🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Benzer Üçgenler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Benzer Üçgenler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde A açısı \( 50^\circ \), B açısı \( 70^\circ \) ve C açısı \( 60^\circ \) olarak verilmiştir.
Bir DEF üçgeninde D açısı \( 50^\circ \), E açısı \( 70^\circ \) ve F açısı \( 60^\circ \) olarak verilmiştir.
Bu iki üçgen benzer midir? Benzerse benzerlik durumunu yazınız. 💡
Bir DEF üçgeninde D açısı \( 50^\circ \), E açısı \( 70^\circ \) ve F açısı \( 60^\circ \) olarak verilmiştir.
Bu iki üçgen benzer midir? Benzerse benzerlik durumunu yazınız. 💡
Çözüm:
- İki üçgenin benzer olabilmesi için karşılıklı açıları eş olmalıdır.
- ABC üçgeninin açıları: \( \angle A = 50^\circ \), \( \angle B = 70^\circ \), \( \angle C = 60^\circ \)
- DEF üçgeninin açıları: \( \angle D = 50^\circ \), \( \angle E = 70^\circ \), \( \angle F = 60^\circ \)
- Karşılaştırma yapıldığında: \( \angle A = \angle D \), \( \angle B = \angle E \), \( \angle C = \angle F \)
- Bu durum, iki üçgenin açı açı açı (AAA) benzerlik kuralına göre benzer olduğunu gösterir.
- Benzerlik durumu: \( ABC \sim DEF \) şeklinde yazılır. ✅
Örnek 2:
Kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 10 cm olan bir üçgen ile kenar uzunlukları 9 cm, 12 cm ve 15 cm olan başka bir üçgen veriliyor.
Bu iki üçgen benzer midir? Benzerse benzerlik oranını bulunuz. 🤔
Bu iki üçgen benzer midir? Benzerse benzerlik oranını bulunuz. 🤔
Çözüm:
- İki üçgenin benzer olabilmesi için karşılıklı kenar uzunlukları orantılı olmalıdır.
- Birinci üçgenin kenarları: \( a_1 = 6 \) cm, \( b_1 = 8 \) cm, \( c_1 = 10 \) cm
- İkinci üçgenin kenarları: \( a_2 = 9 \) cm, \( b_2 = 12 \) cm, \( c_2 = 15 \) cm
- Kenar uzunluklarının oranlarını kontrol edelim:
- \( \frac{a_2}{a_1} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \)
- \( \frac{b_2}{b_1} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \)
- \( \frac{c_2}{c_1} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2} \)
- Tüm karşılıklı kenar oranları eşit (\( \frac{3}{2} \)) olduğu için bu iki üçgen kenar kenar kenar (KKK) benzerlik kuralına göre benzerdir.
- Benzerlik oranı: \( k = \frac{3}{2} \) 'dir. 👉
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 40^\circ \) ve \( \angle B = 60^\circ \) olarak verilmiştir.
Bir KLM üçgeninde \( \angle K = 80^\circ \) ve \( \angle L = 60^\circ \) olarak verilmiştir.
Bu iki üçgen benzer midir? Nedenini açıklayınız. 🧐
Bir KLM üçgeninde \( \angle K = 80^\circ \) ve \( \angle L = 60^\circ \) olarak verilmiştir.
Bu iki üçgen benzer midir? Nedenini açıklayınız. 🧐
Çözüm:
- Üçgenlerin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, verilmeyen açıları hesaplayalım.
- ABC üçgeninde: \( \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (40^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \)
- KLM üçgeninde: \( \angle M = 180^\circ - (\angle K + \angle L) = 180^\circ - (80^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \)
- Şimdi açıları karşılaştıralım:
- \( \angle A = 40^\circ \) ve \( \angle M = 40^\circ \)
- \( \angle B = 60^\circ \) ve \( \angle L = 60^\circ \)
- \( \angle C = 80^\circ \) ve \( \angle K = 80^\circ \)
- Karşılıklı tüm açıları eşit olduğundan (AAA benzerlik), bu iki üçgen benzerdir.
