📄 9. Sınıf Matematik: Benzer Üçgenler Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Verilenlere göre, ABC üçgeninde DE doğrusu BC kenarına paraleldir. Bu durum, ADE üçgeni ile ABC üçgeninin benzer olmasını sağlar. Çünkü DE // BC olduğunda, \angle ADE = \angle ABC ve \angle AED = \angle ACB olur (yöndeş açılar). Ayrıca \angle DAE = \angle BAC ortak açıdır. Bu nedenle, Açı-Açı (AA) benzerlik kuralına göre \triangle ADE \sim \triangle ABC'dir.



Benzer üçgenlerin karşılıklı kenarları orantılıdır. Bu orantıyı şu şekilde yazabiliriz:



\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|}



Soruda verilen değerleri yerine koyalım:

|AD| = 4 cm

|DB| = 6 cm

|AB| = |AD| + |DB| = 4 + 6 = 10 cm

|AE| = 3 cm

|EC| = ? (Bunu bulacağız)



Orantıdan ilk iki oranı kullanırsak:



\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|}



\frac{4}{10} = \frac{3}{|AC|}



Buradan |AC|'yi bulabiliriz:

4 \times |AC| = 10 \times 3

4 \times |AC| = 30

|AC| = \frac{30}{4} = 7.5 cm



Bizden |EC| isteniyor. |AC| = |AE| + |EC| olduğunu biliyoruz.

7.5 = 3 + |EC|

|EC| = 7.5 - 3

|EC| = 4.5 cm



Sonuç olarak, |EC| uzunluğu 4.5 cm'dir. Benzerlik Açı-Açı (AA) kuralına göre bulunmuştur.

💡 Çözüm Adımları:

ABC üçgeninin çevresi Ç_{ABC} = |AB| + |BC| + |AC| = 5 + 7 + 9 = 21 cm'dir.



DEF üçgeni ABC üçgenine benzerdir ve çevresi Ç_{DEF} = 42 cm'dir.



Benzer üçgenlerin çevreleri oranı, benzerlik oranına eşittir. Benzerlik oranını k ile gösterirsek:



k = \frac{Ç_{DEF}}{Ç_{ABC}} = \frac{42}{21} = 2



Bu demektir ki, DEF üçgeninin kenar uzunlukları, ABC üçgeninin karşılıklı kenar uzunluklarının 2 katıdır.



Şimdi DEF üçgeninin kenar uzunluklarını hesaplayalım:



|DE| = k \times |AB| = 2 \times 5 = 10 cm

|EF| = k \times |BC| = 2 \times 7 = 14 cm

|DF| = k \times |AC| = 2 \times 9 = 18 cm



Bu nedenle, DEF üçgeninin kenar uzunlukları 10 cm, 14 cm ve 18 cm'dir.

💡 Çözüm Adımları:

Evet, iki dik üçgenin birer dik olmayan açıları birbirine eş ise bu iki üçgen benzerdir.



Bunun nedeni Açı-Açı (AA) benzerlik kuralıdır.



Birinci dik üçgenimiz ABC olsun, \angle A = 90^{\circ}. İkinci dik üçgenimiz DEF olsun, \angle D = 90^{\circ}.



Soruda, bu iki üçgenin birer dik olmayan açılarının eş olduğu belirtiliyor. Diyelim ki \angle B = \angle E.



Şimdi bu iki üçgenin açılarını inceleyelim:



* ABC Üçgeni: \angle A = 90^{\circ} ve \angle B = \angle E (varsayım).

Üçgenin iç açıları toplamı 180^{\circ} olduğundan, \angle C = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - \angle B.



* DEF Üçgeni: \angle D = 90^{\circ} ve \angle E (varsayım).

Üçgenin iç açıları toplamı 180^{\circ} olduğundan, \angle F = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle E = 90^{\circ} - \angle E.



Eğer \angle B = \angle E ise, o zaman \angle C = 90^{\circ} - \angle B ve \angle F = 90^{\circ} - \angle E olduğundan, \angle C = \angle F olur.



Böylece, iki üçgenin de ikişer açısı eş olmuş olur: \angle A = \angle D = 90^{\circ} ve \angle B = \angle E. Bu durum, Açı-Açı (AA) benzerlik kuralına göre \triangle ABC \sim \triangle DEF olduğunu gösterir.



Dolayısıyla, iki dik üçgenin birer dik olmayan açıları eş ise, bu üçgenler daima benzerdir.