🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Benzerlik Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Benzerlik Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni benzerdir. \( m(\hat{A}) = m(\hat{D}) = 50^\circ \) ve \( m(\hat{B}) = m(\hat{E}) = 70^\circ \) olarak verilmiştir. Eğer \( |AB| = 6 \) cm, \( |BC| = 8 \) cm ve \( |DE| = 9 \) cm ise \( |EF| \) kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
- 📌 Benzer Üçgenleri Belirleme: Soruda ABC üçgeni ile DEF üçgeninin benzer olduğu ve karşılıklı açıların eşit olduğu verilmiştir. Bu durumda, \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) benzerliğini yazabiliriz.
- 👉 Benzerlik Oranını Kurma: Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir. Yani,
\[ \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{|AC|}{|DF|} \] - ✅ Verilenleri Yerine Yazma: Verilen uzunlukları bu orana yerleştirelim:
\[ \frac{6}{9} = \frac{8}{|EF|} \] - 💡 Denklemi Çözme: Orantıyı çözerek \( |EF| \) uzunluğunu bulalım.
\( 6 \cdot |EF| = 9 \cdot 8 \)
\( 6 \cdot |EF| = 72 \)
\( |EF| = \frac{72}{6} \)
\( |EF| = 12 \) cm'dir.
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde D noktası [AB] üzerinde, E noktası [AC] üzerindedir. [DE] doğru parçası [BC] doğru parçasına paraleldir. Eğer \( |AD| = 4 \) cm, \( |DB| = 6 \) cm ve \( |AE| = 3 \) cm ise \( |EC| \) uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
- 📌 Temel Orantı Teoremi: Bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı kestiği noktalardan orantılı olarak böler. Burada [DE] // [BC] olduğu için bu teoremi uygulayabiliriz.
- 👉 Orantıyı Kurma: Temel Orantı Teoremi'ne göre:
\[ \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \] - ✅ Verilenleri Yerine Yazma: Verilen uzunlukları orantıya yerleştirelim:
\[ \frac{4}{6} = \frac{3}{|EC|} \] - 💡 Denklemi Çözme: Orantıyı çözerek \( |EC| \) uzunluğunu bulalım.
\( 4 \cdot |EC| = 6 \cdot 3 \)
\( 4 \cdot |EC| = 18 \)
\( |EC| = \frac{18}{4} \)
\( |EC| = 4.5 \) cm'dir.
Örnek 3:
\( d_1, d_2, d_3 \) birbirine paralel üç doğru olsun. Bu doğruları kesen bir \( k_1 \) doğrusu üzerinde sırasıyla A, B, C noktaları, bir \( k_2 \) doğrusu üzerinde ise sırasıyla D, E, F noktaları bulunmaktadır. Eğer \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm ve \( |DE| = 10 \) cm ise \( |EF| \) uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
- 📌 Tales Teoremi (Paralel Doğrular): Paralel doğruları kesen iki doğru üzerinde oluşan doğru parçalarının oranları birbirine eşittir. Yani, \( d_1 // d_2 // d_3 \) ise:
\[ \frac{|AB|}{|BC|} = \frac{|DE|}{|EF|} \] - 👉 Verilenleri Yerine Yazma: Verilen uzunlukları orantıya yerleştirelim:
\[ \frac{5}{7} = \frac{10}{|EF|} \] - ✅ Denklemi Çözme: Orantıyı çözerek \( |EF| \) uzunluğunu bulalım.
\( 5 \cdot |EF| = 7 \cdot 10 \)
\( 5 \cdot |EF| = 70 \)
\( |EF| = \frac{70}{5} \)
\( |EF| = 14 \) cm'dir.
Örnek 4:
Bir ABC üçgeni ile bir KLM üçgeni benzerdir ve benzerlik oranı \( \frac{2}{3} \)tür. Eğer ABC üçgeninin çevresi 24 cm ise KLM üçgeninin çevresi kaç cm'dir?