- Benzerlik durumu: \( ABC \sim MLK \) şeklinde yazılır. 📝
Örnek 4:
Bir parkta, uzunluğu 1.5 metre olan bir kişinin gölgesi 2 metre uzunluğundadır.
Aynı anda, parktaki 12 metrelik bir direğin gölgesi kaç metredir? 🌳
Aynı anda, parktaki 12 metrelik bir direğin gölgesi kaç metredir? 🌳
Çözüm:
- Bu problem, güneş ışınlarının paralel olduğu varsayımıyla benzer üçgenler kullanılarak çözülebilir.
- Kişi ve onun gölgesi bir dik üçgen oluşturur. Direk ve onun gölgesi de bir dik üçgen oluşturur.
- Bu iki dik üçgen, aralarındaki açılar eşit olduğu için benzerdir (Güneş ışınlarının geliş açısı ve dik açılar).
- Kişinin boyu (dikey kenar) = 1.5 m, gölgesi (yatay kenar) = 2 m
- Direğin boyu (dikey kenar) = 12 m, gölgesi (yatay kenar) = x m (bulmamız gereken)
- Benzerlik oranını kullanarak:
- \( \frac{\text{Direğin Boyu}}{\text{Kişinin Boyu}} = \frac{\text{Direğin Gölgesi}}{\text{Kişinin Gölgesi}} \)
- \( \frac{12}{1.5} = \frac{x}{2} \)
- İçler dışlar çarpımı yapalım:
- \( 1.5 \times x = 12 \times 2 \)
- \( 1.5x = 24 \)
- \( x = \frac{24}{1.5} \)
- \( x = 16 \) metre
- Yani, 12 metrelik direğin gölgesi 16 metredir. 📏
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde AB kenarı 8 cm, BC kenarı 12 cm'dir.
Bu üçgene benzer olan bir DEF üçgeninde DE kenarı 6 cm'dir.
Eğer \( \angle B = \angle E \) ise, DEF üçgeninin BC kenarına karşılık gelen kenarını ve bu üçgenin çevresini bulunuz. (ABC üçgeninin AC kenarı 10 cm'dir.) 📐
Bu üçgene benzer olan bir DEF üçgeninde DE kenarı 6 cm'dir.
Eğer \( \angle B = \angle E \) ise, DEF üçgeninin BC kenarına karşılık gelen kenarını ve bu üçgenin çevresini bulunuz. (ABC üçgeninin AC kenarı 10 cm'dir.) 📐
Çözüm:
- Verilenler: \( ABC \sim DEF \), \( AB = 8 \) cm, \( BC = 12 \) cm, \( AC = 10 \) cm, \( DE = 6 \) cm, \( \angle B = \angle E \).
- İki üçgenin açıları eşit ve aralarındaki kenarlar orantılı ise kenar açı kenar (KAK) benzerliği vardır.
- \( \angle B = \angle E \) olduğu için, bu iki açının kollarındaki kenarların oranına bakmalıyız.
- Benzerlik oranı: \( k = \frac{DE}{AB} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \)
- Bu oran DEF üçgeninin diğer kenarları için de geçerli olacaktır.
- DEF üçgeninin BC kenarına karşılık gelen kenarı EF'dir.
- \( \frac{EF}{BC} = k \Rightarrow \frac{EF}{12} = \frac{3}{4} \)
- \( EF = 12 \times \frac{3}{4} = 9 \) cm
- DEF üçgeninin DF kenarını bulalım:
- \( \frac{DF}{AC} = k \Rightarrow \frac{DF}{10} = \frac{3}{4} \)
- \( DF = 10 \times \frac{3}{4} = \frac{30}{4} = 7.5 \) cm
- DEF üçgeninin çevresi: \( DE + EF + DF = 6 + 9 + 7.5 = 22.5 \) cm
- Sonuç: DEF üçgeninin BC kenarına karşılık gelen kenarı EF = 9 cm'dir ve DEF üçgeninin çevresi 22.5 cm'dir. 🏆
Örnek 6:
Bir harita üzerinde iki şehir arasındaki mesafe 5 cm olarak gösterilmiştir.
