🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Benzerlik ve Eşitlik Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Benzerlik ve Eşitlik Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Kenar uzunlukları 3 cm, 4 cm ve 5 cm olan bir ABC üçgeni ile kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 10 cm olan bir DEF üçgeni veriliyor. Bu iki üçgen benzer midir? Benzerse, benzerlik oranını bulunuz. 💡
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için iki üçgenin kenar uzunlukları arasındaki orantıyı kontrol etmeliyiz.
- Adım 1: Üçgenlerin kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
ABC üçgeni: 3 cm, 4 cm, 5 cm
DEF üçgeni: 6 cm, 8 cm, 10 cm - Adım 2: Karşılıklı kenarlar arasındaki oranı hesaplayalım.
\( \frac{6}{3} = 2 \)
\( \frac{8}{4} = 2 \)
\( \frac{10}{5} = 2 \) - Adım 3: Tüm karşılıklı kenarlar arasındaki oran eşit olduğu için üçgenler benzerdir. Benzerlik oranı 2'dir. ✅
Örnek 2:
Bir ABCD paralelkenarında, AB kenarı 12 cm ve AD kenarı 8 cm'dir. Köşegenler, G noktasında kesişmektedir. Eğer A(AGD) = 10 cm² ise, A(ABCD) kaç cm²'dir? 📐
Çözüm:
Paralelkenarda köşegenlerin birbirini ortalaması ve bu durumun alanla ilişkisi önemlidir.
- Adım 1: Paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar. Bu, AG = GC ve BG = GD anlamına gelir.
- Adım 2: Köşegenlerin kesiştiği G noktası, paralelkenarı dört eşit alana böler. Yani A(AGB) = A(BGC) = A(CGD) = A(DGA)
- Adım 3: Bize A(AGD) = 10 cm² olarak verilmiş. Bu durumda diğer üç alan da 10 cm²'dir.
- Adım 4: Paralelkenarın toplam alanı, bu dört alanın toplamıdır.
A(ABCD) = A(AGB) + A(BGC) + A(CGD) + A(DGA)
A(ABCD) = 10 cm² + 10 cm² + 10 cm² + 10 cm² = 40 cm² ✅
Örnek 3:
Bir fotoğrafçı, elindeki bir fotoğrafı büyütmek istiyor. Orijinal fotoğrafın boyutları 10 cm'ye 15 cm'dir. Fotoğrafçı, fotoğrafı öyle bir büyütüyor ki, yeni fotoğrafın kısa kenarı 20 cm oluyor. Yeni fotoğrafın uzun kenarı kaç cm olur? Bu işlemde benzerlikten nasıl yararlanılır? 🤔
Çözüm:
Bu problemde, büyütme işlemi aslında bir benzerlik oranı uygulamasıdır.
- Adım 1: Orijinal fotoğrafın kenar oranını belirleyelim.
Kısa kenar = 10 cm
Uzun kenar = 15 cm
Oran = \( \frac{Uzun}{Kısa} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2} \) - Adım 2: Yeni fotoğrafın kısa kenarı 20 cm olarak verilmiş. Yeni fotoğraf da orijinali ile benzer olmalıdır, yani kenar oranları aynı kalmalıdır.
Yeni kısa kenar = 20 cm
Yeni uzun kenar = x (bulmamız gereken değer) - Adım 3: Benzerlik oranını kullanarak yeni uzun kenarı hesaplayalım.
\( \frac{Yeni Uzun Kenar}{Yeni Kısa Kenar} = \frac{Orijinal Uzun Kenar}{Orijinal Kısa Kenar} \)
\( \frac{x}{20} = \frac{15}{10} \)
\( \frac{x}{20} = \frac{3}{2} \) - Adım 4: Denklemi çözelim.
\( 2x = 20 \times 3 \)
\( 2x = 60 \)
\( x = \frac{60}{2} \)
\( x = 30 \) cm. Yeni fotoğrafın uzun kenarı 30 cm olur. 👉
Örnek 4:
Harita üzerindeki bir mesafenin gerçekte ne kadar olduğunu anlamak için ölçek kullanılır. Bir haritada 2 cm'lik bir mesafe, gerçekte 50 km'yi temsil ediyorsa, haritada 5 cm'lik bir mesafe gerçekte kaç km'yi temsil eder? 🗺️
Çözüm:
Bu bir doğru orantı ve benzerlik problemidir. Harita üzerindeki mesafeler ile gerçek mesafeler arasında sabit bir oran vardır.
- Adım 1: Harita ölçeğini belirleyelim. Ölçek, harita mesafesinin gerçek mesafeye oranıdır.
Harita mesafesi = 2 cm
Gerçek mesafe = 50 km - Adım 2: Orantıyı kuralım. Harita üzerindeki mesafeler arttıkça, gerçek mesafeler de aynı oranda artacaktır.
- Adım 3: Yeni harita mesafesi 5 cm olarak verilmiş. Gerçek mesafeyi (y) bulmak için orantıyı kuralım.
\( \frac{Harita_1}{Gerçek_1} = \frac{Harita_2}{Gerçek_2} \)
\( \frac{2 \text{ cm}}{50 \text{ km}} = \frac{5 \text{ cm}}{y \text{ km}} \) - Adım 4: İçler dışlar çarpımı yaparak y'yi bulalım.
\( 2 \times y = 50 \times 5 \)
\( 2y = 250 \)
\( y = \frac{250}{2} \)
\( y = 125 \) km. Haritada 5 cm'lik bir mesafe, gerçekte 125 km'yi temsil eder. 👍
Örnek 5:
İki eşkenar üçgenin birer kenar uzunlukları verilmiştir. Birinin kenar uzunluğu 7 cm, diğerinin ise 14 cm'dir. Bu iki üçgen benzer midir? Benzerlik oranları nedir? 📏
Çözüm:
Eşkenar üçgenlerin tüm açıları 60 derecedir. Bu nedenle, tüm eşkenar üçgenler birbirine benzerdir.