Çözüm:
- 📌 Benzer Üçgenlerde Çevre Oranı: Benzer iki üçgenin çevreleri oranı, benzerlik oranına eşittir. Yani, eğer \( \triangle ABC \sim \triangle KLM \) ise ve benzerlik oranı \( k \) ise,
\[ \frac{\text{Çevre(ABC)}}{\text{Çevre(KLM)}} = k \] - 👉 Verilenleri Yerine Yazma: Benzerlik oranı \( k = \frac{2}{3} \) ve Çevre(ABC) = 24 cm olarak verilmiş. O halde:
\[ \frac{24}{\text{Çevre(KLM)}} = \frac{2}{3} \] - ✅ Denklemi Çözme: Orantıyı çözerek Çevre(KLM) değerini bulalım.
\( 2 \cdot \text{Çevre(KLM)} = 3 \cdot 24 \)
\( 2 \cdot \text{Çevre(KLM)} = 72 \)
\( \text{Çevre(KLM)} = \frac{72}{2} \)
\( \text{Çevre(KLM)} = 36 \) cm'dir.
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları \( |AB| = 4 \) cm, \( |BC| = 6 \) cm, \( |AC| = 8 \) cm'dir. Bir DEF üçgeninin kenar uzunlukları ise \( |DE| = 6 \) cm, \( |EF| = 9 \) cm, \( |DF| = 12 \) cm'dir. Bu iki üçgenin benzer olduğunu gösteriniz ve benzerlik oranını bulunuz.
Çözüm:
- 📌 K.K.K. Benzerlik Aksiyomu: İki üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ise bu üçgenler benzerdir.
- 👉 Kenar Oranlarını Hesaplama: Kenarları küçükten büyüğe doğru eşleştirerek oranlarını kontrol edelim:
\( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
\( \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)
\( \frac{|AC|}{|DF|} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \) - ✅ Benzerlik Kararı: Tüm karşılıklı kenarların oranları eşit ve \( \frac{2}{3} \) olduğundan, K.K.K. Benzerlik Aksiyomu'na göre \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) üçgenleri benzerdir.
- 💡 Benzerlik Oranı: Benzerlik oranı \( \frac{2}{3} \)tür.
Örnek 6:
Bir sokak lambasının direği üzerinde K noktasında yanan bir lamba bulunmaktadır. Lamba direğinin boyu \( |KL| = 6 \) metredir. Direkten 4 metre uzaklıkta duran Ali'nin boyu \( |AB| = 1.5 \) metredir. Ali'nin gölgesinin boyu \( |BC| \) kaç metredir?
(Not: L noktası direğin yerle birleştiği nokta, B noktası Ali'nin ayaklarının yeri, C noktası gölgesinin ucudur. K, A, C noktaları doğrusaldır.)
(Not: L noktası direğin yerle birleştiği nokta, B noktası Ali'nin ayaklarının yeri, C noktası gölgesinin ucudur. K, A, C noktaları doğrusaldır.)
Çözüm:
- 📌 Benzer Üçgenleri Bulma: Bu senaryoda iki benzer üçgen oluşur: Büyük üçgen \( \triangle KLC \) (Lamba direği, yer ve lambadan gölge ucuna çizilen doğru) ve küçük üçgen \( \triangle ABC \) (Ali'nin boyu, yer ve Ali'nin başından gölge ucuna çizilen doğru).
- 👉 Benzerlik Şartı (A.A. Benzerliği):
- \( m(\hat{C}) \) açısı her iki üçgende de ortak açıdır.
- \( m(\hat{L}) = 90^\circ \) (Lamba direği yere dik) ve \( m(\hat{B}) = 90^\circ \) (Ali yere dik duruyor).
- İki açısı eşit olan üçgenler benzerdir. Yani, \( \triangle ABC \sim \triangle KLC \).
- ✅ Benzerlik Oranını Kurma: Karşılıklı kenarların oranları eşittir:
\[ \frac{|AB|}{|KL|} = \frac{|BC|}{|LC|} \] - 💡 Verilenleri Yerine Yazma:
- \( |AB| = 1.5 \) m (Ali'nin boyu)
- \( |KL| = 6 \) m (Lamba direğinin boyu)
- \( |LC| = |LB| + |BC| = 4 + |BC| \) (Direkten Ali'ye olan uzaklık + Ali'nin gölgesi)
\[ \frac{1.5}{6} = \frac{|BC|}{4 + |BC|} \] - 🚀 Denklemi Çözme:
\( 1.5 \cdot (4 + |BC|) = 6 \cdot |BC| \)
\( 6 + 1.5 \cdot |BC| = 6 \cdot |BC| \)
\( 6 = 6 \cdot |BC| - 1.5 \cdot |BC| \)
\( 6 = 4.5 \cdot |BC| \)
\( |BC| = \frac{6}{4.5} = \frac{60}{45} = \frac{4}{3} \) metredir.