Haritanın ölçeği 1:200.000'dir. Bu iki şehir arasındaki gerçek mesafeyi kilometre cinsinden bulunuz. 🗺️
Haritanın ölçeği 1:200.000'dir. Bu iki şehir arasındaki gerçek mesafeyi kilometre cinsinden bulunuz. 🗺️
Çözüm:
- Bu problem, ölçek bilgisini kullanarak benzerlik mantığıyla çözülür. Harita, gerçek dünyanın küçültülmüş bir benzeridir.
- Ölçek 1:200.000 demek, haritadaki her 1 birimin gerçekte 200.000 birim olduğu anlamına gelir.
- Haritadaki mesafe = 5 cm
- Gerçek mesafe = Haritadaki Mesafe \( \times \) Ölçek Paydası
- Gerçek mesafe = 5 cm \( \times \) 200.000
- Gerçek mesafe = 1.000.000 cm
- Şimdi bu mesafeyi kilometreye çevirelim:
- 1 kilometre = 100.000 cm
- Gerçek mesafe (km) = \( \frac{1.000.000 \text{ cm}}{100.000 \text{ cm/km}} \)
- Gerçek mesafe = 10 km
- Sonuç: İki şehir arasındaki gerçek mesafe 10 kilometredir. 📍
Örnek 7:
İki üçgenin karşılıklı açıları sırasıyla \( 30^\circ, 50^\circ, 100^\circ \) ve \( 30^\circ, 50^\circ, 100^\circ \) olarak verilmiştir.
Bu üçgenler benzer midir? Nedenini açıklayınız. ❓
Bu üçgenler benzer midir? Nedenini açıklayınız. ❓
Çözüm:
- İki üçgenin benzer olabilmesi için karşılıklı tüm açıları eş olmalıdır.
- Birinci üçgenin açıları: \( 30^\circ, 50^\circ, 100^\circ \)
- İkinci üçgenin açıları: \( 30^\circ, 50^\circ, 100^\circ \)
- Açıları karşılaştırdığımızda, her iki üçgenin de aynı üç açıya sahip olduğunu görüyoruz.
- Bu durum, açı-açı-açı (AAA) benzerlik kuralına göre bu iki üçgenin benzer olduğunu kanıtlar.
- Evet, bu iki üçgen benzerdir. 👍
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde AB = 4 cm, BC = 6 cm ve AC = 8 cm'dir.
Bu üçgene benzer olan bir KLM üçgeninin çevresi 18 cm'dir.
KLM üçgeninin kenar uzunluklarını bulunuz. 📏
Bu üçgene benzer olan bir KLM üçgeninin çevresi 18 cm'dir.
KLM üçgeninin kenar uzunluklarını bulunuz. 📏
Çözüm:
- ABC üçgeninin çevresi: \( Ç_{ABC} = AB + BC + AC = 4 + 6 + 8 = 18 \) cm
- KLM üçgeninin çevresi: \( Ç_{KLM} = 18 \) cm
- İki benzer üçgenin çevreleri oranı, kenar uzunlukları oranına eşittir.
- Benzerlik oranı \( k = \frac{Ç_{KLM}}{Ç_{ABC}} = \frac{18}{18} = 1 \)
- Benzerlik oranı 1 olduğundan, bu iki üçgen eş üçgenlerdir. Yani kenar uzunlukları birbirine eşittir.
- KLM üçgeninin kenar uzunlukları:
- KL = AB = 4 cm
- LM = BC = 6 cm
- KM = AC = 8 cm
- Sonuç: KLM üçgeninin kenar uzunlukları 4 cm, 6 cm ve 8 cm'dir. ✨
Örnek 9:
Bir fotoğraf makinesi, 3 metre yükseklikteki bir nesnenin 6 cm'lik bir görüntüsünü oluşturuyor. Eğer fotoğraf makinesinin merceğinden duvara olan uzaklık 4 metre ise, duvarda oluşan görüntünün yüksekliği kaç cm olur? 📸
Çözüm:
- Bu problem, mercek prensibiyle çalışan bir sistemde benzer üçgenler kullanılarak çözülebilir. Mercek, nesnenin ters görüntüsünü oluşturur.
