıf Matematik: Bir bilinmeyenli denklemler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki denklemi çözerek x değerini bulunuz:
\( 3x + 5 = 17 \)
Çözüm:
Bu tür denklemleri çözerken amacımız bilinmeyeni (x) yalnız bırakmaktır. İşte adım adım çözüm:
Adım 1: Sabit terimi (5) eşitliğin diğer tarafına atın. Karşıya geçerken işareti değişir.
\( 3x = 17 - 5 \)
Adım 2: Sağ tarafı hesaplayın.
\( 3x = 12 \)
Adım 3: x'in katsayısı olan 3'e her iki tarafı bölün.
\( x = \frac{12}{3} \)
Adım 4: Bölme işlemini yapın.
\( x = 4 \)
✅ Sonuç: Denklemin çözümü \( x = 4 \) 'tür.
Örnek 2:
Verilen denklemde y'nin değerini bulunuz:
\( 5(y - 2) = 2y + 8 \)
Çözüm:
Bu denklemde parantezli ifade olduğu için önce dağılma özelliğini kullanmalıyız.
Adım 1: Parantezin içini sol taraftaki 5 ile çarpın (dağılma özelliği).
\( 5y - 10 = 2y + 8 \)
Adım 2: y'li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayın. Küçük olan y'li terimi diğer tarafa atalım.
\( 5y - 2y = 8 + 10 \)
Adım 3: Her iki tarafı sadeleştirin.
\( 3y = 18 \)
Adım 4: y'yi yalnız bırakmak için her iki tarafı 3'e bölün.
\( y = \frac{18}{3} \)
Adım 5: Bölme işlemini yapın.
\( y = 6 \)
💡 İpucu: Denklem çözümlerinde bilinmeyeni ve sabit terimleri doğru taraflara toplamak önemlidir.
✅ Sonuç: Denklemin çözümü \( y = 6 \) 'dır.
Örnek 3:
Bir manav, elindeki limonların 3 fazlasının 2 katının 10 TL'ye satıldığını biliyor. Buna göre manavın elinde kaç limon olduğunu bulalım. Limonların tanesi 1 TL'den satılıyor olsun.
Çözüm:
Bu problemi bir bilinmeyenli denklem kurarak çözebiliriz. Limon sayısını \( x \) ile gösterelim.
Adım 1: Problemi matematiksel bir ifadeye dökelim. Limonların 3 fazlası \( x + 3 \) olur.
Adım 2: Bunun 2 katı \( 2(x + 3) \) olur.
Adım 3: Bu ifadenin 10 TL'ye satıldığı söyleniyor, yani denklemimiz şu şekilde kurulur:
\( 2(x + 3) = 10 \)
Adım 4: Şimdi bu denklemi çözelim. Önce parantezi dağıtalım.
\( 2x + 6 = 10 \)
Adım 5: Sabit terimi karşıya atalım.
\( 2x = 10 - 6 \)
\( 2x = 4 \)
Adım 6: x'i yalnız bırakmak için her iki tarafı 2'ye bölelim.
\( x = \frac{4}{2} \)
\( x = 2 \)
✅ Sonuç: Manavın elinde başlangıçta 2 limon varmış.
Örnek 4:
Bir sınıftaki kız öğrenci sayısı, erkek öğrenci sayısının 2 katından 5 eksiktir. Sınıfta toplam 25 öğrenci olduğuna göre, bu sınıftaki erkek öğrenci sayısı kaçtır?
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için denklem kurmalıyız. Erkek öğrenci sayısını \( e \) ile gösterelim.
Adım 1: Kız öğrenci sayısı, erkek öğrenci sayısının 2 katından 5 eksik olduğuna göre, kız öğrenci sayısı \( 2e - 5 \) olur.
Adım 2: Sınıftaki toplam öğrenci sayısı, erkek öğrenci sayısı ile kız öğrenci sayısının toplamıdır. Bu toplam 25'tir.
\( e + (2e - 5) = 25 \)
Adım 3: Denklemi sadeleştirelim.
\( 3e - 5 = 25 \)
Adım 4: Sabit terimi karşıya atalım.
\( 3e = 25 + 5 \)
\( 3e = 30 \)
Adım 5: e'yi bulmak için her iki tarafı 3'e bölelim.
\( e = \frac{30}{3} \)
\( e = 10 \)
👉 Kontrol edelim: Erkek öğrenci sayısı 10 ise, kız öğrenci sayısı \( 2 \times 10 - 5 = 20 - 5 = 15 \) olur. Toplam öğrenci sayısı \( 10 + 15 = 25 \). Doğru!
✅ Sonuç: Sınıftaki erkek öğrenci sayısı 10'dur.
Örnek 5:
Aşağıdaki denklemde bilinmeyen \( z \) değerini bulunuz:
\( \frac{z}{4} - 3 = 1 \)
Çözüm:
Kesirli ifadeler içeren denklemleri çözerken adımları dikkatli takip etmek önemlidir.
Adım 1: Sabit terimi \( -3 \) eşitliğin sağ tarafına atın. İşareti değişecektir.
\( \frac{z}{4} = 1 + 3 \)
Adım 2: Sağ tarafı hesaplayın.
\( \frac{z}{4} = 4 \)
Adım 3: z'yi yalnız bırakmak için her iki tarafı 4 ile çarpın.
