🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Benzerlik-Eşlik Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Benzerlik-Eşlik Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni veriliyor.
Bu üçgenlerde aşağıdaki eşitlikler bulunmaktadır:
Bu üçgenlerde aşağıdaki eşitlikler bulunmaktadır:
- \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) = 60^\circ \)
- \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) = 80^\circ \)
- \( |BC| = |EF| = 10 \) cm
Çözüm:
Bu problemi adım adım çözerek eşlik durumunu inceleyelim:
- 📌 Açıların Kontrolü:
- Verilen bilgilere göre, \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) = 60^\circ \) ve \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) = 80^\circ \) dir.
- Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, üçüncü açıları bulalım:
- ABC üçgeninde \( m(\widehat{C}) = 180^\circ - (60^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \).
- DEF üçgeninde \( m(\widehat{F}) = 180^\circ - (60^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \).
- Yani, \( m(\widehat{C}) = m(\widehat{F}) = 40^\circ \) dir.
- 📌 Kenarların Kontrolü:
- Karşılıklı açıların eşit olduğunu gördük. Şimdi bu açılar arasında kalan veya karşılık gelen kenarları inceleyelim.
- Bize \( |BC| = |EF| = 10 \) cm olduğu verilmiş.
- ABC üçgeninde \( \widehat{A} \) açısı \( 60^\circ \), \( \widehat{B} \) açısı \( 80^\circ \), \( \widehat{C} \) açısı \( 40^\circ \) dir.
- DEF üçgeninde \( \widehat{D} \) açısı \( 60^\circ \), \( \widehat{E} \) açısı \( 80^\circ \), \( \widehat{F} \) açısı \( 40^\circ \) dir.
- Verilen \( |BC| \) kenarı, \( \widehat{A} \) açısının karşısındaki kenardır. Benzer şekilde \( |EF| \) kenarı da \( \widehat{D} \) açısının karşısındaki kenardır.
- Her iki üçgende de \( \widehat{A} \) ve \( \widehat{D} \) açıları eşit ve bu açıların karşısındaki kenarlar \( |BC| \) ve \( |EF| \) de eşit (\( 10 \) cm) olduğu için, bu üçgenler A.A.K (Açı-Açı-Kenar) eşlik kuralına göre eştir.
- Alternatif olarak, \( \widehat{B} \) ve \( \widehat{E} \) açıları eşit, \( \widehat{C} \) ve \( \widehat{F} \) açıları eşit ve bu iki açı arasında kalan (veya bu açılara komşu olan) kenarlar \( |BC| \) ve \( |EF| \) eşit olduğundan, bu üçgenler K.A.K (Kenar-Açı-Kenar) değil, A.K.A (Açı-Kenar-Açı) eşlik kuralına göre eştir denilebilir. Çünkü \( |BC| \) kenarı, \( \widehat{B} \) ve \( \widehat{C} \) açıları arasında kalan kenardır. Aynı şekilde \( |EF| \) kenarı da \( \widehat{E} \) ve \( \widehat{F} \) açıları arasında kalan kenardır.
- ✅ Sonuç: ABC üçgeni ile DEF üçgeni, A.K.A. (Açı-Kenar-Açı) eşlik kuralına göre eştir. Bu durum \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) şeklinde gösterilir.
Örnek 2:
Bir ABC üçgeni ve bir ADE üçgeni veriliyor.
Bu üçgenlerde \( m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{DAE}) \) ve \( m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ADE}) \) dir.
Ayrıca, \( |AB| = 8 \) cm, \( |AD| = 4 \) cm ve \( |AC| = 10 \) cm olduğuna göre, \( |AE| \) uzunluğunu bulunuz. 💡
Bu üçgenlerde \( m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{DAE}) \) ve \( m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ADE}) \) dir.