- Birinci benzer üçgen: Nesne (yükseklik) ve mercekten nesneye olan uzaklık.
- İkinci benzer üçgen: Görüntü (yükseklik) ve mercekten görüntüye olan uzaklık.
- Nesne Yüksekliği = 3 m = 300 cm
- Nesne - Mercek Uzaklığı = 4 m = 400 cm
- Görüntü Yüksekliği = \( h_g \) (bulmamız gereken)
- Görüntü - Mercek Uzaklığı = 6 cm (soruda verilen görüntü boyutu, bu aslında nesneye olan uzaklık olarak anlaşılmalı, yani mercekten 6 cm uzaktaki nesnenin görüntüsü 3m yükseklikte oluşuyor gibi yorumlanabilir. Ancak sorunun akışı gereği, 4m uzaklıktaki nesnenin görüntüsünü soruyor. Bu durumda 6cm'lik görüntü, farklı bir uzaklıktaki nesneye ait olmalı. Soruyu "Mercekten 4m uzaklıktaki nesnenin görüntüsünün oluştuğu duvardaki görüntü yüksekliği nedir? Eğer mercekten 6cm uzaktaki nesnenin 3m'lik görüntüsü oluşuyorsa" şeklinde düzeltelim.)
- Soruyu şu şekilde revize edelim: Bir fotoğraf makinesi, merceğinden 6 cm uzaktaki bir nesnenin 300 cm (3m) yüksekliğinde bir görüntüsünü oluşturuyor. Eğer nesne mercekten 400 cm (4m) uzaktaysa, duvarda oluşan görüntünün yüksekliği kaç cm olur?
- Benzerlik oranı: \( \frac{\text{Görüntü Yüksekliği}}{\text{Nesne Yüksekliği}} = \frac{\text{Görüntü - Mercek Uzaklığı}}{\text{Nesne - Mercek Uzaklığı}} \)
- \( \frac{300 \text{ cm}}{h_{g2}} = \frac{6 \text{ cm}}{400 \text{ cm}} \) (İlk durumdan benzerlik oranı)
- \( h_{g2} = \frac{300 \times 400}{6} = \frac{120000}{6} = 20000 \) cm. Bu mantıklı değil.
- Soruyu tekrar yorumlayalım: Mercekten 4 metre uzakta bir nesne var. Bu nesnenin görüntüsü 6 cm boyunda oluşuyor. O zaman nesnenin gerçek boyu nedir?
- Bu soruda bir tutarsızlık var gibi görünüyor. Genellikle nesne uzaktayken görüntü küçülür. Soruyu şu şekilde kurgulayalım:
- Bir fotoğraf makinesi, 3 metre yükseklikteki bir nesnenin görüntüsünü oluşturuyor. Eğer nesne makineden 4 metre uzaktaysa ve oluşan görüntü 6 cm yüksekliğindeyse, nesnenin gerçek boyu kaç metredir? (Bu da sorunun orijinalini karşılamıyor.)
- En mantıklı yorumlama: Mercekten 4 metre uzaktaki bir nesnenin görüntüsü, mercekten 6 cm uzakta oluşuyor. Nesnenin gerçek boyu 3 metre ise, oluşan görüntü boyu ne olur?
- Nesne Yüksekliği (h1) = 3 m = 300 cm
- Nesne - Mercek Uzaklığı (d1) = 4 m = 400 cm
- Görüntü - Mercek Uzaklığı (d2) = 6 cm
- Görüntü Yüksekliği (h2) = ?
- Benzerlikten: \( \frac{h1}{d1} = \frac{h2}{d2} \)
- \( \frac{300 \text{ cm}}{400 \text{ cm}} = \frac{h2}{6 \text{ cm}} \)
- \( h2 = \frac{300 \times 6}{400} = \frac{1800}{400} = \frac{18}{4} = 4.5 \) cm
- Sonuç: Duvarda oluşan görüntünün yüksekliği 4.5 cm olur. 🖼️
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-benzer-ucgenler/sorular