\( z = 4 \times 4 \)
Adım 4: Çarpma işlemini yapın.
\( z = 16 \)
✅ Sonuç: Denklemin çözümü \( z = 16 \) 'dır.
Örnek 6:
Bir mağaza, bir gömleğin fiyatı üzerinden önce %20 indirim yapıyor, ardından indirimli fiyat üzerinden 15 TL daha indirim uyguluyor. Gömleğin son satış fiyatı 85 TL olduğuna göre, ilk fiyatı kaç TL idi?
Çözüm:
Bu problemi tersten giderek ve denklem kurarak çözebiliriz. Gömleğin ilk fiyatını \( F \) ile gösterelim.
Adım 1: Son satış fiyatı 85 TL. Bu fiyat, ilk indirimli fiyattan 15 TL düşüldükten sonra elde edilmiştir.
(İlk İndirimli Fiyat) - 15 = 85
Adım 2: İlk indirimli fiyatı bulalım.
İlk İndirimli Fiyat = 85 + 15
İlk İndirimli Fiyat = 100 TL
Adım 3: Bu 100 TL, gömleğin ilk fiyatı \( F \) üzerinden %20 indirim yapıldıktan sonraki fiyattır. Yani, ilk fiyatın %80'ine denk gelir.
\( F \times \frac{80}{100} = 100 \)
\( F \times \frac{4}{5} = 100 \)
Adım 4: F'yi bulmak için her iki tarafı \( \frac{5}{4} \) ile çarpalım.
\( F = 100 \times \frac{5}{4} \)
\( F = \frac{500}{4} \)
\( F = 125 \)
💡 İpucu: Yüzdelerle ilgili sorularda, indirim yapıldıktan sonraki kalan yüzeyi (örneğin %20 indirim sonrası %80) kullanmak işleri kolaylaştırır.
✅ Sonuç: Gömleğin ilk fiyatı 125 TL idi.
Örnek 7:
Bir baba, yaşının 3 katından 4 eksik olduğunu söyleyen oğluna, oğlunun yaşını soruyor. Eğer babanın yaşı 50 ise, oğlunun yaşı kaçtır?
Çözüm:
Bu durumu bir denklemle ifade edebiliriz. Oğlunun yaşını \( o \) ile gösterelim.
Adım 1: Babanın yaşı \( 3o - 4 \) olarak ifade edilir.
Adım 2: Babanın yaşının 50 olduğu biliniyor. O halde denklemimiz şudur:
\( 3o - 4 = 50 \)
Adım 3: Sabit terimi eşitliğin diğer tarafına atalım.
\( 3o = 50 + 4 \)
\( 3o = 54 \)
Adım 4: o'yu bulmak için her iki tarafı 3'e bölelim.
\( o = \frac{54}{3} \)
\( o = 18 \)
✅ Sonuç: Oğlunun yaşı 18'dir.
Örnek 8:
Bir çiftçi, tarlasının önce \( \frac{1}{3} \) 'ünü domates, kalan kısmının ise \( \frac{1}{2} \) 'sini biber ekmiştir. Geriye 20 dönümlük boş alanı kaldığına göre, çiftçinin tarlasının toplam alanı kaç dönümdür?
Çözüm:
Bu problemi de adım adım denklem kurarak çözebiliriz. Tarlanın toplam alanını \( T \) ile gösterelim.
Adım 1: Domates ekilen alan: \( \frac{1}{3}T \)
Adım 2: Kalan alan: \( T - \frac{1}{3}T = \frac{2}{3}T \)
Adım 3: Kalan kısmın yarısı biber ekildiğine göre, biber ekilen alan: \( \frac{1}{2} \times \frac{2}{3}T = \frac{1}{3}T \)
Adım 4: Tarlanın ekilmeyen (boş kalan) kısmı: Toplam Alan - Domates Ekilen Alan - Biber Ekilen Alan
Boş Kalan Alan = \( T - \frac{1}{3}T - \frac{1}{3}T \)
Boş Kalan Alan = \( T - \frac{2}{3}T \)
Boş Kalan Alan = \( \frac{1}{3}T \)
Adım 5: Geriye 20 dönümlük boş alan kaldığı bilgisi verilmiş.
\( \frac{1}{3}T = 20 \)
Adım 6: T'yi bulmak için her iki tarafı 3 ile çarpalım.
\( T = 20 \times 3 \)
\( T = 60 \)
👉 Kontrol edelim: Toplam alan 60 dönüm. Domates ekilen: \( \frac{1}{3} \times 60 = 20 \) dönüm. Kalan: \( 60 - 20 = 40 \) dönüm. Biber ekilen: \( \frac{1}{2} \times 40 = 20 \) dönüm. Boş kalan: \( 40 - 20 = 20 \) dönüm. Doğru!
✅ Sonuç: Çiftçinin tarlasının toplam alanı 60 dönümdür.
Örnek 9:
Aşağıdaki denklemde x'in değerini bulunuz:
\( \frac{x+1}{2} + \frac{x-1}{3} = \frac{5}{6} \)
Çözüm:
Kesirli ifadeler içeren bu tür denklemlerde, paydaları eşitleyerek çözüme ulaşabiliriz.
Adım 1: Denklemin paydaları 2, 3 ve 6'dır. Bu paydaların en küçük ortak katı (EKOK) 6'dır. Tüm terimleri 6 ile genişleterek paydaları eşitleyeceğiz.