Ayrıca, \( |AB| = 8 \) cm, \( |AD| = 4 \) cm ve \( |AC| = 10 \) cm olduğuna göre, \( |AE| \) uzunluğunu bulunuz. 💡
Çözüm:
Bu problemde benzer üçgenleri tespit edip kenar oranlarını kullanarak çözüme ulaşacağız:
- 📌 Benzerlik Kuralının Tespiti:
- ABC üçgeni ile ADE üçgeni için verilen açılara bakalım:
- \( m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{DAE}) \) (Bu, her iki üçgenin de ortak açısı veya eşit bir açısıdır.)
- \( m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ADE}) \) (İkinci bir eşit açı çifti.)
- İki üçgenin ikişer açısı eşit olduğuna göre, üçüncü açıları da otomatik olarak eşit olacaktır (\( 180^\circ \) kuralı).
- Bu durumda, ABC üçgeni ile ADE üçgeni A.A. (Açı-Açı) benzerlik kuralına göre benzerdir.
- Benzerliği \( \triangle ABC \sim \triangle ADE \) şeklinde yazarız. (Burada açıların sırasına dikkat etmek önemlidir: A açısı A'ya, B açısı D'ye, C açısı E'ye karşılık gelir.)
- ABC üçgeni ile ADE üçgeni için verilen açılara bakalım:
- 📌 Kenar Oranlarının Yazılması:
- Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir. \[ \frac{|AB|}{|AD|} = \frac{|AC|}{|AE|} = \frac{|BC|}{|DE|} \]
- Verilen kenar uzunluklarını yerine yazalım:
- \( |AB| = 8 \) cm
- \( |AD| = 4 \) cm
- \( |AC| = 10 \) cm
- \( |AE| = x \) (Bilinmeyen)
- Oranları kullanarak \( |AE| \) uzunluğunu bulalım: \[ \frac{8}{4} = \frac{10}{x} \]
- 📌 Denklemin Çözümü:
- Denklemi basitleştirelim: \[ 2 = \frac{10}{x} \]
- Her iki tarafı \( x \) ile çarpalım: \[ 2x = 10 \]
- Her iki tarafı \( 2 \)ye bölelim: \[ x = \frac{10}{2} \] \[ x = 5 \]
- ✅ Sonuç: Buna göre \( |AE| \) uzunluğu \( 5 \) cm'dir.
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde, BC kenarına paralel olan bir DE doğru parçası çizilmiştir. D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası ise AC kenarı üzerindedir.
\( |AD| = 3 \) cm, \( |DB| = 6 \) cm ve \( |AE| = 4 \) cm olduğuna göre, \( |EC| \) uzunluğunu bulunuz.
\( |AD| = 3 \) cm, \( |DB| = 6 \) cm ve \( |AE| = 4 \) cm olduğuna göre, \( |EC| \) uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu problem, Temel Benzerlik Teoremi'nin (Thales Teoremi olarak da bilinir) doğrudan bir uygulamasıdır.
- 📌 Temel Benzerlik Teoremi:
- Bir üçgenin bir kenarına paralel olarak çizilen bir doğru, diğer iki kenarı kestiğinde, küçük üçgen ile büyük üçgen benzer olur.
- Burada DE doğru parçası BC'ye paralel olduğu için, \( \triangle ADE \) ile \( \triangle ABC \) benzerdir.
- Bu benzerlikten dolayı kenar oranları eşit olacaktır: \[ \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|} \]
- Ayrıca, paralel doğrular arasında kalan parçaların oranları da eşittir (Thales'in İkinci Teoremi veya kelebek benzerliği gibi düşünülmemeli, bu direkt Temel Benzerliktir): \[ \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \]
- 📌 Verilenleri Yerine Yazma:
- \( |AD| = 3 \) cm
- \( |DB| = 6 \) cm
- \( |AE| = 4 \) cm
- \( |EC| = x \) (Bilinmeyen)
- 📌 Denklemin Kurulması ve Çözümü:
- Temel Benzerlik Teoremi'nin oranını kullanarak \( x \) değerini bulalım: \[ \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \] \[ \frac{3}{6} = \frac{4}{x} \]
- Denklemi basitleştirelim: \[ \frac{1}{2} = \frac{4}{x} \]
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 1 \cdot x = 2 \cdot 4 \] \[ x = 8 \]
- ✅ Sonuç: Buna göre \( |EC| \) uzunluğu \( 8 \) cm'dir.