- Adım 1: İki üçgenin de eşkenar üçgen olduğunu biliyoruz. Eşkenar üçgenlerin iç açıları her zaman 60 derecedir.
- Adım 2: Açı-Açı (AA) benzerlik kuralına göre, ikişer açıları eşit olan üçgenler benzerdir. Eşkenar üçgenlerde tüm açılar eşit olduğundan, her zaman benzerdirler.
- Adım 3: Benzerlik oranını bulmak için karşılıklı kenar uzunluklarının oranına bakabiliriz.
Büyük üçgenin kenarı / Küçük üçgenin kenarı = \( \frac{14}{7} = 2 \). Benzerlik oranı 2'dir. ✅
Örnek 6:
Bir ABC üçgeninde, DE kenarı BC kenarına paraleldir. D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası ise AC kenarı üzerindedir. Eğer AD = 4 cm, DB = 6 cm ve DE = 5 cm ise, BC uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu soruda temel orantı teoremi ve benzerlikten yararlanacağız.
- Adım 1: DE'nin BC'ye paralel olması, ABC üçgeni ile ADE üçgeninin benzer olmasını sağlar (Açı-Açı-Açı benzerliği).
- Adım 2: ADE ve ABC üçgenlerinin benzer olduğunu belirledik. Benzerlik oranını bulmak için AD ve AB kenarlarının oranını kullanabiliriz.
AB = AD + DB = 4 cm + 6 cm = 10 cm - Adım 3: Benzerlik oranı = \( \frac{AD}{AB} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \)
- Adım 4: Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranına eşittir. Bu nedenle DE ve BC kenarlarının oranı da \( \frac{2}{5} \) olmalıdır.
\( \frac{DE}{BC} = \frac{2}{5} \) - Adım 5: DE = 5 cm olarak verilmiş. Bu bilgiyi kullanarak BC'yi bulalım.
\( \frac{5}{BC} = \frac{2}{5} \)
\( 2 \times BC = 5 \times 5 \)
\( 2 \times BC = 25 \)
\( BC = \frac{25}{2} = 12.5 \) cm. BC uzunluğu 12.5 cm'dir. 👉
Örnek 7:
Bir ABC üçgeninde, A açısı 90 derecedir. BC kenarına ait yükseklik AH'dir. Eğer BH = 4 cm ve HC = 9 cm ise, ABC üçgeninin alanı kaç cm²'dir? 📐
Çözüm:
Bu soruda dik üçgenlerde öklid bağıntıları ve benzerlikten faydalanacağız.
- Adım 1: Dik üçgende yükseklik, kendisini oluşturan iki küçük dik üçgen (ABH ve ACH) ile ana üçgenin (ABC) benzer olmasını sağlar.
- Adım 2: ABH üçgeni ile ACH üçgeni benzerdir. Bu benzerlikten yararlanarak yüksekliği (AH) bulabiliriz. Yükseklik, ayırdığı kenarların geometrik ortalamasıdır.
\( AH^2 = BH \times HC \) - Adım 3: Verilen değerleri yerine koyalım.
\( AH^2 = 4 \text{ cm} \times 9 \text{ cm} \)
\( AH^2 = 36 \text{ cm}^2 \)
\( AH = \sqrt{36 \text{ cm}^2} = 6 \) cm. Yükseklik 6 cm'dir. - Adım 4: ABC üçgeninin alanını hesaplamak için taban (BC) ve yükseklik (AH) kullanılır.
Taban BC = BH + HC = 4 cm + 9 cm = 13 cm - Adım 5: Alan formülünü uygulayalım.
Alan(ABC) = \( \frac{1}{2} \times Taban \times Yükseklik \)
Alan(ABC) = \( \frac{1}{2} \times BC \times AH \)
Alan(ABC) = \( \frac{1}{2} \times 13 \text{ cm} \times 6 \text{ cm} \)
Alan(ABC) = \( \frac{1}{2} \times 78 \text{ cm}^2 \)
Alan(ABC) = 39 cm². ABC üçgeninin alanı 39 cm²'dir. ✅
Örnek 8:
Bir mimar, bir binanın maketini yapmaktadır. Maketin ölçeği 1:100'dür. Maketin pencere yüksekliği 5 cm ve genişliği 3 cm'dir. Gerçek pencerenin alanı kaç metrekare olur? 🏢
Çözüm:
Bu problemde ölçek bilgisini kullanarak maket boyutlarını gerçeğe dönüştüreceğiz ve alan hesaplayacağız.
- Adım 1: Ölçek 1:100 demektir. Maketteki her 1 birim, gerçekte 100 birime karşılık gelir.
- Adım 2: Maket pencere boyutlarını gerçeğe dönüştürelim.
Maket yükseklik = 5 cm
Gerçek yükseklik = 5 cm \( \times \) 100 = 500 cm - Adım 3: Maket genişlik = 3 cm
Gerçek genişlik = 3 cm \( \times \) 100 = 300 cm - Adım 4: Gerçek pencere boyutlarını metreye çevirelim.
Gerçek yükseklik = 500 cm = 5 metre (Çünkü 1 m = 100 cm) - Adım 5: Gerçek genişlik = 300 cm = 3 metre
- Adım 6: Gerçek pencerenin alanını hesaplayalım.
Alan = Yükseklik \( \times \) Genişlik
Alan = 5 m \( \times \) 3 m
Alan = 15 m². Gerçek pencerenin alanı 15 metrekaredir. 💡
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-benzerlik-ve-esitlik/sorular