Örnek 7:
Öğle vakti 2 metre boyundaki bir kişinin gölge boyu 1.5 metre olarak ölçülmüştür. Aynı anda, aynı yerde bulunan bir ağacın gölge boyu ise 9 metre olarak ölçüldüğüne göre, ağacın boyu kaç metredir?
Çözüm:
- 📌 Fiziksel İlke ve Benzerlik: Güneş ışınları yeryüzüne paralel geldiği kabul edilir. Bu durumda, bir cismin boyu ile gölge boyu arasında benzerlik ilişkisi kurulabilir. Kişi ve ağaç, yere dik durdukları için yere dik açı yaparlar. Güneş ışınlarının geliş açısı aynı olduğu için oluşan üçgenler (cisim boyu, gölge boyu, güneş ışını) benzerdir (A.A. benzerliği).
- 👉 Benzerlik Oranını Kurma: \[ \frac{\text{Kişinin Boyu}}{\text{Kişinin Gölge Boyu}} = \frac{\text{Ağacın Boyu}}{\text{Ağacın Gölge Boyu}} \]
- ✅ Verilenleri Yerine Yazma:
- Kişinin Boyu = 2 m
- Kişinin Gölge Boyu = 1.5 m
- Ağacın Gölge Boyu = 9 m
\[ \frac{2}{1.5} = \frac{\text{Ağacın Boyu}}{9} \] - 💡 Denklemi Çözme: Orantıyı çözerek ağacın boyunu bulalım.
\( 2 \cdot 9 = 1.5 \cdot \text{Ağacın Boyu} \)
\( 18 = 1.5 \cdot \text{Ağacın Boyu} \)
\( \text{Ağacın Boyu} = \frac{18}{1.5} = \frac{180}{15} \)
\( \text{Ağacın Boyu} = 12 \) metredir.
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde D noktası [AB] üzerinde, E noktası [AC] üzerindedir. \( |AD| = 3 \) cm, \( |DB| = 3 \) cm, \( |AE| = 4 \) cm ve \( |EC| = 4 \) cm olarak verilmiştir. Eğer \( |DE| = 5 \) cm ise \( |BC| \) uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
- 📌 İç İçe Benzer Üçgenleri Bulma: Burada \( \triangle ADE \) ve \( \triangle ABC \) üçgenlerini inceleyelim.
- 👉 Kenar Uzunluklarını Hesaplama:
- \( |AB| = |AD| + |DB| = 3 + 3 = 6 \) cm
- \( |AC| = |AE| + |EC| = 4 + 4 = 8 \) cm
- ✅ K.A.K. Benzerlik Şartını Kontrol Etme:
- \( \hat{A} \) açısı her iki üçgen için de ortak açıdır.
- \( \hat{A} \) açısının kolları olan kenarların oranlarını kontrol edelim:
- \( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
- \( \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \)
- Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.) benzerlik aksiyomuna göre, \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) üçgenleri benzerdir. Benzerlik oranı \( k = \frac{1}{2} \)dir.
- 💡 Benzerlik Oranını Kullanarak Diğer Kenarı Bulma: Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir. Bu durumda üçüncü kenarlar için de aynı oran geçerlidir:
\[ \frac{|DE|}{|BC|} = k = \frac{1}{2} \] Verilen \( |DE| = 5 \) cm değerini yerine yazalım:
\[ \frac{5}{|BC|} = \frac{1}{2} \] Denklemi çözerek \( |BC| \) uzunluğunu bulalım:
\( 1 \cdot |BC| = 5 \cdot 2 \)
\( |BC| = 10 \) cm'dir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-benzerlik/sorular