Örnek 4:
İki benzer üçgenin benzerlik oranı \( \frac{2}{3} \)tür.
Küçük üçgenin çevresi \( 12 \) cm olduğuna göre, büyük üçgenin çevresi kaç cm'dir? 📏
Küçük üçgenin çevresi \( 12 \) cm olduğuna göre, büyük üçgenin çevresi kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Benzer üçgenlerde çevreler oranı, benzerlik oranına eşittir. Bu bilgiyi kullanarak problemi çözebiliriz.
- 📌 Benzerlik Oranı ve Çevre İlişkisi:
- Eğer iki üçgen benzer ise ve benzerlik oranı \( k \) ise, bu üçgenlerin çevreleri oranı da \( k \)ye eşittir.
- Yani, \( \frac{\text{Küçük Üçgenin Çevresi}}{\text{Büyük Üçgenin Çevresi}} = k \) veya \( \frac{\text{Büyük Üçgenin Çevresi}}{\text{Küçük Üçgenin Çevresi}} = \frac{1}{k} \).
- Soruda verilen benzerlik oranı \( \frac{2}{3} \)tür. Genellikle bu oran küçük üçgenin kenarının büyük üçgenin kenarına oranı olarak kabul edilir.
- Küçük üçgenin çevresi \( \text{Çevre}_{\text{küçük}} = 12 \) cm olarak verilmiştir.
- Büyük üçgenin çevresini \( \text{Çevre}_{\text{büyük}} \) olarak adlandıralım.
- 📌 Denklemin Kurulması ve Çözümü:
- Çevreler oranını benzerlik oranına eşitleyelim: \[ \frac{\text{Çevre}_{\text{küçük}}}{\text{Çevre}_{\text{büyük}}} = \frac{2}{3} \]
- Verilen değeri yerine yazalım: \[ \frac{12}{\text{Çevre}_{\text{büyük}}} = \frac{2}{3} \]
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 2 \cdot \text{Çevre}_{\text{büyük}} = 12 \cdot 3 \] \[ 2 \cdot \text{Çevre}_{\text{büyük}} = 36 \]
- Her iki tarafı \( 2 \)ye bölelim: \[ \text{Çevre}_{\text{büyük}} = \frac{36}{2} \] \[ \text{Çevre}_{\text{büyük}} = 18 \]
- ✅ Sonuç: Büyük üçgenin çevresi \( 18 \) cm'dir.
Örnek 5:
Güneşli bir günde, \( 1.6 \) metre boyundaki Ali'nin gölge boyu \( 2 \) metredir.
Aynı anda, Ali'den biraz uzakta bulunan bir ağacın gölge boyu ise \( 15 \) metredir.
Buna göre, ağacın boyu kaç metredir? (Ağacın ve Ali'nin zemine dik olduğu varsayılacaktır.) 🌳🧍♂️☀️
Aynı anda, Ali'den biraz uzakta bulunan bir ağacın gölge boyu ise \( 15 \) metredir.
Buna göre, ağacın boyu kaç metredir? (Ağacın ve Ali'nin zemine dik olduğu varsayılacaktır.) 🌳🧍♂️☀️
Çözüm:
Bu tür gölge boyu problemleri, benzer üçgenler oluşturarak çözülür. Güneş ışınları paralel geldiği için, hem Ali hem de ağaç ile gölgeleri arasında oluşan üçgenler benzer olacaktır.
- 📌 Benzer Üçgenlerin Oluşturulması:
- Ali'nin boyu, gölge boyu ve güneş ışınlarının oluşturduğu hayali bir dik üçgen düşünelim.
- Benzer şekilde, ağacın boyu, gölge boyu ve güneş ışınlarının oluşturduğu başka bir dik üçgen düşünelim.
- Güneş ışınlarının yere düşme açıları aynı olduğu için, her iki dik üçgendeki hipotenüse komşu açılar eşit olacaktır.
- Ayrıca, hem Ali hem de ağaç yere dik olduğu için, her iki üçgende de birer \( 90^\circ \) lik açı bulunur.
- Bu durumda, bu iki üçgen A.A. (Açı-Açı) benzerlik kuralına göre benzerdir.
- 📌 Verilen Bilgiler:
- Ali'nin boyu: \( |B_{Ali}| = 1.6 \) metre
- Ali'nin gölge boyu: \( |G_{Ali}| = 2 \) metre
- Ağacın gölge boyu: \( |G_{Ağaç}| = 15 \) metre
- Ağacın boyu: \( |B_{Ağaç}| = x \) (Bilinmeyen)
- 📌 Benzerlik Oranının Kurulması:
- Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir. Yani, boyların oranı gölge boylarının oranına eşit olacaktır: \[ \frac{\text{Ali'nin Boyu}}{\text{Ağacın Boyu}} = \frac{\text{Ali'nin Gölge Boyu}}{\text{Ağacın Gölge Boyu}} \]
- Değerleri yerine yazalım: \[ \frac{1.6}{x} = \frac{2}{15} \]
- 📌 Denklemin Çözümü:
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 1.6 \cdot 15 = 2 \cdot x \]
- Çarpma işlemini yapalım: \[ 24 = 2x \]
- Her iki tarafı \( 2 \)ye bölelim: \[ x = \frac{24}{2} \] \[ x = 12 \]
- ✅ Sonuç: Buna göre ağacın boyu \( 12 \) metredir.
Örnek 6:
Bir Türkiye haritasında iki şehir arasındaki mesafe \( 5 \) cm olarak ölçülmüştür.
Haritanın ölçeği \( 1:2.000.000 \) olduğuna göre, bu iki şehir arasındaki gerçek uzaklık kaç kilometredir? 🗺️📍
Haritanın ölçeği \( 1:2.000.000 \) olduğuna göre, bu iki şehir arasındaki gerçek uzaklık kaç kilometredir? 🗺️📍
Çözüm:
Harita ölçekleri, gerçek dünya ile harita üzerindeki temsil arasındaki benzerlik oranını ifade eder.
- 📌 Ölçek Anlamı:
- \( 1:2.000.000 \) ölçeği, haritadaki \( 1 \) birim uzunluğun gerçekte \( 2.000.000 \) birim uzunluğa karşılık geldiği anlamına gelir.
- Birimi genellikle santimetre (cm) olarak kabul ederiz, yani haritada \( 1 \) cm, gerçekte \( 2.000.000 \) cm'ye eşittir.
- 📌 Verilen Bilgiler:
- Harita üzerindeki mesafe: \( 5 \) cm
- Ölçek: \( 1:2.000.000 \)
- Gerçek uzaklık: \( x \) (Bilinmeyen)
- 📌 Gerçek Uzaklığın Hesaplanması:
- Harita üzerindeki mesafeyi ölçek oranıyla çarparak gerçek mesafeyi buluruz: \[ \text{Gerçek Uzaklık} = \text{Harita Uzaklığı} \times \text{Ölçek Paydası} \] \[ x = 5 \text{ cm} \times 2.000.000 \] \[ x = 10.000.000 \text{ cm} \]
- 📌 Birimi Kilometreye Çevirme:
- Soruda gerçek uzaklığın kilometre cinsinden istendiği belirtilmiştir. Birim çevrimlerini hatırlayalım:
- \( 1 \) metre \( = 100 \) cm
- \( 1 \) kilometre \( = 1000 \) metre
- Yani, \( 1 \) kilometre \( = 1000 \times 100 = 100.000 \) cm
- Bulduğumuz santimetre cinsinden değeri kilometreye çevirelim: \[ x = 10.000.000 \text{ cm} \div 100.000 \text{ cm/km} \] \[ x = 100 \text{ km} \]
- Soruda gerçek uzaklığın kilometre cinsinden istendiği belirtilmiştir. Birim çevrimlerini hatırlayalım:
- ✅ Sonuç: İki şehir arasındaki gerçek uzaklık \( 100 \) kilometredir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-benzerlik-eslik/sorular